Exercice 1 : 3 points En utilisant sa base de données, la sécurité

T09
Contrôle du 25 Novembre 2016
Exercice 1 : 3 points
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la
naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L’étude a également permis de
prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme,
seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n’atteint plus que 8
% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
M : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
C : « La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie ».
1) Montrer que la probabilité que la personne ait une malformation et soit victime d’un accident cardiaque
est égale à 3 %.
2) Calculer la probabilité que la personne soit victime d’un accident cardiaque.
3) On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque.
Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
Arrondir à 10−4 près.
Exercice 2 : 7 points
Louis et Arthur jouent à un jeu de société dans lequel il n’y a pas d’égalité.
Les deux joueurs ont la même probabilité de gagner la première partie.
En revanche, si Louis gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7.
S’il perd la partie la probabilité qu’il perde la suivante est 0,9.
Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l’événement « Louis gagne la n-ième partie ».
Deux parties :
On suppose ici que Louis et Arthur font deux parties.
1) Décrire l’énoncé à l’aide d’un arbre de probabilité.
2) Calculer la probabilité que Louis gagne les deux parties.
( )
3) Démontrer que p G2 = 0,4
Plusieurs parties :
On suppose, ici, que les joueurs font plusieurs parties.
( )
Pour tout n ∈!∗ , on note un = p Gn .
1) Recopier et compléter l’arbre ci-contre.
2) Montrer que pour tout n ∈!∗ , un+1 = 0,6un + 0,1
( )
Montrer que la suite ( v ) est géométrique de raison 0,6 et de premier terme 0,25.
Exprimer ( v ) puis ( u ) en fonction de n.
Calculer la limite de la suite ( u ) .
3) On considère alors la suite vn définie pour tout n ∈!∗ , par vn = un − 0,25
a)
b)
c)
n
n
n
d) Interpréter cette limite.
n
Correction :
Exercice 1 : 3 points
(
)
( )
( )
1) On a p C ∩ M = p M × p M C = 0,1× 0,3 = 0,03
2) Les événements M et M forment une partition de l’univers.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
( )
p ( C ) = p ( M ) × p M ( C ) + p M × PM ( C ) = 0,03+ 0,9 × 0,08 = 0,102
p (C ∩ M )
3) On calcule pC ( M ) =
p (C )
=
0,03
! 0,2941 .
0,102
Exercice 2 : 7 points
Deux parties :
1) Voir arbre ci-contre.
(
)
( )
( )
2) On a p G1 ∩ G2 = p G1 × pG G2 = 0,5 × 0,7 = 0,35
1
3) Les événements G1 et G1 forment une partition de l’univers.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
( )
p ( G2 ) = p ( G1 ) × pG ( G2 ) + p G1 × PG ( G2 ) = 0,35 + 0,5 × 0,1 = 0,35 + 0,05 = 0,4
1
1
Plusieurs parties :
1) Voir arbre ci-contre.
2) Les événements Gn et Gn+1 forment une partition de l’univers.
D’après la formule des probabilités totales, on a :
( )
p ( Gn+1 ) = p ( Gn ) × pG ( Gn+1 ) + p Gn × PG ( Gn+1 )
n
n
= un × 0,7 + (1− un ) × 0,1 = 0,6un + 0,1
3) On a pour tout n ∈!∗ , par vn = un − 0,5
vn+1 = un+1 − 0,25 = 0,6un + 0,1− 0,25
a)
⎛
0,15 ⎞
= 0,6un − 0,15 = 0,6 ⎜ un −
0,6 ⎟⎠
⎝
= 0,6 ( un − 0,25) = 0,6vn
( )
La suite vn est donc géométrique de premier terme v1 = u1 − 0,25 = 0,5 − 0,25 = 0,25 et de raison 0,6.
b) D’après le cours, pour tout n ∈!∗ , on a vn = v1 × q n−1 = 0,25 × 0,6 n−1
et donc un = vn + 0,25 = 0,25 × 0,6 n−1 + 0,25 .
( )
c) Comme c’est une suite géométrique de raison strictement comprise entre −1 et 1, la suite vn tend vers 0.
On a donc lim un = lim vn + 0,25 = 0 + 0,25 = 0,25
n→+∞
n→+∞
d) Au bout d’un grand nombre de parties, Louis n’a pratiquement qu’une chance sur quatre de gagner.
2/2