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Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

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Chapitre 3
Variables aléatoires réelles
3.1 Définitions
1. Variable aléatoire réelle : Soit Ωun espace d’événements.
On appelle variable aléatoire réelle, notée v.a.r, toute application X:
X: Ω −→ R
ω7−→ X(ω)
Remarque. Souvent l’événement " X(ω)prend la valeur x" est noté par " X=x".
Exemple. Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On en tire successivement
et avec remise 3 boules, et on s’interesse au nombre de boules blanches tirées.
Ω = {BBB, BBN, BN B, N BB, NNB, NBN, BNN, N NN} ⇒ card(Ω) = 8
Soit Xla v.a.r qui exprime le nombre de boules blanches obtenues. Les valeurs possibles de X
sont 0, 1, 2 et 3. On note X(Ω) = {0,1,2,3}.
• P(X= 0) = P({NNN}) = 1
8.
• P(X= 1) = P({NNB, NBN, BN N }) = 3
8.
• P(X= 2) = P({BBN, BNB, NBB}) = 3
8.
• P(X= 3) = P({BBB}) = 1
8.
2. Types de Variables aléatoires rélles :
•Variable alátoire discrète (v.a.d) : Xest dite v.a.d si X(Ω) est un ensemble fini ou
dénombrable.
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CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R
•Variable aléatoire continue (v.a.c) : Xest dite v.a.c si X(Ω) est un intervalle ou une
union d’intervalles de R.
Remarque. si Xest une v.a.c, alors : ∀x∈R,P(X=x)=0.
3. Loi de probabilité d’une v.a.r :
(a) v.a.discrète : La loi de probabilité d’une v.a.d est donnée par :
•X(Ω),
• ∀x∈X(Ω) :P(X=x).Px∈ΩP(X=x)=1.
Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.
Exemple. Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité est donnée par :
x0123
P(X=x)1
8
3
8
3
8
1
8
(b) v.a.continue : La loi de probabilité d’une v.a.c est donnée par une fonction fXdéfinie
sur Rtelle que :
• ∀x∈R:fX(x)≥0,
•RRfX(t)dt = 1.
Une telle fonction est appelée "Densité de probabilité"
Exemple. Montrer que la fonction suivante est une densité de probabilité :
f(x) = 
e−xSi x > 0
0sinon
3.2 Caractéristiques d’une v.a.r
1. Fonction de répartition : La fonction de répartition de la v.a.Xest une fonction Fdéfinie
par :
F:R−→ [0,1]
x7−→ F(x) = P(X6x)
Propriétés. Soit Xune v.a.r, et Fsa fonction de répartition :
•lim
x→−∞ F(x) = 0 et lim x→+∞F(x) = 1 .
• ∀x∈R,P(X > x) = 1 −F(x).
• ∀ a, b ∈R,P(a < X 6b) = F(b)−F(a).
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CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 3.2. CARACTÉRISTIQUES D’UNE V.A.R
(a) v.a.discrète : La fonction de répartition d’une v.a.d est donnée par :
∀x∈R, F (x) = X
k≤x
P(X=k)
Elle est souvent présentée dans le tableau de la loi de probabilité.
Exemple. Dans l’exemple précédent, la fonction de répartition est donnée par :
x0123
P(X=x)1
8
3
8
3
8
1
8
F(x)1
8
4
8
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Remarque. Soit Xune v.a.d, et soient a,b∈R:
• P(a6X6b) = P(a < X 6b) + P(X=a).
• P(a < X < b) = P(a < X 6b)− P(X=b).
(b) v.a.continue : La fonction de répartition d’une v.a.c est donnée par :
∀x∈R:F(x) = Zx
−∞
f(t)dt
Remarque. Soit Xune v.a.c, et soient a,b∈R:
• P(a<X6b) = F(b)−F(a) = Rb
af(t)dt .
•P(a < X 6b) = P(a6X < b) = P(a < X < b) = P(a6X6b).
2. Espérance mathématique : L’espérance mathématique d’une v.a Xest la moyenne de ses
valeurs. Elle est notée E(X).
•v.a.discrète : Si Xest une v.a.d, alors :
E(X) = X
k∈X(Ω)
kP(X=k)
•v.a.continue : Si Xest une v.a.c de densité f, alors :
E(X) = Z+∞
−∞
t . f(t)dt
Propriétés. Si Xet Ysont deux v.a.r sur Ω:
•Xadmet une espérance ⇔E(X)<+∞.
• ∀a∈R, E(a) = a.
• ∀a,b,c∈R, E(aX +bY +c) = aE(X) + bE(Y) + c.
•Soit φune fonction continue sur X(Ω) :
–Si Xv.a.d : E(φ(X)) = Pk∈X(Ω) φ(k)P(X=k).
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