Statistiques pour la psychologie II

Statistiques pour la psychologie II
LP (UM3)
S TATISTIQUES POUR LA PSYCHOLOGIE II
2012/2013
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Exemple 1 : niveau scolaire et absentéisme
On mesure sur des élèves le niveau scolaire (X) et l’absentéisme en
classe (Y).
X/Y
A
B
Total Y
Rare
7
8
15
Moyen
4
2
6
Fréquent
4
2
6
Total X
15
12
27
Distribution de la variable Y en effectifs
Y
Eff
Rare
15
Moyen
6
Fréquent
6
Total
27
Distribution de la variable X en effectifs
X
Eff
LP (UM3)
A
15
B
12
Total
27
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions marginales
X /Y
m1
m2
...
mi
...
mk
MargeY
m10
n11
n21
m20
n12
n22
ni1
ni2
nk 1
n•1
nk 2
n•2
Ex NeA
...
mj0
n1j
n2j
mp0
n1p
n2p
MargeX
n1•
n2•
nij
nip
ni•
nkj
n•j
nkp
n•p
nk •
n••
...
Effectif [marginal] de la modalité mi :
C’est le nombre d’individus dont la mesure [par X] est mi ;
c’est la somme des effectifs de la ligne i du tableau de contingence ;
on le note ni•
Effectif [marginal] de la modalité mj0 :
C’est le nombre d’individus dont la mesure [par Y] est mj0 ;
c’est la somme des effectifs de la colonne j du tableau de contingence ;
on le note n•j
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions marginales
X /Y
m1
m2
...
mi
...
mk
MargeY
m10
f11
f21
m20
f12
f22
fi1
fi2
fk 1
f•1
fk 2
f•2
Ex NeA
...
mj0
f1j
f2j
mp0
f1p
f2p
MargeX
f1•
f2•
fij
fip
fi•
fkj
f•j
fkp
f•p
fk •
1
...
Fréquence [marginale] de la modalité mi :
C’est la fréquence d’individus dont la mesure [par X] est mi ;
c’est la somme des fréquences de la ligne i du tableau de contingence;
on le note fi• . Idem pour f•j
fi• =
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ni•
n••
f•j =
n•j
n••
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Exemple 1 : niveau scolaire et absentéisme
On mesure sur des élèves le niveau scolaire (X) et l’absentéisme en
classe (Y).
X/Y
A
B
Total Y
Rare
7
8
15
Moyen
4
2
6
Fréquent
4
2
6
Total X
15
12
27
On a un échantillon de taille 27
Si on ne s’intéresse qu’aux élèves de niveau B : X = B
Sous cette condition, l’échantillon considéré est changé
(tous les individus sont de niveau B) ainsi que sa taille
−→ sous-échantillon conditionné par X = B de taille 12
On obtient ainsi la distribution en effectifs de Y sachant que X = B
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Exemple 1 : niveau scolaire et absentéisme
On obtient ainsi la distribution en effectifs de Y sachant que X = B
C’est la distribution de Y correspondant au sous-échantillon
conditionné par X = B
Distribution conditionnelle de Y sachant X = B
YX =B
Eff
Rare
8
Moyen
2
Fréquent
2
Total
12
Distribution de Y correspondant au sous-échantillon conditionné par
X =A
Distribution conditionnelle de Y sachant X = A
YX =A
Eff
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Rare
7
Moyen
4
Fréquent
4
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Total
15
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions conditionnelles
Ex NeAcont
Sous-échantillon conditionné par X = mi :
c’est la partie des individus de l’échantillon telle que X prenne la
modalité mi
Sous-échantillon conditionné par Y = mj0 :
c’est la partie des individus de l’échantillon telle que Y prenne la
modalité mj0
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions conditionnelles
Ex NeAcont
Une distribution conditionnelle de X est une distribution de X restreinte
à un sous-échantillon conditionné par une modalité de Y.
Combien y a-t-il de distributions conditionnelles de X ?
Une distribution conditionnelle de Y est une distribution de Y restreinte
à un sous-échantillon conditionné par une modalité de X.
Combien y a-t-il de distributions conditionnelles de Y ?
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Exemple 1 : niveau scolaire et absentéisme
On mesure sur des élèves le niveau scolaire (X) et l’absentéisme en classe (Y).
X/Y
A
B
Total Y
Rare
7
8
15
Moyen
4
2
6
Fréquent
4
2
6
Total X
15
12
27
Combien y a-t-il de distributions conditionnelles ? 5
2 pour Y (conditionnée par X=A et X=B)
3 pour Y (conditionnée par Y=Rare, Y=Moyen, Y=Fréquent)
Quelle est la distribution conditionnelle en effectifs de X sachant
Y=Rare ?
XY =Rare
Eff
A
7
B
8
Quel est l’intérêt de ces distributions conditionnelles ?
On peut comparer les sous-populations.
Combien y a-t-il de distributions en effectifs de X ? 3
la distribution marginale et les deux conditionnelles
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Exemple 1 : niveau scolaire et absentéisme
On mesure sur des élèves le niveau scolaire (X) et l’absentéisme en classe (Y).
X/Y
A
B
Total Y
Rare
7
8
15
Moyen
4
2
6
Fréquent
4
2
6
Total X
15
12
27
Quelle est la taille du sous-échantillon conditionné par Y=Rare ? 15
Quelle est la distribution conditionnelle en fréquences de X sachant
Y=Rare ?
XRare
fr.
7
15
A
' 0, 47
8
15
B
' 0, 53
Combien de sous-échantillons peut-on construire ? 5
2 en conditionnant par les 2 modalités de X
et 3 par les modalités de Y
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
tableau de contingence en effectifs
X /Y
m1
m2
...
mi
...
mk
MargeY
LP (UM3)
m10
n11
n21
m20
n12
n22
ni1
ni2
nk 1
n•1
nk 2
n•2
...
mj0
n1j
n2j
mp0
n1p
n2p
MargeX
n1•
n2•
nij
nip
ni•
nkj
n•j
nkp
n•p
nk •
n••
...
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Exemple 2 : Faux test
On fait passer un faux test de niveau, à des étudiants, que l’on ne corrige pas mais on
note aléatoirement. On obtient alors un niveau (X). Quelques semaines plus tard, on
fait passer un vrai test que l’on corrige et on obtient le niveau (Y).
X/Y
Insuf.
Satisf.
Total Y
Insuf.
40
30
70
Satisf.
40
50
90
Total X
80
80
160
Calculer les distributions conditionnelles en fréquences de X ?
XInsuf
fr.
Insuf.
57,1%
Satisf.
42,9%
T
100%
XSatisf
fr.
Insuf.
44,4%
Satisf.
55,5%
T
100%
Que l’on peut synthétiser dans un seul tableau qui n’est plus un tableau de
contingence
X/Y
Insuf.
Satisf.
LP (UM3)
Insuf.
57,1%
42,9%
100%
Satisf.
44,4%
55,5%
100%
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Exemple 3 : Taille du père et nombre de voiture
On s’intéresse dans des familles à la taille du père (X) et au nombre de voitures (Y).
X/Y
petit
grand
T
1
30
20
50
2
90
60
150
T
120
80
200
Que représentent les tableaux suivants ? Sont-ils des tableaux de contingence ?
X/Y
petit
grand
T
1
0,15
0,1
0,25
2
0,45
0,3
0,75
X/Y
petit
grand
LP (UM3)
T
0,6
0,4
1
1
0,25
0,25
X/Y
petit
grand
T
2
0,75
0,75
1
0,6
0,4
1
2
0,6
0,4
1
T
1
1
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Représentations graphiques
A SAVOIR
1
variable qualitative nominale :
• distribution : diagramme en barres séparées
2
variable qualitative ordinale :
• distribution : diagramme en barres juxtaposées
• distribution cumulée : graphe des fréquences cumulées
3
variable quantitative discrète :
• distribution : diagramme en bâtons
• distribution cumulée : graphe de la fonction de répartition (en
escalier)
4
variable quantitative continue :
• distribution : histogramme
• distribution cumulée : graphe de la fonction de répartition
(linéaire par morceaux)
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Représentations graphiques
Cas d’une variable qualitative nominale
La distribution de la variable X est fournie par le tableau :
Variable X
Effectifs nk
Fréquences fk
m1 m2 . . .
n1 n2 . . .
f1
f2 . . .
mK
nK
fK
Total
n
1
,→ diagramme en barres séparées
1
2
3
Tracer un axe horizontal portant le nom de la variable et
y positionner les modalités de la variable (ni ordre, ni distance
n’ont de sens ici - l’axe n’est pas orienté)
Choisir une échelle sur l’axe vertical pour y positionner les
effectifs ou les fréquences (l’axe est orienté)
Associer à chaque modalité un trait ou rectangle (l’épaisseur
n’ayant pas de signification) vertical de hauteur correspondant à
son effectif ou sa fréquence
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions marginales
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions marginales
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions conditionnelles
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Distributions conditionnelles
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CHAP 2 : Distributions marginales et conditionnelles
Ex
Tracer sur un même graphique les distributions conditionnelles et
marginale de Y en fréquences
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