4 Congruence dans - LPO de Chirongui

4Congruence
dans 
Objectifs du chapitre
Nous allons étudier la notion de congruence dans  qui sera utilisée dans des
problèmes de codage.
Pour débuter
Le 1er janvier 2012 était un dimanche.
 Quel jour de la semaine était-on
n jours plus tard pour n = 1, 2, 3, ..., 20 (on
regroupera ces résultats dans un tableau, la 1re colonne correspondant au
lundi...).
 Que peut-on dire de deux nombres d’une même colonne?
 Quel jour de la semaine sera-t-on 1 000 jours après le 1er janvier 2012?
 Quel jour sera-t-on le 1er janvier 2020?
Cours
1. Définition
Soit n un entier naturel non nul donné, et soient x et y deux entiers relatifs quel-
conques.
On dit que
x est congru à y modulo n si la différence
xy −est un multiple de
n .
Dans ce cas, on note :
xy n ≡mod ou encore xyn ≡[] ou encore xyn ≡()
et on lit «
x congru à y modulo n ».
Définition 4
A
B
Activité 3
C

Si
xy – est un multiple de
n ,
yx −est aussi un multiple de n .
Donc, si
xyn ≡[] on a aussi yxn ≡[]: la relation de congruence est symé-
trique.
 On a toujours
xxn ≡[]: la relation de congruence est réflexive.
 On a toujours
xy ≡[].1 (La congruence modulo 1 ne présente donc pas grand
intérêt.)
z Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c’est un multiple de n .
z Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2 ; tout nombre impair est congru
à 1modulo 2.
z Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 10.
Conséquences
Conséquence immédiate de la définition.
Soit
n un nombre pair. Le nombre n est divisible par 2 donc n ≡0[2].
Soit
n un nombre impair. Le nombre
n −1 est donc divisible par 2 ce qui prouve
que
n ≡1[2].
Soit
n un nombre entier. Écrivons naa aa
mm
=−110 ... où a
0représente le chiffre
des unités de n , a
1 représente le chiffre des dizaines de
n, etc. Ainsi,
na a a a
m
m
m
m
=× + × ++×+
−−
10 10 10
1
1
10
... .
L’entier
na a a a
m
m
m
m
−=× × +× ++
−−
0
12
1
10 10 10 ... est donc divisible par 10
ce qui prouve na ≡0[10].
La barre dans la notation aa aa
mm −110
... sert à différencier l’écriture avec le chiffre
des unités, le chiffre des dizaines etc., de l’écriture du produit aa aa
mm
×××
−110
... .
[].
Remarques
Démonstration
Remarque
Exemple 14
Solution
a) Les nombres –13 et –8 sont-ils congrus modulo 5?
b) Les nombres 7 et 8 sont-ils congrus modulo 5?
a) On a: –13 – (–8) = –5. Le nombre –5 est un multiple de 5 donc –13 et –8 sont
congrus modulo 5:
−≡−13 8 5[].
b) On a: 7 – 8 = –1. Le nombre –1 n’est pas un multiple de 5 donc 7 et 8 ne sont
pas congrus modulo 5:
−/ ≡−13 8 5

 Déterminer le reste de la division euclidienne de 87 par 5.
 Comment le joueur A peut-il s’y prendre pour gagner à coup sûr?
de 87 par 5 est 2.
 Pour être sûr de gagner, A peut commencer par le nombre
N
(en fait, si B ajoute x , il ajoute ensuite 5 – x
La situation initiale (
N
gagnante (toujours proposer un nombre congru à 2 modulo 5).
2. Lien entre congruence et division euclidienne
Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n .
On a 87 17 5 2=×+ et 025≤< donc le reste de la division euclidienne
= 2 puis, après le
coup de B, il s’arrange pour que le nombre obtenu soit congru à 2 modulo 5
).
À tout moment, A proposera ainsi un nombre congru à 2 modulo 5 et B un
nombre congru à 3, 4, 0 ou 1 modulo 5.
En théorie des jeux, on dit que, pour ce jeu, les nombres congrus à 2 modulo
5 constituent un ensemble de situations gagnantes:
t le nombre 87 est une situation gagnante;
t à partir d’une situation qui n’est pas gagnante, on peut toujours jouer de
telle sorte d’être à la suite du coup en situation gagnante;
t à partir d’une situation gagnante, on se retrouve, après avoir joué, forcé-
ment en situation perdante.
= 0) n’est pas gagnante donc le joueur A a une stratégie
Propriété 3
Si on effectue la division euclidienne de x par n on sait qu’il existe q
nant à et
r
appartenant à  tels que
xqnr
≤<
rn
On a alors
xrqn donc xr est un multiple de n et ainsi x est congru à r
modulo n .
Modulo n , tout nombre est congru à un nombre r
≤≤−
rn
Si
arn n []et0 < r
alors
r est le reste de la division euclidienne de a par n .
, apparte-
=+
avec 0 .
−= −
z tel que 01
.
z ≡≤
Conséquences
[].
Solution
Démonstration
Exemple 16
Solution
À quel entier naturel inférieur à 27 le nombre 523 est-il congru modulo 27?
Par division euclidienne de 523 par 27, on obtient: 523 19 27 10=×+ donc
523 10 27≡
Exemple 15
qui arrive à 87 a gagné.
er
nombre obtenu. Le 1
nombre 1, 2, 3 ou 4 et à tour de rôle, les joueurs A et B ajoutent 1, 2, 3 ou 4 au
Un joueur A propose un nombre entier entre 1 et 4, le joueur B ajoute à ce
Les règles d’un jeu sont les suivantes:

3. Propriétés
Transitivité
La relation de congruence modulo n est transitivec’est-à-dire que si on a :
xyn ≡[] et yzn ≡[]
alors on a :
xzn ≡[].
Propriété 4
La congruence xyn ≡[] se traduit par: il existe un entier k tel que xykn −= ;
la congruence yzn ≡[] se traduit par : il existe un entier k’ tel que
yzkn −=′.
Or, xzxyyz −=−+− = kn + k’n = ( k+k’ ) n donc xzn ≡[].
Addition et soustraction de congruences de même module
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et avec la sous-
traction dans  ; c’est-à-dire que si on a :
xyn ≡[] et ′≡′ xyn []
alors on a
aussi :
xx yyn +′≡+
′[]
et :
xx yyn −′≡−
′[].
Propriété 5
Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n , on peut les ajouter
membre à membre ou les retrancher membre à membre et on obtient encore une
congruence modulo n .
La congruence
xyn ≡[] se traduit par xy − multiple de n .
La congruence ′≡′
xyn [] se traduit par ′−′
xy
multiple de n .
On en déduit que la « somme » ()( )
xy x y −+′−′est encore un multiple
de
n , c’est-à-dire ()()
xx yy +′−+
′ est multiple de
n ; ceci veut dire
que
xx yyn +′≡+
′[]
.
On raisonne comme précédemment en remplaçant la somme par la différence
pour obtenir
xx yyn −′≡−
′[].
On a −≡−13 8 5[] et 46 21 5≡[].
En utilisant la propriété 5, on obtient: 33 13 29≡≡−[5] et –59 [5].
Multiplication de congruences de même module
La relation de congruence modulo n est compatible avec la multiplication dans  ;
c’est-à-dire que si on a :
xyn ≡[] et ′≡′
xyn []
alors on a aussi :
xx yy n
′≡′[].
Propriété 6
Démonstration
Démonstration
Exemple

Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n , on peut les multiplier
membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n .
On ne peut pas diviser par un même nombre les deux membres d’une congruence.
Par exemple, 15 5≡[10] mais 31
/
≡[10].
O
n a xyn ≡[] donc il existe k
de
tel que xykn −= d’où xykn =+.
On a ′≡′
xyn []
donc il existe ′
k
de  tel que ′−′=′
xykn
d’où ′=′+′
xykn .
On a donc:
xx y kn y k n
yy n ky k y kk n
′=+ ′+′
=′+′+′+′
()()
().
Posons
Kkykykkn =′+′+′ ()
; K appartient à  et
xx yy Kn
′−′=.
Ainsi, xx yy n ''[].≡
Multiplication par un entier
Si xyn ≡[] alors, pour tout k appartenant à , on a:
kx ky n ≡[].
Propriété 7
On applique la propriété 7 à xyn ≡[] et kkn ≡[].
 Dresser la table de multiplication modulo 7.
 Déterminer un entier
n tel que 52 n congru à 1 modulo 7.
 Soient
a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 6.
On calcule le reste dans la division euclidienne de
ab par 7.
Par exemple, 3 4 12 12 5×= ≡et [7].
À l’aide de la fonction MOD du tableur, en saisissant en B2 la formule
=MOD($A2*B$1;7) puis en la «copiant-glissant», on obtientla table suivante :
 On a 52 3≡[7]. En utilisant la table ci-dessus, on voit que 351×≡[7] et ainsi
n = 5 convient.
Remarque
Démonstration
Démonstration
Exemple 17
Solution
!!!!
!!!!