Modulo et Diviseurs

Modulo et Diviseurs
Le « modulo » est une opération arithmétique très utile, intégrée dans (presque ?) tous les langages informa-
tiques. Étant donnés deux nombres entiers aet bstrictement positifs, le résultat de la commande « amodulo b»
est le reste de la division euclidienne de apar b.
Exemples :
20 modulo 3 = . . . 5347 modulo 10 = . . .
2016 modulo 5 = . . . 130 modulo 13 = . . .
À quelle condition sur aet ba-t-on « amodulo b=0 » ?
Pour chacune des questions ci-dessous :
•réfléchir en groupe et sur le papier à un programme qui permette d’y répondre;
•quand le groupe est parvenu à un consensus, écrire et tester le programme sur machine ;
•le cas échéant, déboguer le programme.
1. Lister tous les diviseurs de 23494.
2. Quel est le nombre de diviseurs de 12288 ?
3. Parmi tous les nombres de 1 à 1000, quel est celui qui compte le plus de diviseurs ?
4. Un nombre est dit premier s’il n’admet que deux diviseurs (à savoir 1 et lui-même).
Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à 1000 ?
5. Un nombre est dit parfait lorsqu’il est égal à la somme de ses diviseurs excepté lui-même.
Par exemple, 6 admet pour diviseurs 1, 2, 3 et 6, et on a 1 +2+3=6, donc 6 est un nombre parfait.
Trouver tous les nombres parfaits inférieurs à 1000.
6. On part d’un nombre entier nnon nul ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par
3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d’entiers positifs.
Par exemple, à partir de n=10, on obtient la suite de nombres : 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, etc.
On décide d’arrêter la suite lorsque l’on parvient au nombre 1 car le cycle 4, 2, 1 se reproduit ensuite à
l’identique. On appelle longueur de la suite le nombre d’étapes aboutissant au nombre 1 : pour n=10,
la longueur vaut 6.
Trouver parmi tous les nombres entiers inférieurs à 1000 celui dont la suite est la plus longue.
Spécialité ISN – 2016 / 2017 1 Lycée Fresnel - Paris