Nombres premiers

Nombres premiers - Exercices 1 1
Exercice A
Un ami louche vous affirme que tout nombre premier p supérieur à 5 est de la forme
6k+1
ou
6k+5
, avec
k∈ℕ*
.
A-t-il raison ? Expliquer.
Exercice B
Soit p un nombre premier.
Peut-on trouver deux nombres a et b dans
ℕ
tels que
a2−b2=p
?
Exercice C
1) Trouver des entiers a, b et c tels que
( n+1 )
(
a n2+b n+c
)
=n3+1
2) En déduire que pour tout
n⩾2
,
n+1
divise
n3+1
et que
n3+1
n'est jamais
premier.
Exercice D
On dit que deux nombres impairs consécutifs sont jumeaux s'ils sont premiers tous les
deux.
1) Donner trois exemples de couples de nombres jumeaux
2a) Montrer que parmi trois nombres impairs consécutifs, l'un au moins est divisible par
trois.
b) Existe-t-il des nombres impairs qui seraient des triplés, c'est à dire consécutifs et
tous premiers ?
1

Eléments de correction
Exercice A
L'énoncé pousse à étudier la congruence modulo 6.
Si
p≡0
ou
p≡2
ou
p≡4
(mod 6), alors p est pair donc pas premier (car
p≠2
).
Si
p≡3
(mod 6), alors 3 divise p et donc p n'est pas premier (car
p>3
).
Au final, par disjonction des cas, on peut affirmer que si p est premier, alors
p≡1
(mod
6) ou
p≡5
(mod6)
Logique : on a montré cette condition nécessaire, mais elle n'est pas suffisante.
Exemple : pour
k=2
,
6k+1=15
qui n'est pas premier.
Exercice B
a2−b2=
(
a−b
)(
a+b
)
a−b
et
a+b
divisent donc
a2−b2
.
Puisque
a−b<a+b
,
a2−b2
est premier si et seulement si
{
a−b=1
a+b=p
⇔
{
2a=p+1
b=a−1
Les nombres premiers sont impairs sauf 2, donc :
•Si
p≠2
,
a=p+1
2
et
b=a−1
conviennent (p+1 est pair donc
p+1
2
∈
ℕ
)
•Si
p=2
, il n'existe pas de couple (a;b) solution, car il faudrait nécessairement
que
2a=3
, ce qui est impossible dans
ℕ
Conclusion : on peut toujours trouver a et b sauf si
p=2
.
A faire : prendre un nombre entier au hasard et retrouver a et b pour illustrer ce résultat
étonnant.
Exercice C
1) Par identification, on trouve que
n3+1= ( n+1 )
(
n2−n+1
)
.
2)
n+1
et
n2−n+1
sont deux diviseurs de
n3+1
Méthode 1 (montrer que n+1 est différent de 1 et de
n3+1
)
•Pour tout
n⩾2
,
n+1>1
donc
n+1≠1
•Supposons que
n+1=n3+1
. On aurait
n=n3
et puisque
n⩾2
,
n2=1
, c'est
à dire
n=1
(car
n∈ℕ
), ce qui est impossible car
n⩾2
.
Donc
n+1≠n3+1
. On en conclut que
n3+1
n'est pas premier (avec la définition).
Méthode 2 (ordonner les diviseurs)
n2−n+1>n+1
⇔
n ( n−2 ) >0
⇔
n>2
car
n>0
(signe d'un produit)
On en déduit que pour
n>2
,
1<n+1<n2−n+1
et donc que
n3+1
n'est pas
premier (car divisible par autre chose que 1 et lui même).
Reste à étudier le cas où
n=2
: on a alors
n3+1=9
qui n'est pas premier.
2

Point méthode : pour montrer qu'un nombre n=pq est premier on peut utiliser la
définition et (entre autres) :
1. Montrer que
p≠1
et que
p≠n
(définition)
2. Montrer que
p<q
et que
p≠1
(car alors
1<p<q⩽n
, donc
p≠1
et
p≠n
).
3. Montrer que
p<q
et que
q≠n
(car alors
1⩽p<q<n
donc
q≠1
et
q≠n
)
Exercice D
1) 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19 par exemple.
2a) On étudie trois nombre impairs consécutifs, qui s'écrivent donc :
2p+1
,
2p+3
et
2p+5
, p
∈
ℕ
.
Congruences modulo 3 :
p 2p+1 2p+3 2p+5 Produit
0 1 3
≡
0 5
≡
2 0
1 3
≡
0 5
≡
2 7
≡
1 0
2 5
≡
2 7
≡
1 9
≡
0 0
b) L'étude de la congruence modulo 3 montre que l'un au moins est divisible par 3.
Il ne peut donc pas exister de « nombres triplés » sauf si l'un deux est trois lui
même :
2p+1=3
, c'est à dire
p=1
On vérifie que (3;5;7) sont premiers : c'est le seul triplet de triplés
3