Théorème de Чеботарёв (Tchebotariov, Chebotaryov - IMJ-PRG

MM120 Théorie des nombres Loïc Merel
Année 2013-2014 Dominique Bernardi, Pierre Charollois
Feuille 5
Théorème de Чеботарёв (Tchebotariov, Chebotaryov, Chebotarev, etc.)
Exercice 1 Soit f∈Z[X]\{0}un polynôme non nul à coefficients entiers. Pour tout nombre
premier p, on note np(f) = |{a∈Fp;f(a) = 0}| le nombre de racines distinctes de fmodulo
p. Montrer que le nombre moyen de racines modulo p, c’est-à-dire
lim
X→∞
p<X
np(f)
p<X
1
est égal au nombre de facteurs irréductibles distincts de fdans Q[X]. Si fest produit de fac-
teurs linéaires pour presque tout p, montrer que fest produit de facteurs linéaires dans Q[X]
Exercice 2
a) Soit Xun ensemble de cardinal n > 1, et Gun groupe agissant transitivement sur X. Montrer
qu’il existe σ∈Gtel que ∀x∈X, σ(x)̸=x.
b) Montrer que si f∈Z[X]est irréductible et a un zéro modulo ppour presque tout p, alors f
est de degré 1.
c) Trouver un polynôme unitaire f∈Z[X]de degré minimal tel que fn’ait pas de racine dans
Zmais que fait une racine modulo ppour tout ppremier.
Exercice 3 Montrer que le nombre wKdes racines de l’unité dans un corps de nombres K
est le pgcd des Np−1, où pparcourt les idéaux premiers de caractéristique ≥1+[K:Q].
Exercice 4 Montrer que l’anneau pFpadmet un idéal maximal met un sous-anneau B⊃m
tels que B/msoit une clôture algébrique de Q.
Exercice 5
a) Soit (Xn)n∈Nune suite d’ensembles de nombres premiers disjoints. On suppose que chaque
Xna une densité dn. Peut-on en conclure que X=∪nXna pour densité ndn?
b) Soit (Yn)n∈Nune autre suite d’ensembles de nombres premiers disjoints entre eux et des Xn
de densité entelle que ndn+nen= 1. Montrer que Xa pour densité ndn.
Exercice 6 Pour tout nombre premier p̸= 2,5, notons dpla période du développement déci-
mal de 1/p. Montrer que l’ensemble des ptels que dpest impair a une densité et calculer cette
densité. On pourra montrer que la condition sur péquivaut à l’existence d’un entier r≥1tel
que pest totalement décomposé dans Q(ζ2r,2r
√10) mais pas dans Q(ζ2r+1 ,2r √10).
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Corps de classes de Hilbert
Exercice 7 Soient pet qdeux nombres premiers distincts congrus à 1 (mod 4). Montrer que
le corps de classes de Hilbert de K=Q(√pq)contient √pet √q. En déduire que hKest pair.
Exercice 8
a) Montrer que le corps de classes de Hibert de K=Q(√−5) est K(i). Montrer qu’un nombre
premier ps’écrit sous la forme x2+ 5y2si et seulement si il est congru à 1 ou 9 (mod 20).
b) Montrer que si αest une racine du polynôme f=X4+ 2X2−7, le corps de classes de
Hilbert de K=Q(√−14) est K(α). Montrer qu’un nombre premier ps’écrit x2+ 14y2si et
seulement si il vérifie “fa une racine modulo pet p≡1,9,15,23,25 ou 39 (mod 56)”.
c) On rappelle que le discriminant de X3+aX +best −(4a3+ 27b2). Expliciter les corps de
classes de Hilbert de Q(√−23) et Q(√−31).
Exercice 9 On rappelle (voir feuille 1) que si aet bsont deux entiers sans facteurs carrés
premiers entre eux et tels que a̸≡ ±b(mod 9), le corps Q(3
√ab)a pour discriminant −27a2b2.
Trouver une unité de K=Q(3
√6) et montrer que hK= 1.
Exercice 10 Soit L/Kune extension quadratique de corps de nombres telle que Ksoit to-
talement réel et Ltotalement complexe. On dit que Lest un corps de type CM (pour Complex
Multiplication).
a) Montrer que [O×
L:O× KµL|= 1 ou 2.
b) Montrer que hKdivise hL.
Classes de rayon
Exercice 11
a) Soit Kun corps de nombres, f=fff∞un module sur K,Cl le groupe des classes d’idéaux
de K,Clfle groupe des classes de rayon f,O×
+le groupes des unités de Kpositives aux places
divisant f∞. Montrer qu’il y a une suite exacte naturelle
1→(O/ff)×/φ(O×
+)→Clf→Cl →1.
b) Montrer que pour n≥1le corps de classes de Qde rayon n∞est Q(ζn). Quel est le corps
de classes de rayon n?
Exercice 12 Posons K=Q(ζ3)et m= (5 + 3ζ3). On note Fle corps de classes de Kde
rayon m.
a) Montrer que Gal(F/K)≃Z/3Z. En déduire que Fpeut s’écrire
F=K3
ζk
3(5 + 3ζ3).
b) Déterminer F. (On pourra considérer le Frobenius en (4 + 3ζ3)).
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Corrigé de l’exercice 4
Notons Al’anneau pFp. Il contient un sous-anneau premier que nous noterons Z. No-
tons Ile sous-ensemble de Aformé des suites à support fini. Il est clair que Iest un idéal de
A. Soit Kune extension galoisienne finie de Q. Nous dirons que α∈Aest adapté à Ksi pour
presque tout ppremier décomposé dans Kon a αp= 0. Posons
J={α∈A;∃K/Qgaloisienne finie telle que αadapté à K}.
Montrons que Jest un idéal de A. En effet, si Kconvient pour αet Lpour β, le composi-
tum KL convient pour α+β. On voit que I⊂Jen prenant K=Q. Enfin, grâce à une forme
très faible du théorème de Chebotarev, on voit que J∩Z={0}.
Soit mun idéal de Aqui contient J, vérifie m∩Z={0}et est maximal pour cette dernière
propriété (Le lemme de Zorn implique qu’un tel mexiste).
Montrons que mest un idéal maximal de A. En effet, si x̸∈ m, on a
(m+xA)∩Z̸={0}.
Soit donc m∈m,a∈Aet n∈Z̸=0 tels que n=m+xa. Posons y∈Adont la p-composante
est 0si p|net 1/nsinon. On a 1−ny ∈I⊂m, et la formule
1 = (my + (1 −ny)) + x(ay)
montre que xest inversible modulo m.
Le corps K=A/mest de caractéristique nulle puisque m∩Z={0}. Soit f∈Z[X]et
N/Qson corps de décomposition. Pour presque tout pdécomposé dans N, le polynôme fa
une racine αp∈Fp. Pour tous les autres p, posons αp= 0 (par exemple). On a α∈Aet
f(α)∈J⊂m. L’image de αdans Kest donc une racine de f. On en déduit que Kcontient
Q.
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