Correction TS. DM6.09

Correction
TS – DM
6
Chapitre : Conditionnement et indépendances .
La règle du jeu : On lance trois dés en même temps et on a le droit de les lancer trois fois afin de faire apparaître
un 4, un 2 et un 1 ensemble. Pour cela, on peut « garder » certains dés avant chaque lancer.
Exemple : On lance une première fois et on obtient 5, 3 et 1.
On doit alors garder le 1 et on relance les dés ayant eu 5 et 3.
On obtient 4 et 1, on garde le 4 et on relance le dernier dé . Si on obtient un 2 on a gagné sinon on a perdu.
Problématique : « la mise est de 1 €. Si on gagne alors on perçoit 3 €. Qu’en pensez-vous ? »
0. Télécharger le fichier « jeu421 » http://lycee.lagrave.free.fr/IMG/xls/jeu421.xls
1. Ouvrir le fichier « jeu421 » sur la feuille 1. Vérifier qu’en cliquant sur le bouton, on fait une partie.
Ouvrir la feuille 2. Sélectionner le nombre de parties voulues et cliquer sur le bouton.
Quelle réponse faites-vous à la problématique posée ? Expliquer pourquoi.
Comme la mise est de 1 € , un joueur obtiens –1 € par partie perdue et 2 € par partie gagnée,
or sur une simulation de 10 000 parties j’obtiens 2319 parties gagnantes,
le gain moyen d’un joueur avec cette simulation est donc
x
=
==
=
( )
7681 2319
1 2 0,7681 0,2319 2
10000 10000
× − + × = − + ×
0,3041
= −
= −= −
= −
€
ainsi avec une mise de 1 € et un gain de 3 € si on gagne, le jeu est défavorable au joueur.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir 421 avec un seul lancer des trois dés ?
Soit
{
}
1,2,3,4,5,6
E= l’ensemble des 6 numéros que je peux obtenir avec un dé
Un lancer de trois dés est une expérience aléatoire dont les issues sont des triplets ordonnés de 3 éléments de
E
non nécessairement distincts,
(
)
1, 2 , 3
où
1
représente le résultat du premier dé ( 6 numéros possibles )
2
représente le résultat du deuxième dé ( 6 numéros possibles )
3
représente le résultat du troisième dé ( 6 numéros possibles )
le nombre de listes de 3 éléments de
E
est
3
6 216
=
si
Ω
représente l’univers des possibles avec un seul lancer des trois dés ,
216
card
Ω =
Ω =Ω =
Ω =
tous les évènements élémentaires sont équiprobables et il y a 6 cas favorables à l’obtention de 421
avec un seul lancer :
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
{
{{
{
}
}}
}
4,2,1 ; 4,1,2 ; 2,4,1 ; 2,1,4 ; 1,4,2 ;
1,2,4
les
3! 6
=
permutations de l’ensemble
{
}
4,2,1
la probabilité d’obtenir 421 avec un seul lancer est :
6 1
216 36
=
==
= 3 bons numéros :
( )
3
1
A
36
p=
3. Quelle est la probabilité de n’obtenir ni 4, ni 2, ni 1 avec un seul lancer des trois dés ?
Il y a 27 cas favorables à l’obtention d’aucun bon numéro avec un seul lancer,
effectivement chaque issue favorable est une liste de 3 éléments de
{
}
' 3,5,6
E= il y en a
3
3 27
=
la probabilité de n’obtenir ni 4, ni 2, ni 1 avec un seul lancer est :
27 1
216 8
=
==
=
0 bon numéro :
( )
0
1
A
8
p
=

4. Démontrer que la probabilité d’obtenir un unique nombre parmi les trois ( c’est à dire soit un 1, soit un 2 soit un 4 ) avec un seul
lancer des trois dés est de
37
72
.
Il faut considérer différents cas :
- soit le bon numéro apparaît une seule fois : il y a
81 3 27
= ×
cas favorables
de la forme
(
)
, 2 , 3
a où
(
)
2 , 3
est une liste de 2 éléments de
{
}
' 3,5,6
E= , il y en a
2
3 9
=
(
)
2 , , 3
a où
(
)
2 , 3
est une liste de 2 éléments de
{
}
' 3,5,6
E= , il y en a
2
3 9
=
(
)
2 , 3,
a
où
(
)
2 , 3
est une liste de 2 éléments de
{
}
' 3,5,6
E= , il y en a
2
3 9
=
c’est-à-dire 27 issues avec le bon numéro noté
a
et 3 choix pour ce numéro
1
a
=
ou
2
a
=
ou
4
a
=
d’où
81 3 27
= ×
cas favorables
- soit le bon numéro apparaît exactement deux fois : il y a
27 3 9
= ×
cas favorables
de la forme
(
)
, , 3
a a où
(
)
3
est une liste de 1 élément de
{
}
' 3,5,6
E= , il y en a
1
3 3
=
(
)
, 3,
a a
où
(
)
3
est une liste de 1 élément de
{
}
' 3,5,6
E= , il y en a
1
3 3
=
(
)
3, ,
a a
où
(
)
3
est une liste de 1 élément de
{
}
' 3,5,6
E= , il y en a
1
3 3
=
c’est-à-dire 9 issues avec le bon numéro noté
a
et 3 choix pour ce numéro
1
a
=
ou
2
a
=
ou
4
a
=
d’où
27 3 9
= ×
cas favorables
- soit le bon numéro apparaît exactement trois fois : il y a
3
cas favorables
de la forme
(
)
, ,
a a a
qui sont les événements de cet ensemble
(
)
(
)
(
)
{
}
1,1,1 ; 2,2,2 ; 3,3,3
finalement j’obtiens :
81 27 3 111
+ + =
+ + =+ + =
+ + =
cas favorables
la probabilité d’obtenir un unique nombre parmi les trois ( c’est à dire soit un 1, soit un 2 soit un 4 )
avec un seul lancer des trois dés est de
111 37
216 72
=
==
= 1 bon numéro :
( )
1
37
A
72
p=
En déduire la probabilité d’obtenir exactement 2 numéros parmi le 4, le 2 et le 1 avec un seul lancer des dés.
avec un seul lancer des dés, je peux obtenir comme partition
0 1 2 3
A A A A
Ω = ∪ ∪ ∪
Ω = ∪ ∪ ∪Ω = ∪ ∪ ∪
Ω = ∪ ∪ ∪
l’événement
0
A
contient les triplets constitués de : 0 bon numéro
l’événement
1
A
contient les triplets constitués de : 1 bon numéro
l’événement
2
A
contient les triplets constitués de : 2 bons numéros
l’événement
3
A
contient les triplets constitués de : 3 bons numéros
la probabilité d’obtenir exactement 2 numéros parmi le 4, le 2 et le 1 avec un seul lancer des dés
est :
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
) (
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
2 0 1 3
1 37 1 24 1
A 1 A A A 1
8 72 36 72 3
p p p p
= − + + = − − − = =
= − + + = − − − = == − + + = − − − = =
= − + + = − − − = =
2 bons numéros :
( )
2
1
A
3
p
=

5. En poursuivant le raisonnement, calculer la probabilité de gagner. Conclure
au deuxième lancer, je note :
0
B
l’événement contenant les triplets constitués de : 0 bon numéro
1
B
l’événement contenant les triplets constitués de : 1 bon numéro
2
B
l’événement contenant les triplets constitués de : 2 bons numéros
3
B
l’événement contenant les triplets constitués de : 3 bons numéros
au deuxième lancer, je note :
0
C
l’événement contenant les triplets constitués de : 0 bon numéro
1
C
l’événement contenant les triplets constitués de : 1 bon numéro
2
C
l’événement contenant les triplets constitués de : 2 bons numéros
3
C
l’événement contenant les triplets constitués de : 3 bons numéros
En construisant un arbre pour les 3 lancers possibles, on obtient comme probabilité de gagner :
1 1 5 1 1 37 4 1 1 1 1 1 1 1 37 1 1 1 1
36 3 6 6 6 72 9 18 2 6 18 8 8 36 72 18 3 6 36
+ × × + + × × + × + + × + × + × +
+ × × + + × × + × + + × + × + × ++ × × + + × × + × + + × + × + × +
+ × × + + × × + × + + × + × + × +
ce qui fait environ 0,23
avec une mise de 1 € et un gain de 3 € si on gagne, le jeu est défavorable au joueur.
en effet si
X
est la variable aléatoire associée au gain d’une partie :
1
X
= −
ou
2
X
=
avec
(
)
1 0,77
P X = −
≃
et
(
)
2 0,23
P X =
≃
(
)
(
)
0,77 1 0,23 2 0,77 0,46 0,31
E X = × − + × = − + = − €
Le tableau suivant donne le cheminement pour atteindre le succès en 3 coups :
1ier lancer 2ième lancer 3ième lancer
événement probabilité événement probabilité événement probabilité
probabilité composée
3
A
1
36
( )
3
1
A
36
p=
1
B
1
6
( )
2 1
1 1 1
A B
3 6 18
p∩ = × =
2
A
1
3
0
B
5
6
1
C
1
6
( )
2 0 1
1 5 1 5
A B C
3 6 6 108
p∩ ∩ = × × =
2
B
2 1
36 18
=
( )
1 2
37 1 37
A B
72 18 1296
p∩ = × =
1
B
2 16 18 1
36 36 2
+
= =
1
C
1
6
( )
1 1 1
37 1 1 37
A B C
72 2 6 864
p∩ ∩ = × × =
1
A
37
72
0
B
16 4
36 9
=
2
C
2 1
36 18
=
( )
1 0 2
37 4 1 37
A B C
72 9 18 2916
p∩ ∩ = × × =
3
B
1
36
( )
0 3
1 1 1
A B
8 36 288
p∩ = × =
2
B
1
3
1
C
1
6
( )
0 2 1
1 1 1 1
A B C
8 3 6 144
p∩ ∩ = × × =
1
B
37
72
2
C
2 1
36 18
=
( )
0 1 2
1 37 1 37
A B C
8 72 18 10368
p∩ ∩ = × × =
0
A
1
8
0
B
1
8
3
C
1
36
( )
0 0 3
1 1 1 1
A B C
8 8 36 2304
p∩ ∩ = × × =
TOTAL
( )
42571
2 0,23
186624
P X = = ≃