Probabilités Kara-Zaitri Lydia École préparatoire en sciences et techniques d’Oran Programme de première année / 2 Chapitre 3 Variables aléatoires réelles 3.1 Définitions 1. Variable aléatoire réelle : Soit Ω un espace d’événements. On appelle variable aléatoire réelle, notée v.a.r, toute application X : X : Ω −→ R ω 7−→ X(ω) Remarque. Souvent l’événement " X(ω) prend la valeur x " est noté par " X = x ". Exemple. Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On en tire successivement et avec remise 3 boules, et on s’interesse au nombre de boules blanches tirées. Ω = {BBB, BBN, BN B, N BB, N N B, N BN, BN N, N N N } ⇒ card(Ω) = 8 Soit X la v.a.r qui exprime le nombre de boules blanches obtenues. Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3. On note X(Ω) = {0, 1, 2, 3} . • P(X = 0) = P({N N N }) = 18 . • P(X = 1) = P({N N B, N BN, BN N }) = 38 . • P(X = 2) = P({BBN, BN B, N BB}) = 83 . • P(X = 3) = P({BBB}) = 18 . 2. Types de Variables aléatoires rélles : • Variable alátoire discrète (v.a.d) : X est dite v.a.d si X(Ω) est un ensemble fini ou dénombrable. 3 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R • Variable aléatoire continue (v.a.c) : X est dite v.a.c si X(Ω) est un intervalle ou une union d’intervalles de R. Remarque. si X est une v.a.c, alors : ∀x ∈ R , P(X = x) = 0 . 3. Loi de probabilité d’une v.a.r : (a) v.a.discrète : La loi de probabilité d’une v.a.d est donnée par : • X(Ω), • ∀x ∈ X(Ω) : P(X = x) . P x∈Ω P(X = x) = 1 . Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau. Exemple. Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité est donnée par : x 0 1 2 3 P(X = x) 1 8 3 8 3 8 1 8 (b) v.a.continue : La loi de probabilité d’une v.a.c est donnée par une fonction fX définie sur R telle que : • ∀x ∈ R : fX (x) ≥ 0, R • R fX (t) dt = 1. Une telle fonction est appelée "Densité de probabilité" Exemple. Montrer que la fonction suivante est une densité de probabilité : −x Si x > 0 e f (x) = 0 sinon 3.2 Caractéristiques d’une v.a.r 1. Fonction de répartition : La fonction de répartition de la v.a.X est une fonction F définie par : F : R −→ [0, 1] x 7−→ F (x) = P(X 6 x) Propriétés. Soit X une v.a.r, et F sa fonction de répartition : • lim F (x) = 0 x→−∞ et lim F (x) = 1 . x→+∞ • ∀x ∈ R , P(X > x) = 1 − F (x). • ∀ a, b ∈ R , P(a < X 6 b) = F (b) − F (a). 4 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R (a) v.a.discrète : La fonction de répartition d’une v.a.d est donnée par : X ∀ x ∈ R , F (x) = P(X = k) k≤x Elle est souvent présentée dans le tableau de la loi de probabilité. Exemple. Dans l’exemple précédent, la fonction de répartition est donnée par : x 0 1 2 3 P(X = x) 1 8 1 8 3 8 4 8 3 8 7 8 1 8 F (x) 1 Remarque. Soit X une v.a.d, et soient a , b ∈ R : • P(a 6 X 6 b) = P(a < X 6 b) + P(X = a) . • P(a < X < b) = P(a < X 6 b) − P(X = b) . (b) v.a.continue : La fonction de répartition d’une v.a.c est donnée par : Z x ∀x ∈ R : F (x) = f (t) dt −∞ Remarque. Soit X une v.a.c, et soient a , b ∈ R : Rb • P(a < X 6 b) = F (b) − F (a) = a f (t) dt . • P(a < X 6 b) = P(a 6 X < b) = P(a < X < b) = P(a 6 X 6 b) . 2. Espérance mathématique : L’espérance mathématique d’une v.a X est la moyenne de ses valeurs. Elle est notée E(X). • v.a.discrète : Si X est une v.a.d, alors : X E(X) = k P(X = k) k∈X(Ω) • v.a.continue : Si X est une v.a.c de densité f , alors : Z +∞ E(X) = t . f (t) dt −∞ Propriétés. Si X et Y sont deux v.a.r sur Ω : • X admet une espérance ⇔ E(X) < +∞. • ∀a ∈ R , E(a) = a . • ∀a , b , c ∈ R , E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c . • Soit φ une fonction continue sur X(Ω) : P – Si X v.a.d : E (φ(X)) = k∈X(Ω) φ(k) P(X = k) . 5 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES – Si X v.a.c : E (φ(X)) = R +∞ −∞ 3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R φ(t) f (t) dt . 3. Variance : La variance d’une v.a.r X est notée var(X), et est donnée par : h i 2 var(X) = E (X − E(X)) Formule de Huygens : h i 2 Var(X) = E ( X − E(X) ) = E X 2 − 2 X E(X) + ( E(X) )2 = E( X 2 ) − E[ 2 X E(X) ] + E[ ( E(X) )2 ] = E( X 2 ) − 2 E(X) E( X ) + [ E(X) ]2 = E( X 2 ) − [ E(X) ]2 Ainsi : Var(X) = E( X 2 ) − [ E(X) ]2 Propriétés. Si X et Y sont deux v.a.r sur Ω : • X admet une variance ⇔ E(X) < +∞ et E(X 2 ) < +∞. • var(X) ≥ 0 . • ∀a ∈ R , var(a) = 0 . • ∀a , b ∈ R , var(aX + b) = a2 var(X) . • Si X et Y sont indépendantes, alors :∀a , b , c ∈ R : var(aX + bY + c) = a2 var(X) + b2 var(Y ) 4. Écart-type : Lécart-type d’une v.a.r X est noté σ(X), et est donné par : σ(X) = p var(X) Définitions. Soit X une variable aléatoire réelle : • Si E(X) = 0, alors X est une variable centrée. • Si σ(X) = 1, alors X est une variable réduite. • Pour centrer X : [X − E(X)]. • Pour réduire X : [X / σ(X)]. • Pour centrer et réduire X : [(X − E(X)) / σ(X)]. 5. Moments d’ordre r : Soit r un entier naturel non nul : (a) Moments simple : Le moment simple d’ordre r de la v.a.r X, noté µr (X) est donné par : 6 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R µr (X) = E( X r ) (b) Moments centré : Le moment centré d’ordre r de la v.a.r X, noté mr (X) est donné par : r mr (X) = E ( [X − E(X)] ) 6. Fonction génératrice des moments simples : La fonction génératrice des moments nous permet d’avoir tous les moments simples d’ordre r , ∀r ∈ N∗ . Elle est notée gX (t) et est donnée par : gX (t) = E etX Le moment simple d’ordre r est donné par : µr (X) = dr gX (t) |t=0 dtr 7. Loi de probabilité d’une fonction d’une v.a.r : Soit X une v.a.r, et soit Y = φ(X), où φ est une fonction continue sur X(Ω). (a) Cas discret : La loi de probabilité de Y est donnée par : • Y (Ω) = {y1 , y2 , ...., yn } = {φ(x1 ), φ(x2 ), ...., φ(xn )}. • Pour chaque yj ∈ Y (Ω) : P (Y = yj ) = P (φ(X) = yj ). Exemple. Soit la v.a X donnée par le tableau : x -2 -1 0 1 2 P (X = x) 1/9 3/9 2/9 1/9 2/9 Soit Y = X 2 . Donner la loi de Y . • Y (Ω) = {0, 1, 4}. • P (Y = 0) = P (X = 0) = 2/9 P (Y = 1) = P (X 2 = 1) = P (X = −1) + P (X = 1) = 4/9 P (Y = 4) = P (X 2 = 4) = P (X = −2) + P (X = 2) = 3/9 (b) Cas continu : Pour trouver la loi de probabilité de Y on cherche d’abord sa fonction de répartition FY (y) = P (Y ≤ y) = P (φ(X) ≤ y). La densité de probabilité de Y : fY (y) = dFY (y) dy Exemple. Soit la v.a X et f sa densité de probabilité donnée par : ( x si 0<x<1 f (x) = 0 sinon Donner la loi de probabilité de Y = 1/X. 7