TRIGONOMETRIE

Seconde
Trigonométrie
Juin 2014
TRIGONOMETRIE
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Enroulement de la droite numérique
Le cercle trigonométrique C de centre O est
le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on a
choisi un sens de parcours, appelé sens direct :
sens inverse des aiguilles d’une montre.
1.1
Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
Dans le repère (O, I, J), la droite d a pour équation x = 1 : elle est tangente à C en I. A tout point
¯ soit égale
P (1, t) de d on associe le point M du cercle trigonométrique tel que la longueur de l’arc IM
à |t| (valeur absolue de t), en tournant dans le sens direct si t ≥ 0, ou, si t < 0, en tournant dans le
sens indirect. On dit que M est le point image de t sur le cercle C, en enroulant la droite numérique d
sur le cercle.
1.2
longueur d’un arc
Comme le cercle C a pour rayon 1, son périmètre mesure 2π.
Placer sur le cercle les points images des réels ci-dessous :
réel
0
point
I
π
4
A
π
2
J
3π
4
B
π
2π
4π
I’
...
...
π
4
D
π
2
J’
−
−
3π
4
E
−
−π
−2π
...
....
remarque : le radian est l’unité d’angle telle qu’un arc de C de longueur α corresponde à un angle
au centre de α radians. Cette unité est très utilisée en mathématiques et en physique (et préférée aux
degrés), car sur un cercle de rayon R, la longueur d’un arc intercepté par un angle de α radians est
π
αR quand α est exprimé en degrés.
tout simplement αR, au lieu de
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Cosinus et sinus d’un réel
2.1
Définitions
Soit t un réel et M son point image sur le
cercle trigonométrique.
Par définition le cosinus de t, noté cos t, est
l’abscisse de M dans le repère (O, I, J), et le sinus de t, noté sin t, est l’ordonnée de M .
ò
ï
π
remarque : Quand t ∈ 0; , on retrouve les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle
2
vues au collège :
Notons H le projeté orthogonal de M sur (OI) : le triangle OHM est rectangle en H et son
hypoténuse mesure OM = 1. De plus OH = cos t et HM = sin t. On a les formules :
cos t
OH
◊
=
= cos t
• cos HOM
=
OM
1
HM
sin t
◊
• sin HOM
=
=
= sin t
OM
1
◊
◊
où on mesure l’angle HOM
en radians : HOM
= t rad.
2.2
Propriétés
Pour tout réel t :
• on a −1 ≤ cos t ≤ 1 et −1 ≤ sin t ≤ 1.
• comme les réels t, t + 2π, t + 4π, ..., t + k2π
(où k est un entier relatif) ont tous la même
image sur le cercle trigonométrique, on a
cos t = cos(t + k2π) et sin t = sin(t + k2π).
• en appliquant le théorème de Pythagore
dans le triangle HOM , (cos t)2 + (sin t)2 =
1, ce qui s’écrit aussi : cos2 t + sin2 t = 1.
• comme les points images des réels t et −t
sont symétriques par rapport à l’axe (OI),
on a : cos t = cos(−t) et sin t = − sin −t.
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2.3
2.4
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Valeurs remarquables
angle en degrés
0
réel t
0
cos t
1
sin t
0
30
45
60
90
180
π
6
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
π
2
π
0
-1
1
0
1
2
1
2
√
3
2
Courbes des fonctions cosinus et sinus
Vous avez déjà certainement rencontré les courbes des fonctions Cosinus et Sinus sur un oscilloscope
(circuit parcouru par un courant alternatif) : les voici à titre de mémoire.
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