1 Introduction au langage mathématique - IMJ-PRG

1 Introduction au langage math´ematique
1.1 ”et”, ”ou”, ”implique”
Exercice 1.1. Soient des propositions P, Q, R, S.´ Ecrire la n´egation des asser-
tions suivantes
P⇒Q, P et non Q, P et (Qet R),
Pou (Qet R),(Pet Q)⇒(R⇒S).
Exercice 1.2. Traduire la phrase : ”Il n’y a pas de fum´ee sans feu” `a l’aide du
signe ⇒.
Exercice 1.3. Montrer que (1 = 2) ⇒(3 = 4).
Exercice 1.4. Consid´erons l’´enonc´e : ”On ne peut voter sans avoir la majorit´e.”
a) ´ Ecrire cet ´enonc´e `a l’aide du signe ⇒.
b) Les raisonnements suivants sont-ils corrects ?
– Paul a vot´e, donc Paul a la majorit´e.
– Pierre n’a pas vot´e, donc Pierre n’a pas la majorit´e.
– Marie est majeure, donc Marie a vot´e.
Exercice 1.5. Compl´eter les pointill´es par le connecteur logique qui s’impose :
⇔,⇐ou ⇒.
1. x∈Rx2= 4 . . . x = 2 ;
2. z∈Cz=z . . . z ∈R;
3. x∈Rx=π . . . e2ix = 1.
Exercice 1.6. Soient A, B, C, D quatre propositions. Montrer l’´equivalence sui-
vante :
(Aou B) et (Cou D)⇐⇒ (Aet C) ou (Aet D) ou (Bet C) ou (Bet D).
Comme application, r´esoudre le syst`eme :
(x−1)(y−2) = 0
(x−2)(y−3) = 0
1.2 Quantificateurs
Exercice 1.7. Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui
ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
Exercice 1.8. Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle poss`ede un angle droit ;
2. dans toutes les ´ecuries, tous les chevaux sont noirs ;
3. pour tout entier x, il existe un entier ytel que, pour tout entier z, la
relation z < x implique la relation z < x + 1 ;
1

4. ∀ > 0,∃α > 0 tel que |x−7/5|< α ⇒ |5x−7|< .
Exercice 1.9. Sur l’ensemble Fdes femmes, on consid`ere la proposition P(x, y) :
”xest la fille de y”. Traduisez les phrases suivantes en termes de quantificateurs :
1. On peut trouver deux femmes dont l’une est la fille de l’autre.
2. Il y a une femme qui est la fille de toutes les autres.
3. Toute femme a au moins une fille.
4. On peut trouver une femme m`ere de toutes les autres.
5. Toute femme a une m`ere.
6. Toute femme est fille de toute femme.
Pour chacune des expresssions obtenues, traduire ce qui se passe quand on rem-
place P(x, y) par sa n´egation.
Exercice 1.10. Soit f:R→Rune fonction donn´ee. consid´erons la propri´et´e
suivante : ”pour xsup´erieur ou ´egal `a 2, f(x) est positif ou nul”.
a) ´ Ecrire cette propri´et´e avec des signes logiques de deux mani`eres diff´erentes,
en utilisant le signe ⇒et sans l’utiliser.
b) Comparer leur n´egation.
2 Exemples de raisonnement
Exercice 2.1. par l’absurde
a) Soient p1, p2, . . . , prdes nombres premiers. Montrer que l’entier N=
p1p2. . . pr+ 1 n’est divisible par aucun des entiers pi.
b) Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer par l’absurde qu’il existe une
infinit´e de nombres premiers.
Exercice 2.2. par l’absurde
Soit Xun ensemble et fune application de Xdans l’ensemble P(X) des
parties de X. On note Al’ensemble des x∈Xv´erifiant x /∈f(x). D´emontrer
par l’absurde qu’il n’existe aucun x∈Xtel que A=f(x). (Indication : s’il
existe un tel x, distinguer le cas o`u x∈Aet le cas o`u x6∈ A.)
Exercice 2.3. par r´ecurrence
Comparer 3net n!.
Exercice 2.4. r´ecurrence forte
D´emontrer par r´ecurrence que tout nombre entier n≥2 est un produit de
nombres premiers.
Exercice 2.5. Montrer par r´ecurrence que pour tout n≥1 on a
1
12+1 22+1 32+··· +1 n2<2
(Indication : plutˆot que de d´emontrer que c’est <2, d´emontrez que c’est <
2−1/n).
2

Exercice 2.6. Soit (un)n∈Nla suite d´efinie par u0= 2, u1= 3 et
∀n>2, un= 3un−1−2un−2.
Pour tout n∈N, on appelle P(n) la propri´et´e ”un= 2n” et Q(n) la propri´et´e
”un= 2n+ 1”.
1. Montrez que les propri´et´es P(n) et Q(n) sont h´er´editaires.
2. Montrez que P(n) est toujours fausse et que Q(n) est toujours vraie.
3 Application en analyse
Exercice 3.1. Soient les quatre assertions suivantes :
∃x∈Rtel que ∀y∈R, x +y > 0; ∀x∈R,∃y∈Rtel que x+y > 0;
∀x∈R,∀y∈R, x +y > 0; ∃x∈Rtel que ∀y∈R, y2> x.
a) Ces assertions sont-elles vraies ou fausses ?
b) Donner leur n´egation.
Exercice 3.2. Soit fune application de Rdans R. Nier, de la mani`ere la plus
pr´ecise possible, les ´enonc´es qui suivent :
1. Pour tout x∈Rf(x)≤1.
2. L’application fest croissante.
3. L’application fest croissante et positive.
4. Il existe x∈R+tel que f(x)≤0.
Exercice 3.3. Soient (un) une suite de nombres r´eels. Traduire avec des quan-
tificateurs les expressions suivantes : (un) est born´ee, (un) est major´ee, (un) ne
s’annule jamais, (un) est croissante `a partir d’un certain rang, (un) n’est pas la
suite nulle.
Exercice 3.4.
a) Soit aun nombre r´eel tel que ∀ > 0, |a|6. Montrer que a= 0.
b) Soit aet bdes nombres r´eels tels que ∀ > 0, a6b+. Montrer que
a6b.
Exercice 3.5. Parmi les assertions suivantes, d´eterminer celles qui sont vraies :
∀x∈R, x 6x2;∀(x, y)∈R2, x26y2⇒x6y;
∀x∈R,∃y∈Rtel que y=x2;∀x∈R,∃y∈Rtel que y2=x;
∀n∈N,∃m∈Ntel que n<m;∃n∈Ntel que ∀m∈N, n < m;
∀(a, b, x, y)∈R4,(a6bet x6y)⇒ax 6by
∀(a, b, x, y)∈R4,(a6bet x6y)⇒a−x6b−y
∀(a, b)∈R∗×R∗, a 6b⇒b−16a−1
Exercice 3.6. Montrer que ∀ > 0, ∃N∈Ntel que
∀n∈N, n ≥N⇒2− < 2n+1
n+2 <2 + .
3

4 Ensembles
Exercice 4.1. Parties d’ensembles.
Soit Eun ensemble contenant au moins deux ´el´ements. Si Aest une partie
de E, on note Q(A) l’ensemble des parties de Eincluses dans A. Montrer que
l’´enonc´e suivant est faux :
∀A∈ P(E),∀B∈ P(E), Q(A)∪Q(B) = Q(A∪B).
Exercice 4.2. Produits d’ensembles.
Montrer que l’ensemble
{(x, y)∈R2/ x2+y261}
ne peut pas s’´ecrire sous la forme A×B, o`u Aet Bsont des parties de R.
Exercice 4.3. Fonctions caract´eristiques.
Soit Eun ensemble. Si Aest une partie de E, la fonction caract´eristique de
Aest la fonction a:E→ {0,1}d´efinie par a(x) = 1 si x∈Aet a(x) = 0 sinon.
a) Que valent les fonctions caract´eristiques de Eet de ∅?
b) Montrer que pour toute fonction a:E→ {0,1}il existe une unique partie
Ade Edont asoit la fonction caract´eristique.
c) Soit Aet Bdeux parties de E, dont on note aet bles fonctions ca-
ract´eristiques.
d) Quelles sont les parties de Edont les fonctions caract´eristiques sont 1−a,
ab et a+b−ab ?
e) Exprimer la propri´et´e ”A⊂B” en fonction de aet b.
La diff´erence sym´etrique de Aet Best la partie A∆B= (A∩Bc)∪(Ac∩B).
f) Montrer que la fonction caract´eristique de A∆Best (a−b)2.
g) Montrer que (A∩B)c=Ac∪Bcet (A∪B)c=Ac∩Bcen calculant les
fonctions caract´eristiques de chacun des membres de ces ´equations.
Exercice 4.4. Soit Eun ensemble non vide. Soient A,Bet Cdes parties de
E. On note A−B=A∩Bcla diff´erence de Aet B. D´emontrer que
A∩B=A⇔A⊂B;
A∪B=B⇔A⊂B;
(A∪C⊂A∪Bet A∩C⊂A∩B)⇔C⊂B;
A∩B=A∪B⇔A=B;
(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A) = (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A);
A∩(B−A) = A∪B;
(A−B)∩(A∩B)∩(B−A) = A∪B;
(A−B)−C=A−(B∪C);
(A−B)∩(C−D) = (A∩C)−(B∪D).
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5 Applications
Exercice 5.1. Soient Eet Fdeux ensembles finis. On note met nleurs cardi-
naux respectifs.
a ) Quand existe-t-il une injection f:E→F?
b) Quand existe-t-il une surjection g:E→F?
c) Quand existe-t-il une bijection h:E→F?
Exercice 5.2. Soit Eun ensemble et P(E) l’ensemble des parties de E. En
vous inspirant de l’exercice 2.2, d´emontrez par l’absurde qu’il n’existe pas de
bijection f:E→ P(E).
Exercice 5.3. Soient f,get htrois applications de Ndans Nd´efinies par
f(x) = 2x, g(x) = (xsi xest pair
0 si xest impair , h(x) = (x/2 si xest pair (x+ 1)/2 si xest impair .
a) Etudier l’injectivit´e et la surjectivit´e de ces applications. b) D´eterminer h◦f
et f◦h.
Exercice 5.4. Soit f:Z×N∗→Qd´efinie par f(p, q) = p+1
q. Montrer que f
est injective, mais qu’elle n’est pas surjective.
Exercice 5.5. Exhiber une bijection de Zdans Net expliciter sa bijection
r´eciproque.
Exercice 5.6. Soit une application f:X→Y.
a) Montrer qu’il existe une application g:Y→Xtelle que g◦f= idXsi
et seulement si fest injective. A quelle condition sur fl’application gest-elle
unique ?
b) Montrer qu’il existe une application g:Y→Xtelle que f◦g= idYsi
et seulement si fest surjective. A quelle condition sur fl’application gest-elle
unique ?
Exercice 5.7. Soient deux applications i:E→Fet s:F→G. D´emontrer
que :
a) s◦iest injective ⇒iest injective.
b) s◦iest surjective ⇒sest surjective.
c) Etudier les implications r´eciproques.
Exercice 5.8. Soit une application f:E→F. D´emontrer que :
a) fest injective ssi ∀A⊂E,f−1(f(A)) = A.
b) fest surjective ssi ∀B⊂F,f(f−1(B)) = B.
c) fest injective ssi ∀A⊂E,∀B⊂E,f(A∩B) = f(A)∩f(B).
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