Lois de probabilité à densité

Terminale ES
Lois de probabilité à densité
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TES
Lois de probabilité à densité
Loi à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et un univers associé  muni d’une probabilité.
I Variable aléatoire continue
Définition
Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de 
associe un nombre réel d’un intervalle I de .
Exemple :
La variable aléatoire égale à la durée de bon fonctionnement d’un équipement
produit en grande série est une variable aléatoire continue.
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Lois de probabilité à densité
Loi à densité sur un intervalle
II Loi de probabilité à densité
Définition
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I
et f est une fonction continue, positive sur I telle que :
•
•
𝑏
𝑓
𝑎
𝑡 𝑑𝑡 = 1 si I = [a;b]
𝑥
lim 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1 si I = [a; + [
𝑥→+∞
Dire que P est la loi de probabilité de densité f de X signifie que
pour tout intervalle J inclus dans I, P(X  J) est égale à l’aire du
domaine {M(x;y) / x  J et 0  y  f(x)}.
Cf
P(a  X  b) = 1
Cf
P(c  X  d)
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TES
Lois de probabilité à densité
Loi à densité sur un intervalle
Conséquences
1. Pour tout réel c de I, P(X = c) = 0
𝑐
En effet, P(X = c) = P(c  X c) = 𝑐 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0.
2. On déduit de (1) que :
P(c  X  d) = P(c  X < d) = P(c < X  d) = P(c < X < d)
3. Si J = [c;d], alors P(X  J) =
𝑑
𝑓
𝑐
𝑡 𝑑𝑡.
P(X>c)
4. Si I = ]a; + [ et si c est un réel tel que c > a :
P(X > c) = 1 – P(a < X < c) = 1 -
𝑐
𝑓
𝑎
𝑡 𝑑𝑡.
Remarques : Les propriétés des probabilités d’événements rencontrés dans le
cas discret s’étendent naturellement au cas continu. Par exemple :
•
Si J’ est le complémentaire de J dans I, alors P(J’) = 1 – P(J);
•
Si I’  I et P(I’)  0, si J  I, alors PI’(J) =
𝑃(𝐼′ ∩𝐽)
𝑃(𝐼′ )
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Lois de probabilité à densité
La loi uniforme sur [a;b]
III Définition et propriétés
Définition
a et b désignent deux nombres réels distincts.
Dire qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle
[a;b] signifie que la densité de probabilité de la loi X est une fonction
constante sur [a;b].
Propriété
La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a;b] est la fonction f
définie sur [a;b] par f(x) =
1
.
𝑏 −𝑎
Démonstration
f est une fonction constante sur [a;b] définie par f(x) = .
On a
𝑏
𝑑𝑡
𝑎
= 1, c’est-à-dire [𝑡]𝑏
𝑎 = 1; soit (b – a) = 1; d’où  =
1 .
𝑏 −𝑎
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Lois de probabilité à densité
La loi uniforme sur [a;b]
Propriété
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b].
𝒅 −𝒄
Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b], P(c  X  d) =
.
𝒃 −𝒂
Démonstration
𝑑 1
P(c  X  d) =
𝑑𝑡
𝑐 𝑏 −𝑎
=
𝑑
1
𝑡
𝑏−𝑎 𝑐
=
𝑑 −𝑐
𝑏 −𝑎
Remarque
Pour la loi uniforme sur [0;1] et pour tous réels c et d de [0;1] :
P(c  X  d) =
𝑑 −𝑐
1 −0
= 𝑑 − 𝑐.
Donc la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est égale à la longueur de
l’intervalle [c;d].
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Lois de probabilité à densité
La loi uniforme sur [a;b]
IV Espérance
Définition
L’espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a;b] est le
nombre réel :
𝒃
E(X) =
𝒕𝒇
𝒂
𝒕 𝒅𝒕
Propriété
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b].
Son espérance est E(X) =
Démonstration
𝑏 1
E(X) =
𝑡𝑑𝑡
𝑎 𝑏 −𝑎
=
𝑏
1 1
𝑡²
2 𝑏−𝑎
𝑎
𝒂+𝒃
.
𝟐
=
1 𝑏² −𝑎²
2 𝑏 −𝑎
=
1 (𝑏 −𝑎)(𝑏+𝑎)
2
𝑏 −𝑎
=
𝑎 +𝑏.
2
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Lois de probabilité à densité
Loi normale centrée réduite
V Une approche historique
N(0;1)
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi
binomiale B(n;p).
La variable aléatoire centrée et réduite
associée à Xn est Zn =
𝑋𝑛 − 𝑛𝑝
; son espérance
𝑛𝑝(1 −𝑝)
est E(Zn) = 0 et son écart-type est (Zn) = 1.
A la loi discrète de Zn on associe des aires de
rectangles afin d’obtenir un histogramme comme
ci-contre (cas n = 100 et p = 0,5).
Tester l’animation GeoGebra en ligne
Plus n est grand, plus les bords supérieurs des rectangles se rapprochent d’une courbe régulière et
symétrique. Le mathématicien Abraham de Moivre (17ème siècle) a découvert que cette courbe
représente la fonction :
1
𝑏
1
− 2𝑥 ²
f:x
𝑒
et donc que P(a  Zn  b) tend vers
𝑓
𝑎
2𝜋
𝑥 𝑑𝑥 lorsque n tend vers + .
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Lois de probabilité à densité
Loi normale centrée réduite
N(0;1)
VI La loi normale centrée réduite
Définition
Dire qu’une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite, notée
N(0;1),signifie que sa densité de probabilité est la fonction f définie sur  par
f 𝑥 =
1
1
− 2𝑥 ²
𝑒
.
2𝜋
Premières propriétés
1)
f est continue sur .
2)
Pour tous nombres réels a et b, P(a  T  b) = 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙.
𝒃
3) L’aire totale sous la courbe est égale à 1; elle représente la probabilité P(T  ] - ; + [).
4) La courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées,
𝟏
𝟐
donc P(T  ] 0; + [)= .
On dit que la courbe de f est une « courbe en cloche ».
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Lois de probabilité à densité
Loi normale centrée réduite
Premières propriétés
N(0;1)
5) Pour tout réel u :
P(T  -u) = 1 – P(T > -u), or pour des raisons de symétrie P(T > -u) = P(T  u)
Donc P(T  -u) = 1 – P(T  u).
6)
P(-1,96  T  1,96)  0,95
Environ, 95% des réalisations de T se trouvent
entre -1,96 et 1,96.
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Loi normale
Lois de probabilité à densité
N(;²)
VII Loi normale d’espérance  et d’écart-type 
Définition
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale
variable aléatoire T =
𝑋−𝜇
suit la loi normale
𝜎
N(;²) signifie que la
N(0;1).
Propriété
Si une variable aléatoire suit une loi normale
sa variance est ² et son écart-type .
N(;²) , alors son espérance est ,
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Loi normale
N(;²)
Lois de probabilité à densité
VIII Influence des paramètres
Courbe représentative de la fonction de densité lorsque  = 1; elle admet la
droite d’équation x =  comme axe de symétrie.
Courbe représentative de la fonction de densité lorsque  = 2; plus l’écart-type 
est grand, plus la courbe est élargie.
Tester en ligne une animation GeoGebra qui fait varier les paramètres  et .
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Loi normale
N(;²)
Lois de probabilité à densité
IX Les intervalles « un, deux, trois sigmas »
X est une variable aléatoire qui suit N(;²) et T =
•
𝑋−𝜇
suit N(0;1).
𝜎
P( -   X   + ) = P(-1  T  1)  0,68 (avec la calculatrice).
Donc P( -   X   + )  0,68.
•
De la même façon, on obtient :
 P( - 2  X   + 2)  0,95
 P( - 3  X   + 3)  0,997
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