TRIGONOMETRIE

Seconde Trigonom´etrie Juin 2014
TRIGONOMETRIE
1 Enroulement de la droite num´erique
Le cercle trigonom´etrique Cde centre O est
le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on a
choisi un sens de parcours, appel´e sens direct :
sens inverse des aiguilles d’une montre.
1.1 Enroulement de la droite des r´eels sur le cercle trigonom´etrique
Dans le rep`ere (O, I, J), la droite da pour ´equation x= 1 : elle est tangente `a Cen I. A tout point
P(1, t) de don associe le point Mdu cercle trigonom´etrique tel que la longueur de l’arc ¯ IM soit ´egale
`a |t|(valeur absolue de t), en tournant dans le sens direct si t≥0, ou, si t < 0, en tournant dans le
sens indirect. On dit que M est le point image de tsur le cercle C, en enroulant la droite num´erique d
sur le cercle.
1.2 longueur d’un arc
Comme le cercle Ca pour rayon 1, son p´erim`etre mesure 2π.
Placer sur le cercle les points images des r´eels ci-dessous :
r´eel 0 π
4
π
2
3π
4π2π4π−π 4−π 2−3π 4−π−2π
point I A J B I’ ... ... D J’ E ... ....
remarque : le radian est l’unit´e d’angle telle qu’un arc de Cde longueur αcorresponde `a un angle
au centre de αradians. Cette unit´e est tr`es utilis´ee en math´ematiques et en physique (et pr´ef´er´ee aux
degr´es), car sur un cercle de rayon R, la longueur d’un arc intercept´e par un angle de αradians est
tout simplement αR, au lieu de π
180αR quand αest exprim´e en degr´es.
1 Trigo

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2 Cosinus et sinus d’un r´eel
2.1 D´efinitions
Soit tun r´eel et Mson point image sur le
cercle trigonom´etrique.
Par d´efinition le cosinus de t, not´e cos t, est
l’abscisse de Mdans le rep`ere (O, I, J), et le si-
nus de t, not´e sin t, est l’ordonn´ee de M.
remarque : Quand t∈ò0; π
2ï, on retrouve les formules de trigonom´etrie dans un triangle rectangle
vues au coll`ege :
Notons Hle projet´e orthogonal de Msur (OI) : le triangle OHM est rectangle en Het son
hypot´enuse mesure OM = 1. De plus OH = cos tet HM = sin t. On a les formules :
•cos ◊ HOM =OH
OM =cos t 1= cos t
•sin ◊ HOM =HM
OM =sin t 1= sin t
o`u on mesure l’angle ◊ HOM en radians : ◊ HOM =trad.
2.2 Propri´et´es
Pour tout r´eel t:
•on a −1≤cos t≤1 et −1≤sin t≤1.
•comme les r´eels t,t+ 2π,t+ 4π, ..., t+k2π
(o`u kest un entier relatif) ont tous la mˆeme
image sur le cercle trigonom´etrique, on a
cos t= cos(t+k2π) et sin t= sin(t+k2π).
•en appliquant le th´eor`eme de Pythagore
dans le triangle HOM, (cos t)2+ (sin t)2=
1, ce qui s’´ecrit aussi : cos2t+ sin2t= 1.
•comme les points images des r´eels tet −t
sont sym´etriques par rapport `a l’axe (OI),
on a : cos t= cos(−t) et sin t=−sin −t.
2 Trigo

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2.3 Valeurs remarquables
angle en degr´es 0 30 45 60 90 180
r´eel t0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos t1√3
2
√2
2
1
20 -1
sin t01
2
√2
2
√3
21 0
2.4 Courbes des fonctions cosinus et sinus
Vous avez d´ej`a certainement rencontr´e les courbes des fonctions Cosinus et Sinus sur un oscilloscope
(circuit parcouru par un courant alternatif) : les voici `a titre de m´emoire.
3 Trigo