Sommaire - Collège Notre-Dame

Sommaire
Les nombres relatifs ……………………………………………. p 1
Le théorème de Pythagore et sa réciproque ……………………. p 3
Calcul littéral …………………………………………………... p 5
Pyramide et cône de révolution ………………………………… p 7
Nombres relatifs en écriture fractionnaire ……………………...
p9
Statistiques ……………………………………………………… p 11
Les puissances …………………………………………………..
p 13
Triangles et droites parallèles …………………………………...
p 16
Les équations ……………………………………………………
p 18
Distances …………….…………………………………………..
p 20
La proportionnalité ……………………………………………… p 22
Cosinus ………………………………………………………….
p 24
Ordre ……………………………………………………………
p 26
Triangle rectangle et cercle ………….…………………………. p 28
Nombres relatifs
1. Calculer la somme de deux nombres relatifs :
Une somme algébrique est une suite d’additions de nombres relatifs
Convention : Dans une somme algébrique, on peut supprimer les signes opératoires et les parenthèses
associées
Exemples
A = - 5 + ( -3)
B = 3 + ( + 10)
C = - 6 – ( + 15 )
D = - 5 – ( - 3)
A=-5-3
B = 3 + 10
C = - 6 + (- 15)
D = - 5 + (+ 3)
A=-8
B = 13
C = - 6 - 15
D= -5+3
C = - 21
D=-2
2. Calculer le produit de deux nombres relatifs :


Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif
Exemples :
E=(-5)(-7)
E=
35
F = ( + 2,5 )  ( + 4 )
F=
10
G = ( - 4,5 )  (+ 0,001 )
G = - 0, 004 5
Remarque :
 Quand on multiplie un nombre relatif par ( - 1 ) on obtient son opposé
Exemples : 45,63  ( - 1 ) =
- 45,63
( - 23 )  ( - 1 ) = 23
3. Donner l’inverse d’un nombre relatif non nul
Lorsque le produit de deux nombres relatifs non nuls est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre.
Exemples
-2 a pour inverse
y a pour inverse
car (-2) 
car y 
=1
3 a pour inverse car 3  = 1
=1
1
4. Calculer le quotient de deux nombres relatifs :
1 a
=
b b
Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse.
a et b sont deux nombres relatifs avec b non nul
a
Donc

Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif

Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif
Exemples :
H = ( - 56 ) : ( - 7 )
H=
8
I = ( - 63 ) : 9
I=-7
Lorsque la division de a par b ( b  0) ne se termine pas, on peut donner une valeur approchée du quotient
Exemples
-4
≈ 0,57
-7
(troncature à 0,01 près)
a
b
-5
≈ - 1,667 (arrondi au millième)
3
2
Le théorème de Pythagore et sa réciproque
1 – Connaître le théorème de Pythagore
Hypoténuse
C
Exemple :
Dans un triangle rectangle,
l’hypoténuse est le côté opposé à
l’angle droit
B
A
C
Exemple :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la
longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés.
B
A
AC² = AB² + BC²
Le théorème de Pythagore sert à calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
2 - Utiliser le théorème de Pythagore
Calculer la longueur de l'hypoténuse
Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
B
D
?
9 cm
12 cm
?
A
35 cm
C
E
11 cm
F
Pour calculer la longueur ED dans le triangle DEF
Pour calculer la longueur BC dans le triangle ABC rectangle en D, on utilise le théorème de Pythagore :
rectangle en A, on utilise le théorème de Pythagore :
EF2 = DE2 + DF2
BC2 = AB2 + AC2
=
2
BC = 12² + 35²
121 = DE2 + 81
BC2 = 144 + 1225
DE2 = 121 - 81
2
BC = 1369
DE2 = 40
BC = 1369
DE = 40
BC = 37
DE  6,32
L'hypoténuse [BC] a pour longueur 37 cm.
La longueur du côté [DE] est d'environ 6,3 cm.
3
3- Connaître la réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à
la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le
triangle est rectangle.
L’angle droit est celui qui est opposé au grand côté.
4 - Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore sert à montrer qu’un triangle est rectangle
Dans le triangle KLM, le plus grand côté est [LM].
L
D’une part :
5 cm
3 cm
K
4 cm
LM2 = 5² = 25
D’autre part :
KL2 + KM2 = 3² + 4²
KL2 + KM2 = 9 + 16
KL2 + KM2 = 25
M
On constate que LM2 = KL2 + KM2
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM
est rectangle en K.
5 - Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle
Dans le triangle RST, le plus grand côté est [RT].
R
4 cm
7,1 cm
6 cm S
T
.
D’une part :
D’autre part :
RT2 = 7,1² = 50,41
TS2 + RS2 = 4² + 6²
TS2 + RS2 = 16 + 36
TS2 + RS2 = 52
On constate que RT2  TS2 + RS2
Le triangle RST n'est donc pas rectangle
6 - Un peu d’histoire
Pythagore était un savant grec, né dans l’île de Samos, qui
vivait aux environs de l’an 600 avant Jésus-Christ. Il fonda
une école où l’on étudiait la philosophie et les
mathématiques. On lui attribue le fameux théorème sur le
triangle rectangle appelé théorème de Pythagore. Pourtant, la
légende rapporte que deux millénaires avant J-C, les
arpenteurs égyptiens utilisaient déjà une corde à 13 nœuds
pour tracer des angles droits.
Les pythagoriciens travaillaient dans le secret. La transmission du savoir se
faisait essentiellement par oral et on ne dispose pas de traces écrites d’une démonstration faite par Pythagore
du théorème qu’on lui attribue. Cependant, les démonstrations de ce théorème ne manquent pas : les savants
chinois, arabes, indiens trouvèrent des preuves de ce résultat souvent par la technique du puzzle.
4
CALCUL LITTERAL
1. Utiliser les conventions d’écriture
On peut supprimer le signe «  » entre :
 un nombre et une lettre
 un nombre et une parenthèse
 une lettre et une parenthèse
 deux lettres
 deux parenthèses
Exemples :
- 4  a = - 4a
7  ( x + 2 ) = 7( x + 2)
b  ( - 3b + 2 ) = b( -3b + 2)
a  b = ab
( 4a – 2 )  ( 6 + b ) = ( 4a – 2 ) ( 6 + b )
Remarques :
1a=a
0a=0
 a  a = a2
2. Calculer la valeur d’une expression littérale
A=x+y–z
pour x = 2
A = 2 + (-3) – (-5)
A=2–3+5
A=7–3
A=4
y = –3
z = –5
B = x² + t (3x – xy)
pour x = 1
B = 1² + 4 × (3×1 - 1×2)
B=1+4×1
B=5
y=2 t=4
3. Réduire une expression littérale
Réduire une expression, c’est l’écrire avec le moins de termes ou de facteurs possibles.
Réduire une somme :
C = 5 + 3x – 4x2+ 4x + 8x2 – 12
C = -7 + 7x + 4x²
Réduire un produit :
D = 3 + 5a
E = 3a  5a
E = 15a²
F = 2d  6t
F = 12dt
4. Développer une expression littérale
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme.
a) Distributivité simple
a , b et k désignent des nombres relatifs :
k ( a + b) = ka + kb
5
Exemples:
G = – 5a ( 2a + 7 )
H = 3x2 + ( – 2x + 8 )
I = 6a – ( 4b – 5 ) – ( – c + d )
G = -10a² - 35a
H = 3x² - 2x + 8
I = 6a – 4b + 5 + c - d
b) Double distributivité
a , b , c et d désignent des nombres relatifs :
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Exemples:
J = (– 8x + 5 ) ( 4 – 2x )
K = (– 2x – 5 ) ( – 3 + 5x )
J = - 8x × 4 – 8x × (-2x) + 5 × 4 + 5 × (- 2x)
K = - 2x × (-3) – 2x × 5x - 5 × (-3) - 5 × 5x
J = - 32x + 16x² + 20 – 10x
K = 6x – 10x² + 15 - 25x
J = 16x² - 42x + 20
K = - 10x² -19x + 15
6
Pyramide et cône de révolution
1.
3.
Caractériser une pyramide et la représenter en perspective cavalière
Réaliser un patron d’une pyramide

Une pyramide est un solide composé :
 d’une base de forme polygonale (triangle, quadrilatère, pentagone, …..).
 de faces latérales qui sont des triangles ayant un sommet commun : le
sommet de la pyramide.
Pyramide :
5cm
6cm
S sommet
principal
4,5cm
S
[SO] hauteur
(orthogonale à la base)
7cm
SAB face
latérale
4.
Calculer le volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution
H
base
Remarque :
2.
Une pyramide dont la base est un triangle est appelée tétraèdre
H
H
H
H
H
H
Caractériser un cône de révolution et le représenter en perspective cavalière
Un cône de révolution est un solide composé :
 d’une base en forme de disque.
 d’un sommet.
 d’une surface latérale.
V = 13  B  h
B est l’aire de la base et h est la hauteur du solide
Exemple : Calcul du volume du cône, arrondi au mm3
S sommet
surface latérale
[SM] génératrice
[SO] hauteur
base
A
7
OA = 5cm ; SO = 12cm et SA = 13cm
8
Nombres relatifs en écriture fractionnaire
1. Calculer la somme de nombres relatifs en écriture fractionnaire
Pour calculer la somme de deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :
-
on additionne les numérateurs,
-
on garde le dénominateur.
Si les nombres en écriture fractionnaire n’ont pas le même dénominateur, il est nécessaire de les
réduire au même dénominateur
(dénominateur positif pour faciliter les calculs).
A=
8 7
–
5 15
A=
B=
–
–1 5
+
3
–2
B=
A=
B=
+
C=–
1
-2
3
C=
-
C=
2. Calculer le produit de nombres relatifs en écriture fractionnaire
Pour calculer le produit de nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
a c ac
 =
b d bd
Si possible , on simplifie avant d’effectuer les calculs
D=–
21 5

35 12
D=–
D=–
D=–
9
3. Calculer le quotient de nombres relatifs en écriture fractionnaire
a b
a
b
 = 1 donc l’inverse de est
b a
b
a
l’inverse de
1
est 2
2
l’inverse de –
3
est –
4
Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse.
a c a d
: = 
b d b c
5 7
E= :
3 2
F=
16
:2
15
E=
F=
×
E=
×
F=
F=
10
Statistiques
1. Calculer la moyenne d’une série de données
La moyenne d’une série statistique est le quotient de la somme de toutes les données de cette série par
l’effectif total
moyenne =
somme des données
effectif total
Exemple : on a pesé douze téléphones portables et obtenu les résultats suivants (en g) :
95
105
100
90
95
105
95
105
100
95
100 100
m =
m=
m = 98,75
Le poids moyen d’un portable est 98,75 g
2. Calculer la moyenne pondérée d’une série de données
Il existe un autre procédé de calcul de la moyenne d’une série : la moyenne pondérée
moyenne pondérée =
somme des produits des valeurs par leur effectif
effectif total
Exemple :
masse (en g )
90
95
100
105
effectif
1
4
4
3
m =
m=
m = 98,75
11
3. Déterminer le pourcentage relatif à la réunion de deux groupes
Exemple : Sam possède 45 livres dont 40% sont des romans et sa sœur Léa, 75 livres dont 60% sont des
romans. Ils ont rangé tous leurs livres dans la même bibliothèque.
Quel est le pourcentage de romans dans cette bibliothèque ?

Nombre de romans possédés par Sam : 45 ×

Nombre de romans possédés par Léa : 75 ×
= 18
= 45
Sam possède 18 romans.
Léa possède 45 romans.
La bibliothèque contient donc 120 livres dont 63 sont des romans.
Nombre total de livres
Nombre total de
romans
120
100
63
x
63 × 100 = 120 × x
6 300 = 120 × x
x = 6 300 : 120
x = 52,5
La bibliothèque possède 52,5 % de romans.
12
Puissance d'un nombre relatif
1. Comprendre les notations an et a-n
n désigne un nombre entier positif (n >1) ,
a n = a  a  ……… a
a désigne un nombre relatif
a n se lit « a exposant n »
n facteurs
a1 = a et
Par convention :
Exemples :
si a  0 :
a0 = 1
25= 2×2×2×2×2
2 5 =3 2
( – 5 ) 3 = (-5) × (- 5) × (- 5)
( – 5 ) 3= - 125
( - 5 ) 4 = (-5) × (- 5) × (- 5) × (- 5)
( - 5 ) 4 = 625
Attention!!! ( - 2 ) 4 = (- 2) × ( - 2) × (- 2) × (- 2)
( - 2 ) 4 =16
-24= -2×2×2×2×2
- 2 4 = - 16
Inverse
Si a  0
an  1n = 1
a
Exemples : 2 - 3 =
1 est l’inverse de a n on le note a – n
n
a
(- 3 ) - 4 =
9 -1 =
2. Utiliser les égalités :
Produit
a n  a p = a n+p
Quotient
an
= a n-p
ap
( a  b ) n = an  bn
(
a n an
) = n
b
b
a et b désignent des nombres relatifs
non nuls
n et p désignent des nombres entiers relatifs
13
Exemples :
( - 4 ) 5  ( - 4 ) – 5 = (- 4)5 + (-5)
3 5  3 2 = 35 + 2
= 37
= ( - 4)0
27
= 27 - 4
24
52
= 52 – 5
55
= 23
= 5-3
4
( )3=
3

2 7  5 7 = ( 2 × 5)7
Priorités
En l’absence de parenthèses, on calcule les puissances avant d’effectuer les autres opérations.
En présence de parenthèses, les calculs entre parenthèses sont prioritaires
Exemples : A = 3  4 2 + 5
B=3(5-7)2+(4+23)2
A = 3 × 16 + 5
B = 3 × 22 + ( 4 + 8 )2
A = 48 + 5
B = 3 × 4 + 122
A = 53
B = 12 + 144
B = 156
3. Cas particuliers : les puissances de 10
Soit n un nombre entier positif:
Exemples :
10n = 10  10  ……..  10
n facteurs
103 = 1 000
10-n représente l’inverse de 10n
10n = 100…0
n zéros
105 = 100 000
donc
10  n 
1
10
n

1
10...0
10-n =0,00…01
n zéros
Exemples :
10 - 4 =
= 0,000 1
10 - 2 =
= 0,01
14
Règles de calculs sur les puissances de dix
ex :
10 – 8 × 105 = 10 – 8 + 5
= 10 - 3
= 106 – ( - 5)
=
= 1011
p
=
(10 7)2 = 10 7 × 2
= 1014
(10 – 4 )3 = 10- 4 × 3
= 10 - 12
Notation scientifique
Un nombre décimal admet plusieurs écritures de la forme a × 10n où a est un nombre décimal et n est un
nombre entier relatif.
L’écriture où a possède un seul chiffre différent de zéro avant la virgule est l’écriture scientifique.
ex:
24 450 000 = 2445 × 104
24 450 000 = 2,445 × 107 (écriture scientifique)
0,001 38 = 138 × 10 - 5
0,001 38 = 1,38 × 10 – 3 (écriture scientifique)
15
Triangles et droites parallèles
1 – Connaître et utiliser les propriétés relatives aux milieux des cotés d’un triangle
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté de ce
triangle.
A
J
I
I milieu de [AB]
J milieu de [AC]
C
B
Donc (IJ) parallèle à (BC)
Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur est égale à la
moitié de la longueur du troisième côté de ce triangle.
A
J
I milieu de [AB]
J milieu de [AC]
C
I
Donc IJ =
1
BC
2
B
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe
par le milieu du troisième côté de ce triangle.
A
J
C
I milieu de [AB]
(d) parallèle à (BC)
passant par I coupe
[AC] en J
I
B
Donc J milieu de
[AC]
16
2 - Connaître et utiliser la propriété de proportionnalité des longueurs d’un triangle
Dans un triangle ABC
si
M est un point de [AB]
N est un point de [AC]
(MN) est parallèle à (BC)
alors
AM  AN  MN
AB AC
BC
Exemple :
(BC) parallèle à (MN)
L’unité est le centimètre
AM = 2
AB = 6
AN = 3
BC = 4,5
B
M
A
C
N
Calculer AC et MN
Dans le triangle ABC, M appartient à [AB]
N appartient à [AC]
(MN) et (BC) sont parallèles
D’après la propriété de proportionnalité des longueurs d’un triangle
=
=
2 × AC = 6 × 3
et
=
=
2 × 4,5 = 6 × MN
2 × AC = 18
9 = 6 × MN
AC = 18 : 2
MN = 9 : 6
AC = 9
MN = 1,5
[AC] mesure 9 cm et [MN] mesure 1,5 cm.
17
Equations
1. Résoudre une équation
Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues.
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l’égalité est
vérifiée.
Une équation a les mêmes solutions que toutes les équations obtenues :
 en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de l’équation
 en multipliant ou divisant par un même nombre non nul les deux membres de l’équation
6x = 3x + 9
2x – 3 = x
6x – 9 = 3x
3x – 9 = 0
24x – 36 = 12x
Exemples : Résoudre les équations
x – 5 + 5x – 14 = 3x + 11
6x -19 = 3x + 11
6x – 3x - 19 + 19 = 3x + 11 +19 - 3x
3x = 30
=
2x + 3 – x + 2 = x + 5
5x – 3 – 2x = 3x + 4
3x – 3 = 3x + 4
x+5=x+5
Tous les nombres sont
3x – 3 + 3 = 3x + 4 + 3
solutions
3x = 3x + 7
3x – 3x = 3x + 7 - 3x
x = 10
La solution de l’équation est 10
0x = 7
Cette équation n’a pas de
solution.
18
2. Résoudre un problème à l’aide d’une équation
Méthode : 1) Indiquer le nom de l’inconnue choisie et ce qu’elle représente.
2) Traduire le texte sous forme d’une équation.
3) Résoudre l’équation.
4) Conclure en répondant à la question posée dans le problème.
Exemple : Marine et Christophe choisissent un même nombre. Marine ajoute 2 à ce nombre et multiplie le
résultat par 5. Christophe ajoute 34 au double du nombre choisi. En comparant leur résultat, ils
constatent qu’ils trouvent le même.
Calculer le nombre choisi.
1) Indiquer le nom de l’inconnue choisie et ce quelle représente : 1) n représente le nombre choisi par
Marine et Christophe
2) Traduire le texte sous forme d’une équation :
2)
3) Résoudre l’équation :
3)
5 ( n + 2) = 34 + 2n
5n + 10 = 34 + 2n
5n – 2n + 10 – 10 = 34 + 2n -2n -10
3n = 24
=
n=8
4) Conclure en répondant à la question posée dans le problème : 4) Le nombre choisi est 3
19
Distances
1. Connaître la distance d’un point à une
droite
Le point de la droite (d) le plus proche du
point A est le point H tel que les droites
(AH) et (d) soient perpendiculaires.
La distance AH est appelée : distance du
point A à la droite (d) .
2. Caractériser les points de la bissectrice
Propriété :
Si un point est sur la bissectrice d’un angle alors il est
équidistant des côtés de cet angle.
Propriété :
Si un point est équidistant des cotés d’un angle alors il
appartient à la bissectrice de cet angle.
3. Construire le cercle inscrit dans un triangle
Les trois bissectrices sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle inscrit
dans ce triangle.
20
4. Tangente à un cercle en un point
Si A est un point d’un cercle C de centre O, la tangente
en A au cercle C est la droite passant par A et
perpendiculaire au rayon [OA].
Le point A est le seul point commun à la tangente et au
cercle C.
21
Proportionnalité
3.Calculer des durées, des distances, des vitesses en utilisant l’égalité v =
Effectuer des changements d‘unités de vitesse
a
c
1. Connaître l’équivalence entre =
b
d
et ad = bc
Lorsqu’un objet se déplace d’une distance d pendant une durée t alors,
a
c
=
b
d
revient à dire a × d = b × c
sa vitesse moyenne v est :
v=
d
t
Exemples :
2. Déterminer une quatrième proportionnelle à l’aide du produit en
croix
a
b
a
c
=
b
d
c
d

donc a × d = b × c
v=d:t
v = 54 : 2,7
v = 20
donc le cycliste roule à 20 km.h-1
-1
soit 20 000 m. h
Dans un tableau de proportionnalité, il y a égalité des produits en croix
Cette propriété permet de calculer une des 4 valeurs a, b, c ou d connaissant
les 3 autres.
32 × x = 250 × 20
Exemple :
32 × x = 5 000
Masse de café (en g )
Nombre d’expresso
250
32
x
20
x = 5000 : 32
x = 156,25
Un cycliste a parcouru 54 km en 2 h 42 min
Calculer sa vitesse moyenne en km/h puis en m/s
2 h 42 min = 162 min
162 : 60 = 2,7 donc 2 h 42 min = 2,7 h
20 000 : 3 600 ≈ 5,6

donc le cycliste roule à environ 5,6 m.s-1
Il a roulé ensuite pendant 2 H 24 min
Quelle distance a-t-il parcourue ?
d=v×t
d = 20 × 2,4
d = 48
2 h 24 min = 144 min
144 min : 60 = 2,4 h
Pour faire 20 expresso, il faut 156,25 g de café
Il a parcouru 48 km.
22
d
t

5. Agrandir ou réduire une figure
En combien de temps parcourt-il 39 km ?
t=d:v
t = 39 : 20
t = 1,95
Lorsqu’on a agrandi ou réduit une figure, les dimensions de la figure obtenue
sont proportionnelles à celles de la figure de départ et les mesures des angles
sont conservées.
1,95 h = 117 min
(1,95 × 60)
= 1 h 57 min
Il parcourt 39 km en 1 h 57 min.
4. Utiliser la caractérisation graphique de la proportionnalité
:2
× 1,5
AB = 1,5
A’B’= 2,25
BC = 1
B’C’= 1,5
CD = 2,4
C’D’= 3,6
DA= 1,4
D’A’= 2,1
× 1,5
A’’B’’C’’D’’ est un agrandissement de ABCD de coefficient 1,5.
Une situation de proportionnalité est représentée
graphiquement par des points alignés sur une
droite passant par l’origine du repère.
AB = 1,5
A’’B’’ = 0,75
BC= 1
CD= 2,4
B’’C’’= 0,5 C’’D’’= 1,2
DA= 1,4
D’’A’’= 0,7
× 0 ,5
A’B’C’D’ est une réduction de ABCD de coefficient 0,5
23
COSINUS
1. Utiliser le cosinus d'un angle aigu
Côté adjacent à l’angle ̂
Côté adjacent à l’angle ̂
On note :
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal
au quotient :
Longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l'hypoténuse
cos ABC =
Ce quotient ne dépend que de cet angle
cos ACB =
Le cosinus est un outil mathématique qui permet de calculer des longueurs de segment et des mesures d'angle.
2. Utiliser la calculatrice
Déterminer un cosinus
Pour déterminer le cosinus d'un angle dont on connaît
la mesure
on utilise la touche : cos
Déterminer la mesure d'un angle
Pour déterminer la mesure d'un angle dont on connaît
le cosinus
On utilise les touches
Shift ou 2nde
puis
cos
Exemple: Déterminer un arrondi à 0,01 près du
cosinus d’un angle de 43°
Exemple: Déterminer une troncature à 0,1 près de la
On tape : cos (43)
mesure de l’angle ABC , sachant que cos ABC =
3
5
On obtient 0,731353702
Donc cos 43°  0,73
On tape shift ou 2 nde cos
On obtient 53,13010235
Donc ABC  53,1°
Attention!!
Il faut s'assurer que la calculatrice est en" mode degré"
24
CALCULER LA LONGUEUR D’UN COTE
S
A
?
60 °
2 cm
40 °
?
B
C
5 cm
T
R
Dans le triangle ABC rectangle en A :
Dans le triangle RST rectangle en R :
cos ABC = AB
BC
RS
cos RST = ST
2
cos 60° = BC
cos 40° = RS
5
BC  cos 60° = 2
RS = 5  cos 40°
BC = cos260
RS  3,8
BC = 4
le segment [BC] mesure 4cm.
le segment [RS] mesure environ 3,8 cm
CALCULER LA MESURE D’UN ANGLE
L
3,5 cm
D
?
5 cm
K
M
5 cm
E
8 cm
?
F
Dans le triangle KLM rectangle en K :
Dans le triangle DEF rectangle en E :
KL
cos KLM = LM
cos EDF = ED
DF
cos KLM = 3,5
cos EDF = 85
Donc KLM  45,6°
Donc EDF  51,3°
L’angle KLM mesure environ 45,6°.
DFE  180 – 90 –51,3
DFE  38,7
5
L’angle DFE mesure environ 38,7°.
25
Ordre
1. Comparer des nombres relatifs en calculant leur différence

< signifie : est inférieur ou égal à
> signifie : est supérieur ou égal à

x > 0 signifie x est un nombre positif
x < 0 signifie x est un nombre négatif
Pour comparer deux nombres on peut étudier le signe de leur différence.

a – b < 0 revient à dire a < b

a – b = 0 revient à dire a = b

a – b > 0 revient à dire a > b
exemple : comparer 5 – 5 et 4 – 1
D = 5 – 5 - (4 – 1)
D = 5π – 5 - 4π + 1
D=π–4
π - 4 < 0 donc 5 – 5 - (4 – 1) < 0
donc 5 – 5 < 4 – 1
2. Utiliser l’ordre et les opérations
a. Ordre, addition, soustraction
Les nombres a + c et b + c
sont rangés dans le même
ordre que a et b
Exemples :
Les nombres a – c et b – c
sont rangés dans le même
ordre que a et b
Si a < b alors a + c < b + c
Si a < b alors a – c < b – c
x–8<5
x – 8 +8 < 5 +8
x < 13
x+3>2
x+3-3 >2–3
x >-1
26
b. Ordre, multiplication
Lorsque c est strictement
positif, les nombres ac et bc
sont rangés dans le même
ordre que a et b
Si a < b et c > 0
alors ac < bc
Lorsque c est strictement
négatif, les nombres ac et bc
sont rangés dans l’ordre
inverse de a et b
Si a < b et c < 0
alors ac > bc
< –2
Exemples :
9×
<-2×9
x < -18
>6
-4×
<-4×6
x < - 24
3. Ecrire un encadrement d’un nombre à partir de l’une de ses troncatures ou de l’un de ses
arrondis.
Troncature
La troncature au centième
d’un nombre x est 13,24.
L’encadrement de x , le plus
précis possible est :
13,241 < x < 13,249
Arrondi
L’arrondi au dixième d’un
nombre x est 2,4.
L’encadrement de x , le plus
précis possible est :
2,35
x < 2,45
27
Triangle rectangle et cercle
1 - Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle
Propriété :
Si un triangle est rectangle alors le
milieu de l’hypoténuse est le centre du
cercle circonscrit à ce triangle.
(L’hypoténuse est un diamètre du cercle
circonscrit )
2 - Caractériser les points d’un cercle d’un diamètre donné par la propriété de l’angle droit
Propriété :
Si dans un cercle, un triangle a pour sommets
les extrémités d’un diamètre et un point du
cercle alors ce triangle est rectangle en ce
point.
Propriété :
Si le milieu d’un coté d’un triangle est le
centre du cercle circonscrit à ce triangle alors
ce triangle est rectangle
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