Equations différentielles linéaires ( scalaires) d`ordre 2

Equations différentielles linéaires ( scalaires) d’ordre 2
Notations
I¯ désigne un intervalle non trivial de R et K désigne R ou C.
Défintion
Soit a, b et c des applications continues de I vers K. Résoudre l’équation différentielle y 00 + ay 0 + by = c (
souvent notée abusivement y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = c(x) ), c’est déterminer les applications y dérivables de I dans
K et vérifiant y 00 + ay 0 + by = c c’est à dire : ∀x ∈ I, y 00 (x) + a(x)y 0 (x) + b(x)y = c(x)
Remarque
Si y est une solution de y 00 + ay 0 + by = c, on a y 00 = −ay 0 − by + c et donc par opérations sur les fonctions
continues y 00 est continue. Finalement toute solution est de classe C 2 .
Mise en place théorique
Notons usuellement C 2 (I, K) et C 0 (I, K) les K-espaces vectoriels des applications C 2 et des applications C 0 de
I vers K. L’ application θ suivante est linéaire :
C 2 (I, K) −→
y
7→
C 0 (I, K)
y + ay 0 + by
00
L’équation y 00 + ay 0 + by = c est donc une équation linéaire ( θ(y) = c), on l’appelle équation différentielle
linéaire scalaire ( car les fonctions sont numériques ) du second ordre. Comme toutes les équations linéaires, on
obtient toutes les solutions en ajoutant à une solution particulière ( si elle existe, sinon il n’y a pas de solutions),
tous les éléments du noyau donc toutes les solutions de y 00 + ay 0 + by = 0.
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (Admis)
Si a, b et c son des applications
continues de I dans K, si x0 est un élément de I et (y0 , z0 ) un élément de

00
0
y + ay + by = c

K2 , alors le système y(x0 ) = y0
a une et une seule solution. Cette solution est appelée solution du

 0
y (x0 ) = z0
problème de Cauchy en (x0 , (y0 , z0 ) pour l’équation différentielle y 00 + ay 0 + by = c.
Dimension de Ker θ
blabla
Wronskien
blabla
Méthode de variations des constantes
exemple
Un cas particulier
On connaît un élément qui ne s’annule pas de Ker θ.
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