TS Blanc1(2016_2017)

BACCALAUREAT BLANC
BL
IG
AT
O
Série S
IR
MATHEMATIQUES
E
SESSION 2016
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
O
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages.
1/5
Exercice 1 (5 pts)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10−4 près.
Partie A
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la
naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L’étude a également permis
de prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type
anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion
n’atteint plus que 8 % pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
M : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
C : « La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie ».
1. a. Montrer que P(M ∩ C) = 0, 03.
b. Calculer P(C).
2. On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation
cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de 400 personnes, prises au hasard dans la population
française.
On note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l’échantillon présentant une
malformation cardiaque de type anévrisme.
1. Définir la loi de la variable aléatoire X.
2. Déterminer P(X = 35).
3. Déterminer la probabilité que 30 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
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Exercice 2 (5 pts)
Soit la suite numérique (un ) définie sur l’ensemble des entiers naturels N par


u0 = 2


1


 et pour tout entier naturel n, un+1 =
u + 3 × 0, 5n .
5 n
1. a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (un )
approchées à 10−2 près:
n
un
0
2
1
2
3
4
5
6
7
8
b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (un ).
2. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a
un >
15
× 0, 5n .
4
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, un+1 − un 6 0.
c. Démontrer que la suite (un ) est convergente.
3. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite (un ).
Soit (vn ) la suite définie sur N par vn = un − 10 × 0, 5n .
1
a. Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison . On précisera le premier
5
terme de la suite (vn ).
b. En déduire, que pour tout entier naturel n,
n
1
un = −8 ×
+ 10 × 0, 5n .
5
c. Déterminer la limite de la suite (un )
4. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche la plus
petite valeur de n telle que un 6 0, 01.
Entrée :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
n et u sont des nombres
n prend la valeur 0
u prend la valeur 2
Tant que . . .
n prend la valeur . . .
u prend la valeur . . .
Fin Tant que
Afficher n
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(1)
(2)
(3)
Exercice 3 (5 pts)
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’ensemble R des nombres réels par
f (x) = x + 1 +
x
.
ex
−ı ; →
− ).
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; →
1. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’ensemble R par
g(x) = 1 − x + ex .
Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R (les limites de g
aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
En déduire le signe de g(x).
2. Déterminer la limite de f en −∞ puis la limite de f en +∞.
3. On appelle f ′ la dérivée de la fonction f sur R.
Démontrer que, pour tout réel x,
f ′ (x) = e−x g(x).
4. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R.
5. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution réelle α sur R.
Démontrer que −1 < α < 0.
6. a. Démontrer que la droite T d’équation y = 2x+1 est tangente à la courbe C au point d’abscisse
0.
b. Etudier la position relative de la courbe C et de la droite T.
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Exercice 4 (5 pts)
Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :
Rhésus +
Rhésus −
O
35,0 %
9,0 %
A
38,1 %
7,2 %
B
6,2 %
1,2 %
AB
2,8 %
0,5 %
L’expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population française.
On note Rh+ l’évènement « La personne a le facteur Rh+ ».
On note O l’évènement « La personne appartient au groupe O ».
Les résultats numériques seront, s’il y a lieu, arrondis à trois décimales.
1. a. Déterminer les probabilités des évènements Rh+ et O.
b. Les évènements Rh+ et O sont-ils indépendants ?
2. Quelle est la probabilité qu’une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+ ?
3. Reproduire et compléter l’arbre suivant par les probabilités de chaque branche.
O
A
Rh+
B
AB
O
A
Rh−
B
AB
4. a. On considère n personnes choisies au hasard dans la population française. Exprimer en fonction de n, la probabilité p pour qu’il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O.
b. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle on a : pn > 0, 999.
c. Déterminer la limite de (pn ). Interpréter le résultat.
5/5