Lois de probabilité à densité

Terminale ES
Lois de probabilité à densité
1

TES Lois de probabilité à densité
I Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de 
associe un nombre réel d’un intervalle I de .
Définition
2
On considère une expérience aléatoire et un univers associé  muni d’une probabilité.
Loi à densité sur un intervalle
Exemple :
La variable aléatoire égale à la durée de bon fonctionnement d’un équipement
produit en grande série est une variable aléatoire continue.

TES Lois de probabilité à densité
3
Loi à densité sur un intervalle
II Loi de probabilité à densité
X est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I
et f est une fonction continue, positive sur I telle que :
•
  si I = [a;b]
•
 si I = [a; + [
Dire que P est la loi de probabilité de densité f de X signifie que
pour tout intervalle J inclus dans I, P(X  J) est égale à l’aire du
domaine {M(x;y) / x  J et 0  y  f(x)}.
Définition
Cf
P(a  X  b) = 1 P(c  X  d)
Cf

TES Lois de probabilité à densité
4
Loi à densité sur un intervalle
Conséquences
1. Pour tout réel c de I, P(X = c) = 0
En effet, P(X = c) = P(c  X c) =
2. On déduit de (1) que :
P(c  X  d) = P(c  X < d) = P(c < X  d) = P(c < X < d)
3. Si J = [c;d], alors P(X  J) =
4. Si I = ]a; + [ et si c est un réel tel que c > a :
P(X > c) = 1 – P(a < X < c) = 1 -
P(X>c)
Remarques : Les propriétés des probabilités d’événements rencontrés dans le
cas discret s’étendent naturellement au cas continu. Par exemple :
•Si J’ est le complémentaire de J dans I, alors P(J’) = 1 – P(J);
•Si I’  I et P(I’)  0, si J  I, alors PI’(J) = 

TES Lois de probabilité à densité
III Définition et propriétés
a et b désignent deux nombres réels distincts.
Dire qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle
[a;b] signifie que la densité de probabilité de la loi X est une fonction
constante sur [a;b].
Définition
5
La loi uniforme sur [a;b]
La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a;b] est la fonction f
définie sur [a;b] par f(x) = 
.
Propriété
Démonstration
f est une fonction constante sur [a;b] définie par f(x) = .
On a
, c’est-à-dire 
 = 1; soit (b – a) = 1; d’où  = 
.