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Exercice 2 (5 points)
Candidats
ayant
suivi
l'enseignement
de spécialité
Le
plan complexe est muni
d'un
repère orthonormal direct (
0;
~,~).
On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A et B les points d'affixes respectives z A =i et
ZB
= 1+
2i.
1.
Justifier qu'il existe
un~
unique similitude directe S telle
que;
S (
0)
= A et S ( A) =B .
2. Montrer que l'écriture complexe de S
est:
z'=(1-i)z+i.
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera n
le
centre de S).
On considère la suite de points (An) telle
que:
•
~
est l'origine
du
repère et,
•
pour
tout entier naturel
n,
A
n+l=
S ( An) .
On note
z,.,
l'affixe de
An
(On a donc
~
=
0,
Al
= A
et
~
=
B).
3.
a.
· Démontrer que, pour tout entier naturel
n,
zn
=
1-(1-iy
b.
Déterminer,
en
fonction de
n,
les affixes des vecteurs
DAn
et
AnAn+1
.
Comparer les normes
de
ces vecteurs
et
calculer une mesure de l'angle
(OA.,
AnAn+,).
c.
En déduire une construction
du
point
An+l
connaissant le pointA n.
Construire les points
A3
etA
4 •
4.
a.
Quels sont les points de la suite
(A
n)
appartenant à
la
droite
(OB)
?
Exercice 3 (4 points)
Commun
à tous les candidats
Dans un repère orthonormé de l'espace
(0;
i,],k) on considère les points :
A de coordonnéeS
(1,
1,
0),
B de coordonnées
(2,
0,
3)
,C
de coordonnées ( 0, -
2,5)
et D de coordonnées (1, - 5,
5)
.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE
en
justifiant chaque fois la
réponse:
Proposition
1 : L'ensemble des points M de coordonnées
(x,
y,
z)
tels que y =
2x
+4 est une droite.
Proposition
2:
La
transformation qui, à tout point M de l'espace associe
le
point
M'
tel que
MM'
=
MA
+ MB +
2MC
est l'homothétie de centre
G,
où G désigne
le
barycentre du système
{(
A,
l),(B,
1),(
C,
2)},
et
de rapport
3.
Proposition
3 :
A,B,
C et D sont quatre points coplanaires.
Proposition
4:
La sphère de centre n de coordonnées
(3,3,
0)
et
de rayon 5 est tangente au plan
d'équation:
2x+2y
+
z+3
=O.
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9MASSINI
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