Sommaire - Collège Notre-Dame

Sommaire
Les nombres relatifs ……………………………………………. p 1
Le théorème de Pythagore et sa réciproque ……………………. p 3
Calcul littéral …………………………………………………... p 5
Pyramide et cône de révolution ………………………………… p 7
Nombres relatifs en écriture fractionnaire ……………………... p 9
Statistiques ……………………………………………………… p 11
Les puissances ………………………………………………….. p 13
Triangles et droites parallèles …………………………………... p 16
Les équations …………………………………………………… p 18
Distances …………….………………………………………….. p 20
La proportionnalité ……………………………………………… p 22
Cosinus …………………………………………………………. p 24
Ordre …………………………………………………………… p 26
Triangle rectangle et cercle ………….…………………………. p 28

Nombres relatifs
1. Calculer la somme de deux nombres relatifs :
Une somme algébrique est une suite d’additions de nombres relatifs
Convention : Dans une somme algébrique, on peut supprimer les signes opératoires et les parenthèses
associées
Exemples
A = - 5 + ( -3) B = 3 + ( + 10) C = - 6 – ( + 15 ) D = - 5 – ( - 3)
A = - 5 - 3 B = 3 + 10 C = - 6 + (- 15) D = - 5 + (+ 3)
A = - 8 B = 13 C = - 6 - 15 D = - 5 + 3
C = - 21 D = - 2
2. Calculer le produit de deux nombres relatifs :
 Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif
 Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif
Exemples : E = ( - 5 )  ( - 7 ) F = ( + 2,5 )  ( + 4 ) G = ( - 4,5 )  (+ 0,001 )
E = 35 F = 10 G = - 0, 004 5
Remarque :
 Quand on multiplie un nombre relatif par ( - 1 ) on obtient son opposé
Exemples : 45,63  ( - 1 ) = - 45,63 ( - 23 )  ( - 1 ) = 23
3. Donner l’inverse d’un nombre relatif non nul
Lorsque le produit de deux nombres relatifs non nuls est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre.
Exemples
-2 a pour inverse 
 car (-2)    = 1 3 a pour inverse  car 3   = 1
y a pour inverse  car y   = 1
1

4. Calculer le quotient de deux nombres relatifs :
a et b sont deux nombres relatifs avec b non nul a  1
b = a b
Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse.
Donc
 Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif
 Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif
Exemples :
H = ( - 56 ) : ( - 7 ) I = ( - 63 ) : 9
H = 8 I = - 7
Lorsque la division de a par b ( b  0) ne se termine pas, on peut donner une valeur approchée du quotient a
b
Exemples -4
-7 ≈ 0,57 (troncature à 0,01 près) -5 3≈ - 1,667 (arrondi au millième)
2

Dans un triangle rectangle,
l’hypoténuse est le côté opposé à
l’angle droit
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la
longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés.
AB
C
Hypoténuse
AB
C
Le théorème de Pythagore et sa réciproque
1 – Connaître le théorème de Pythagore
Exemple :
Exemple :
AC² = AB² + BC²
Le théorème de Pythagore sert à calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
2 - Utiliser le théorème de Pythagore
Calculer la longueur de l'hypoténuse
Pour calculer la longueur BC dans le triangle ABC
rectangle en A, on utilise le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 12² + 35²
BC2 = 144 + 1225
BC2 = 1369
BC = 1369
BC = 37
L'hypoténuse [BC] a pour longueur 37 cm.
Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
Pour calculer la longueur ED dans le triangle DEF
rectangle en D, on utilise le théorème de Pythagore :
EF2 = DE2 + DF2
=
121 = DE2 + 81
DE2 = 121 - 81
DE2 = 40
DE = 40
DE  6,32
La longueur du côté [DE] est d'environ 6,3 cm.
A
B
C
12 cm
35 cm
?
11 cm
E
F
D
9 cm
?
3

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à
la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le
triangle est rectangle.
L’angle droit est celui qui est opposé au grand côté.
3- Connaître la réciproque du théorème de Pythagore
4 - Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore sert à montrer qu’un triangle est rectangle
5 - Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle
.
6 - Un peu d’histoire
Pythagore était un savant grec, né dans l’île de Samos, qui
vivait aux environs de l’an 600 avant Jésus-Christ. Il fonda
une école où l’on étudiait la philosophie et les
mathématiques. On lui attribue le fameux théorème sur le
triangle rectangle appelé théorème de Pythagore. Pourtant, la
légende rapporte que deux millénaires avant J-C, les
arpenteurs égyptiens utilisaient déjà une corde à 13 nœuds
pour tracer des angles droits.
Les pythagoriciens travaillaient dans le secret. La transmission du savoir se
faisait essentiellement par oral et on ne dispose pas de traces écrites d’une démonstration faite par Pythagore
du théorème qu’on lui attribue. Cependant, les démonstrations de ce théorème ne manquent pas : les savants
chinois, arabes, indiens trouvèrent des preuves de ce résultat souvent par la technique du puzzle.
S
T
R
7,1 cm
4 cm
6 cm
K
M
L
3 cm
5 cm
4 cm
Dans le triangle RST, le plus grand côté est [RT].
D’une part : D’autre part :
RT2 = 7,1² = 50,41 TS2 + RS2 = 4² + 6²
TS2 + RS2 = 16 + 36
TS2 + RS2 = 52
On constate que RT2  TS2 + RS2
Le triangle RST n'est donc pas rectangle
Dans le triangle KLM, le plus grand côté est [LM].
D’une part : D’autre part :
LM2 = 5² = 25 KL2 + KM2 = 3² + 4²
KL2 + KM2 = 9 + 16
KL2 + KM2 = 25
On constate que LM2 = KL2 + KM2
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM
est rectangle en K.
4