Exercices guidés pendant mon absence

Exercice 1 On considère ce triangle rectangle ABC :
On connaît : AB = 5 et BC = 2
On cherche l’angle x (on peut aussi dire l’angle d A ). Arrondir au degré.
MODELE
DE REDACTION :
Exercice 2 On considère ce triangle rectangle ABC :
On connaît : BC = 5 et x = 25°
On cherche : AC. Arrondir au millimètre.
MODELE DE REDACTION :
1. Dans le triangle ABC rectangle en B :
2. tan x = BC
AB
3. tan x = 2
5
4. donc x ≈
≈≈
≈ 22°
1. Dans le triangle ABC rectangle en B :
2. sin d
dd
d
A = BC
AC
3. sin 25° = 5
AC
AC = 5
sin25°
4. donc AC ≈
≈≈
≈ 11,8 cm
A
C
B
x
5 cm
2cm
Sur la calculatrice on tape
tan
–1
(2 ÷ 5)
La question que vous devez vous poser est
:
« dois-je utiliser le cosinus, le sinus ou bien la tangente ? »
Pour y répondre : regardez bien les données que vous avez :
AB qui est le côté adjacent
BC qui est le côté opposé
La seule formule des 3 qui utilise les côtés adjacents et opposés est la TANGENTE
(pensez à CAH SOH T
OA
)
«
dois
-
je utiliser le cosinus, le sinus ou bien la tangente
?
»
AC, que je cherche est l’hypoténuse
BC qui est le côté opposé
La seule formule des 3 qui utilise le côté opposé et l’hypoténuse est le SINUS
(pensez à CAH S
OH
TOA )
5 cm
A
C
B
25°
?
Valeur exacte
Arrondi au millimètre
LES MODELES A BIEN LIRE ET RELIRE AVANT DE COMMENCER
Ce sont les
produits
en
croix qui permettent
d’écrire ça !!
A COLLER PARTIE
LECON
1

Suite et fin du cours. A compléter et à coller dans le cahier de leçon. A APPRENDRE !!!
III. valeurs particulières
En général, quand on tape sur la calculatrice des valeurs du style cos 37° , ou tan 75°, ou sin 61° on
s’aperçoit que cela ne « tombe pas juste ».
Certaines valeurs tombent juste, pour l’instant on va en apprendre (par cœur ) deux :
(tapez vous même)
IV. Relations entre sinus, cosinus et tangente
1. Première relation
Activité : A la calculatrice, tapez : tan 37° ≈…………………………..
Et maintenant tapez sin(37°)
cos(37°) ≈…………………………..
Vous remarquez que cela donne le même résultat.
Essayez avec d’autres angles aigus (par exemple, tapez tan 72°, puis sin(72°)
cos(72°)) Même remarque ? ……..
Prouvons que si α
αα
α est un angle aigu, on a
sin
tan
cos
α
α
α
=
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
BC
sin
AC
α =
AB
cos
AC
α =
BC
tan
AB
α =
Donc : BC
sin BC AC BC
AC
tan
AB
cos AC AB AB
AC
α
α
α
= = × = =
Retenons par cœur :
Applications :
1. α est la mesure d’un angle aigu. On donne cosα = 0,6 et sinα = 0,8. Calcule tanα.
Réponse : d’après la formule, on a :
tanα=sin
cos
α
α
=
……………………… (donne la réponse sous forme de fraction irréductible)
cos 60° = sin 30° =
A
B
C
α
sin
tan
cos
α
α
α
=
2

2. Calcule sinβ sachant que
4
tan
3
β
=
et
3
cos
5
β
=
.
Réponse : d’après la formule, on a :
sin
tan
cos
4 sin
3
3
5
β
β
β
β
=
=
Donc d’après les produits en croix : sinβ = …………………………………………….
2. Deuxième relation
Activité : A la calculatrice, tapez : (cos37°)
2
+ (sin 37°)
2
=………….
A la calculatrice, tapez : (cos21°)
2
+ (sin 21°)
2
=………….
A la calculatrice, tapez : (cos76°)
2
+ (sin 76°)
2
=………….
Essayez avec d’autres angles aigus Même remarque ? ……..
 Prouvons que
( ) ( )
2 2
sin cos 1
α α
+ =
pour tout angle α
αα
α aigu
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
BC
sin
AC
α =
AB
cos
AC
α =
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
BC AB
sin cos
AC AC
BC AC
AC
α α + = +
+
=
2
2
AC
AC
1
=
= ( d’après le th de Pythagore)
Retenons par cœur :
Applications :
α étant la mesure d’ un angle aigu avec cos α =
2
3
, calculer sin α puis tan α sans chercher à calculer α .
d’après la formule :
( ) ( )
2 2
sin cos 1
α α
+ =
( )
22
2
cos 1
3
α
+ =
donc :
( )
2
4
sin 1
9
α
= −
donc :
( )
2
5
sin
9
α
=
donc :
5
sin
9
α =
A
B
C
α
( ) ( )
2 2
sin cos 1
α α
+ =
Calcul de tan α :
5
sin 5
9
tan 2
cos 2
3
α
αα
= = =
3

Exercices de base : à toi de faire (seul !!!).
C’est le même modèle que la page 1 collée dans la leçon.
ABC est un triangle rectangle en A tel que
AC = 2 cm et BC = 6 cm.
Calculer la mesure de l’angle x arrondie au degré.
A
C
B x
ABC est un triangle rectangle en A tel que
x
= 50° et BC = 6 cm.
Calculer la longueur de [AC] arrondie au centième.
A
C
B
x
IJK est un triangle rectangle en K tel que
IK = 5 cm et IJ = 13 cm.
Calculer la mesure de l’angle x arrondie au dixième
I
K
x
J
RST est un triangle rectangle en S tel que
x
= 57° et ST = 19 m.
Calculer la longueur de [RS] arrondie au centimètre.
S R
x
T
Rédige ici
NOM
: ………………………
4

Un peu plus dur : exercices du Brevet :
E XERCICE 1 ( FACILE )
Dans le triangle ABC de hauteur [AH]
représenté ci-dessous, on donne :
AC = 4 cm ; BH = 1,5 cm ; a ACB = 30°
1. Calculer la valeur exacte de AH.
2. En déduire la valeur arrondie au degré
prés de ma mesure de l’anglea ABC.
A
B H C 1,5 30°
4
Coup de pouce :
1. se placer dans le triangle ACH !!
2. Se placer dans le triangle ABH.
Attention
, on ne peut pas se placer dans le triangle ABC
car on ne
sait pas qu’il est rectangle
!!!
E XERCICE 2 ( FACILE )
L’unité de longueur est le mètre. Le dessin n’est
pas à l’échelle.
1. Roméo (R) veut rejoindre Juliette (J) à sa
fenêtre. Pour cela il place une échelle [JR] contre
le mur [JH]. Le mur et le sol sont
perpendiculaires.
On donne HR = 3 et JH = 4
a. Calculer JR.
b. Calculer cosa HJR , puis la valeur de
l’angle a HJR arrondie au degré.
2. L’échelle glisse.
On donne : JR = 5 et a
aa
a
HJR = 40°
a. Calculer HR (donner la valeur
arrondie
au centimètre).
b. Écrire l’expression tan a HJR ,
puis calculer JH (donner la valeur arrondie au
dixième)
Coup de pouce :
1. a) pas besoin de trigo…pensez au vieux Py………….
b) facile
2. a) attention à l’arrondi : combien de chiffres après la
virgule
?
H R
J
Rédige ici :
Rédige ici :
NOM
: ……………………………….
5