TS Blanc1(2016_2017)

OBLIGATOIRE
BACCALAUREAT BLANC
SESSION 2016
MATHEMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. La qualité et la précision de la rédac-
tion seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages.
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Exercice 1 (5 pts)
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10−4près.
Partie A
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la
naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L’étude a également permis
de prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type
anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion
n’atteint plus que 8 % pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
M : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
C : « La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie ».
1. a. Montrer que P(M ∩C) = 0,03.
b. Calculer P(C).
2. On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu’elle pré-
sente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation
cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de 400 personnes, prises au hasard dans la population
française.
On note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l’échantillon présentant une
malformation cardiaque de type anévrisme.
1. Définir la loi de la variable aléatoire X.
2. Déterminer P(X = 35).
3. Déterminer la probabilité que 30 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malforma-
tion cardiaque de type anévrisme.
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Exercice 2 (5 pts)
Soit la suite numérique (un) définie sur l’ensemble des entiers naturels Npar
u0= 2
et pour tout entier naturel n, un+1 =1
5un+ 3 ×0,5n.
1. a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (un)
approchées à 10−2près:
n012345678
un2
b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (un).
2. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nnon nul on a
un>15
4×0,5n.
b. En déduire que, pour tout entier naturel nnon nul, un+1 −un60.
c. Démontrer que la suite (un)est convergente.
3. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite (un).
Soit (vn)la suite définie sur Npar vn=un−10 ×0,5n.
a. Démontrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 1
5. On précisera le premier
terme de la suite (vn).
b. En déduire, que pour tout entier naturel n,
un=−8×1
5n
+ 10 ×0,5n.
c. Déterminer la limite de la suite (un)
4. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche la plus
petite valeur de ntelle que un60,01.
Entrée : net usont des nombres
Initialisation : nprend la valeur 0
uprend la valeur 2
Traitement : Tant que . . . (1)
nprend la valeur . . . (2)
uprend la valeur . . . (3)
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
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Exercice 3 (5 pts)
On considère la fonction fdéfinie et dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels par
f(x) = x+ 1 + x
ex.
On note Csa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; −→ ı;−→ ).
1. Soit gla fonction définie et dérivable sur l’ensemble Rpar
g(x) = 1 −x+ ex.
Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction gsur R(les limites de g
aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
En déduire le signe de g(x).
2. Déterminer la limite de fen −∞ puis la limite de fen +∞.
3. On appelle f′la dérivée de la fonction fsur R.
Démontrer que, pour tout réel x,
f′(x) = e−xg(x).
4. En déduire le tableau de variation de la fonction fsur R.
5. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution réelle αsur R.
Démontrer que −1<α<0.
6. a. Démontrer que la droite T d’équation y= 2x+1 est tangente à la courbe Cau point d’abscisse
0.
b. Etudier la position relative de la courbe Cet de la droite T.
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Exercice 4 (5 pts)
Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :
O A B AB
Rhésus + 35,0 % 38,1 % 6,2 % 2,8 %
Rhésus −9,0 % 7,2 % 1,2 % 0,5 %
L’expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population française.
On note Rh+ l’évènement « La personne a le facteur Rh+ ».
On note O l’évènement « La personne appartient au groupe O ».
Les résultats numériques seront, s’il y a lieu, arrondis à trois décimales.
1. a. Déterminer les probabilités des évènements Rh+ et O.
b. Les évènements Rh+ et O sont-ils indépendants ?
2. Quelle est la probabilité qu’une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+ ?
3. Reproduire et compléter l’arbre suivant par les probabilités de chaque branche.
Rh+
O
A
B
AB
Rh−
O
A
B
AB
4. a. On considère npersonnes choisies au hasard dans la population française. Exprimer en fonc-
tion de n, la probabilité ppour qu’il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O.
b. Déterminer la plus petite valeur de npour laquelle on a : pn>0,999.
c. Déterminer la limite de (pn). Interpréter le résultat.
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