Exercice 1 : 3 points En utilisant sa base de données, la sécurité

Exercice 1 : 3 points
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la
naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L’étude a également permis de
prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme,
seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n’atteint plus que 8
% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
M : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
C : « La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie ».
1) Montrer que la probabilité que la personne ait une malformation et soit victime d’un accident cardiaque
est égale à 3 %.
2) Calculer la probabilité que la personne soit victime d’un accident cardiaque.
3) On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque.
Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
Arrondir à
10−4
près.
Exercice 2 : 7 points
Louis et Arthur jouent à un jeu de société dans lequel il n’y a pas d’égalité.
Les deux joueurs ont la même probabilité de gagner la première partie.
En revanche, si Louis gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7.
S’il perd la partie la probabilité qu’il perde la suivante est 0,9.
Pour tout entier naturel n non nul, on note
Gn
l’événement « Louis gagne la n-ième partie ».
Deux parties :
On suppose ici que Louis et Arthur font deux parties.
1) Décrire l’énoncé à l’aide d’un arbre de probabilité.
2) Calculer la probabilité que Louis gagne les deux parties.
3) Démontrer que
p G2
( )
=0,4
Plusieurs parties :
On suppose, ici, que les joueurs font plusieurs parties.
Pour tout
n∈!∗,
on note
un=p Gn
( )
.
1) Recopier et compléter l’arbre ci-contre.
2) Montrer que pour tout
n∈!∗,
!
un+1=0,6un+0,1
3) On considère alors la suite
vn
( )
définie pour tout
n∈!∗,
! par
vn=un−0,25
a) Montrer que la suite
vn
( )
est géométrique de raison 0,6 et de premier terme 0,25.
b) Exprimer
vn
( )
puis
un
( )
en fonction de n.
c) Calculer la limite de la suite
un
( )
.
d) Interpréter cette limite.
T09 Contrôle du 25 Novembre 2016

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Correction :
Exercice 1 : 3 points
1) On a
p C ∩M
( )
=p M
( )
×pMC
( )
=0,1×0,3 =0,03
2) Les événements
M
et
M
forment une partition de l’univers.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
p C
( )
=p M
( )
×pMC
( )
+p M
( )
×PMC
( )
=0,03+0,9 ×0,08 =0,102
3) On calcule
pCM
( )
=p C ∩M
( )
p C
( )
=0,03
0,102
!0,2941
.
Exercice 2 : 7 points
Deux parties :
1) Voir arbre ci-contre.
2) On a
p G1∩G2
( )
=p G1
( )
×pG1 G2
( )
=0,5 ×0,7 =0,35
3) Les événements
G1
et
G1
forment une partition de l’univers.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
p G2
( )
=p G1
( )
×pG1 G2
( )
+p G1
( )
×P
G1
G2
( )
=0,35 +0,5 ×0,1 =0,35 +0,05 =0,4
Plusieurs parties :
1) Voir arbre ci-contre.!
2) Les événements
Gn
et
Gn+1
forment une partition de l’univers.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
p Gn+1
( )
=p Gn
( )
×pGn Gn+1
( )
+p Gn
( )
×P
Gn
Gn+1
( )
=un×0,7 +1−un
( )
×0,1 =0,6un+0,1
3) On a pour tout
n∈!∗,
! par
vn=un−0,5
a)
vn+1=un+1−0,25 =0,6un+0,1−0,25
=0,6un−0,15 =0,6 un−0,15
0,6
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
=0,6 un−0,25
( )
=0,6vn
La suite
vn
( )
est donc géométrique de premier terme
v1=u1−0,25 =0,5 −0,25 =0,25
et de raison 0,6.
b) D’après le cours, pour tout
n∈!∗,
! on a
vn=v1×qn−1=0,25 ×0,6n−1
et donc
un=vn+0,25 =0,25 ×0,6n−1+0,25
.
c) Comme c’est une suite géométrique de raison strictement comprise entre
−1
et 1, la suite
vn
( )
tend vers 0.
On a donc
lim
n→+∞
un=lim
n→+∞
vn+0,25 =0+0,25 =0,25
d) Au bout d’un grand nombre de parties, Louis n’a pratiquement qu’une chance sur quatre de gagner.