Fête des mathématiques 2015

Fête des mathématiques
Nouveau-Brunswick francophone, le 17 février 2015
Le thème pour 2015 : la cryptographie, ou l’art de coder et
décoder.
L’algèbre modulaire et les nombres premiers font partie des mathématiques
utilisées dans la cryptographie moderne, notamment dans les systèmes qui
assurent la protection des données sur internet. Ces sujets s’ajoutent donc au
thème de 2015.
A. Cryptographie : La cryptographie est la science du codage. Ses activités
principales sont la création de codes (trouver une méthode de codage pour
écrire des messages secrets) et le décodage (essayer de déchiffrer les
messages secrets).
Un des codes les plus anciens était le code de Jules César, dans lequel chaque
lettre était simplement décalée de trois positions dans l’alphabet (Le A est
remplacé par le D, le B est remplacé par le E et ainsi de suite jusqu’à la fin de
l’alphabet. Les trois dernières lettres sont remplacées par les trois premières, le X
par le A, le Y par le B et le Z par le C).
Code de César
1
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
2
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
Ligne 1 : l’alphabet normal
Ligne 2 : l’alphabet modifié (le A est devenu le D, le B est devenu le E…)

Par exemple pour envoyer le message « Veni Vidi Vinci » Jules César aurait écrit
« Yhql Ylgl Ylqfl »
Jules César était un général et homme politique romain important qui vivait
dans le 1er siècle avant Jésus-Christ. La langue de Rome à l’époque était le latin
et « Veni Vidi Vinci » est une phrase latine qui signifie « Je suis venu. J’ai vu. J’ai
vaincu.»
Exercice 1 : Codez le message suivant en utilisant le code de César
« J’arrive demain »
Exercice 2 : Le message ci-dessous a été codé en utilisant le code de Jules César
« Lov vrqw fxlwv »
Décodez-le.
Activité de groupe en classe : Inspirez-vous du code de Jules César pour créer un
nouveau code et formez deux groupes, un qui écrit
des messages secrets, l’autre qui décode les
messages secrets.
Pour les plus vieux, l’activité peut être
complexifiée : le second groupe ne connait pas le
code, il sait seulement que c’est inspiré du code de
César (un déplacement des lettres de l’alphabet)
et il doit trouver le code et décoder les messages.

Coder avec un mot clé ou une phrase clé
Le désavantage du code Jules César dans lequel les lettres sont décalées est qu’il
n’existe que 25 possibilités de décalage. Ainsi, si le messager est intercepté, il
suffit d’essayer toutes les possibilités pour décoder le contenu du message. Pour
complexifier le décodage, l’idée est venu d’avoir un mot clé ou une phrase clé
secrète. Par exemple, pour utiliser JULIUS CEASAR comme phrase clé, on
commence par enlever les espaces et les lettres répétitives ( il reste JULISCAER).
La clé consiste à placer au début de l’alphabet le texte de la phrase clé et ensuite
de continuer l’alphabet là où on est rendu. On commençant donc avec JULISCAER.
On s’assure ensuite de ne pas réutiliser les lettres de la phrase secrète et à la fin
de l’alphabet, on recommence au début. On obtient ainsi :
Le code avec la phrase clé Julius Ceasar (code JULIUS CEASAR)
1
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
2
J
U
L
I
S
C
A
E
R
T
V
W
X
Y
Z
B
D
F
G
H
K
M
N
O
P
Q
Ligne 1 : l’alphabet normal
Ligne 2 : l’alphabet modifié (le a est devenu le J, le b est devenu le U, …)
Exercice 3 : Codez le message suivant en utilisant le code obtenu avec le code
JULIUS CEASAR.
« demain dix heures »
Exercice 4 : Le message ci-dessous a été codé en utilisant le code JULIUS CEASAR.
Décodez-le.
« BZFHS GKI ZYQS ESKFSG »
Activité en groupes de 2 :
Inventer un mot clé ou une phrase clé secrète et créer un nouveau code. En
équipe de deux, chacun écrit un message secret et l’autre le décode.
Pour complexifier le décodage, ne pas donner la clé au partenaire.

B. Les nombres premiers : Les diviseurs propres d’un nombre sont les
diviseurs de ce nombre sauf 1 et le nombre lui-même. Par exemple, les
diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6. Les diviseurs propres de 6 sont 2 et 3. Les
diviseurs propres de 10 sont 2 et 5. Le nombre 7 n’a pas de diviseurs
propres, ses seuls diviseurs étant 1 et 7. Un nombre premier est un nombre
entier positif plus grand que 1 et qui n’a pas de diviseurs propres.
Autrement dit, un nombre premier ne se divise que par 1 et par lui-même et
1 n’est pas un nombre premier (tous les nombres premiers ont deux
diviseurs positifs, 1 n’y en a qu’un. Tous les autres nombres en ont au
moins trois. Donc les nombres premiers sont ceux qui ont exactement deux
diviseurs positifs distincts)
Les 10 premiers nombres premiers sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Le crible d’Érathostène
Pour trouver dans une liste de nombre quels sont les nombres premiers, le
mathématicien grec Érathostène (qui vivait dans le 3e siècle avant Jésus
Christ) a inventé une méthode qui s’appelle le crible d’Érathostène.
Supposons qu’il veut connaitre tous les nombres premiers inférieurs à un
nombre n. Il fait la liste de tous les nombres premiers dont le carré est plus
petit ou égal à n.
a. Il commence en barrant le nombre 1 dans la liste.
b. Puis en prenant ces nombres premiers un par un dans la liste, en
commençant par le plus petit et en montant, il barre les multiples de ces
nombres, mais pas ces nombres eux-mêmes..
Ainsi il barre d’abord les multiples de 2 (4, 6, 8…),
Ensuite il barre les multiples de 3 plus grands que 3 qui ne sont pas déjà
barrés (9, 15, 21…).

Puis il continue avec les autres nombres premiers de sa liste. Quand il a fini,
les nombres premiers sont ceux qui ne sont pas barrés.
Par exemple, supposons qu’on veut trouver les nombres premiers de 1 à 50.
Le plus grand nombre premier dont le carré ne dépasse pas 50 est 7 (72 =
49). Sa liste de nombres premiers est donc 2, 3, 5 et 7.
Il barre d’abord le 1.
Ensuite il barre les multiples de 2 plus grands que 2 : (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,
18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50)
Ensuite il barre les multiples de 3, plus grands que 3, qui ne sont pas déjà
barrés : (9, 15, 21, 27, 33, 39, 45)
Ensuite il barre les multiples de 5, plus grands que 5, qui ne sont pas déjà
barrés : (25, 35)
Finalement il barre les multiples de 7, plus grands que 7, qui ne sont pas
déjà barrés : (49)
Les nombres qui restent (les nombres non noircis dans le tableau ci-
dessous) sont les nombres premiers entre 1 et 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Les nombres premiers plus petits ou égaux à 50 sont donc :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Il y en a quinze.
Exercice 5 : Combien y a-t-il de nombres premiers plus petits que 100? Faites-en
la liste en utilisant le crible d’Érathostène.