BACCALAURÉAT
GÉNÉRAL
SESSION 2009
-COEFFICIENT: 9
,
r.ji
i~~
mporte
4 pages numérotées de 1 à 4 .
..
k .
DiFJHïpier
millimétré est mis à la disposition des candidats.
\'"
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le
candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à
faire
figurer sur la copie toute trace
de
recherche,
même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et
la
précision des raisonnements entreront
pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Tournez
la page S.V.P.
Page 1
9MASSINI
Exercice 1 (7
points)
Commun
à tous les
candidats
Soit f la fonction définie sur l'intervalle
[0,
+
0:)[
par:
_ 2
f(x)
=xe
x .
On
désigne
par
C la courbe représentative de
la
fonction
f dans un repère orthonormal
(0;
i,]) du plan. Cette
courbe est représentée ci-contre.
~
j
V/
D/
D
0
~
i
.
1'--.
r-..
--
--
r..-
1 2
Partie
A
1.
a.
Déterminer la limite
de
la
fonction f
en
+<X:J
x2
,
.'
1
(On
pourra écrire,
pour
x
différentdeO:f(x)=-x-
2
).
x
eX
D, f d .
.fi
1 1 .
b. emontrer que a
met
un
maximum
en
-
et
ca cu
er
ce maximum.
. 2
2. Soit a un nombre réel
positif
ou
nul. Exprimer
en
unités
d'aire
et
en fonction de
a,
l'aire F
(a)
de
la
partie du plan limitée
par
la
courbe
C,
l'axe
des abscisses
et
les droites d'équations respectives x =0 et
x =a , Quelle est la limite
de
F (
a)
quand a tend vers
+O:)?
Partie
B f
n+J
On
considère la suite
(un)
définie
pour
tout entier naturel n
par:
un
= n f (x) dx ,
On
ne cherchera pas à expliciter
un
.
1.
a.
Démontrer
que,
pour
tout entier naturel n différent
de
°
et
de
1,
f(n+l)~
un
~f(n)
b.
Quel
est
le
sens
de
variation de la suite
(u)
?
n
n;:2
c.
Montrer
que
la
suite
(un)
converge. QueUe est
sa
limite?
2.
a.
V érifier que, pour tout
entier
naturel strictement positif
n,
F
(n)
=l
n-I
uk
k=O
b.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse,
sera prise
en
compte dans l'évaluation.
On
donne
ci-dessous les
valeurs
de F
(n)
obtenues à
l'aide
d'un
tableur, pour nentier compris entre 3 et
7.
n 3 4 5 6 7
F(n)
0,4999382951 0,4999999437 0,5 0,5 0,5
.
Interpreter ces résultats.
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9MASSINI
--
- -
--
--
Exercice 2 (5 points)
Candidats
ayant
suivi
l'enseignement
de spécialité
Le
plan complexe est muni
d'un
repère orthonormal direct (
0;
~,~).
On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A et B les points d'affixes respectives z A =i et
ZB
= 1+
2i.
1.
Justifier qu'il existe
un~
unique similitude directe S telle
que;
S (
0)
= A et S ( A) =B .
2. Montrer que l'écriture complexe de S
est:
z'=(1-i)z+i.
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera n
le
centre de S).
On considère la suite de points (An) telle
que:
~
est l'origine
du
repère et,
pour
tout entier naturel
n,
A
n+l=
S ( An) .
On note
z,.,
l'affixe de
An
(On a donc
~
=
0,
Al
= A
et
~
=
B).
3.
a.
· Démontrer que, pour tout entier naturel
n,
zn
=
1-(1-iy
b.
Déterminer,
en
fonction de
n,
les affixes des vecteurs
DAn
et
AnAn+1
.
Comparer les normes
de
ces vecteurs
et
calculer une mesure de l'angle
(OA.,
AnAn+,).
c.
En déduire une construction
du
point
An+l
connaissant le pointA n.
Construire les points
A3
etA
4
4.
a.
Quels sont les points de la suite
(A
n)
appartenant à
la
droite
(OB)
?
Exercice 3 (4 points)
Commun
à tous les candidats
Dans un repère orthonormé de l'espace
(0;
i,],k) on considère les points :
A de coordonnéeS
(1,
1,
0),
B de coordonnées
(2,
0,
3)
,C
de coordonnées ( 0, -
2,5)
et D de coordonnées (1, - 5,
5)
.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE
en
justifiant chaque fois la
réponse:
Proposition
1 : L'ensemble des points M de coordonnées
(x,
y,
z)
tels que y =
2x
+4 est une droite.
Proposition
2:
La
transformation qui, à tout point M de l'espace associe
le
point
M'
tel que
MM'
=
MA
+ MB +
2MC
est l'homothétie de centre
G,
G désigne
le
barycentre du système
{(
A,
l),(B,
1),(
C,
2)},
et
de rapport
3.
Proposition
3 :
A,B,
C et D sont quatre points coplanaires.
Proposition
4:
La sphère de centre n de coordonnées
(3,3,
0)
et
de rayon 5 est tangente au plan
d'équation:
2x+2y
+
z+3
=O.
Page 3
9MASSINI
...
.-"
3
Tournez
la page S.V.P.
Exercice 4 (4 points)
Commun
à
tous
les
candidats
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques
mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec
le
truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à
..!.
.
Les résultats seront donnés sous
forme
de fractions irréductibles.
1.
On lance le bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant
le
nombre
de 6 obtenus. .
a.
Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire
X?
b.
Quelle est
son
espérance?
c.
Calculer p(X =
2).
2. On choisit au hasard
l'un
des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le choisi trois fois de
suite.
On
considère les événements D
e(
A suivants:
D:
« le choisi
est
le bien équilibré» ;
A:
« obtenir exactement deux 6
».
Q.
Calculer la probabilité des événements
suivants:
«choisir
le bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
« choisir le truqué et obtenir exactement deux 6
».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
7
b.
En
déduire
que:
p(A)
= - .
48
c. Ayant choisi au hasard
l'un
des deux dés et
l'ayant
lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement·
deux
6.
Quelle est la probabilité d'avoir choisi le
truqué?
3. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance
le
n fois de suite
(n
désigne
un
entier naturel supérieur ou égal à 2).
On
note
Err
l'événement
«obtenir au moins
un
6 parmi ces n lancers successifs
».
Q.
Déterminer, en fonction
d~
n, la probabilité
Prr
de l'événement
Err'
b.
Calculer la limite de la
suite
(p
n)
.Commenter ce résultat.
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