UE : Math 4 Fiche 5 2008

UE : Math 4
Fiche 5 2008-09
Distributions (1)
Rappels :
•Une fonction fest dite de classe C∞sur un intervalle Isi et seulement si elle est indéfiniment
dérivable sur I.
•Un segment est un intervalle fermé borné de R(autrement dit, de la forme [a, b]où a, b ∈R).
•Une fonction φest une fonction test si elle est de classe C∞sur Ret si elle est nulle hors
d’un segment Iφ. On note Dl’ensemble de ces fonctions.
•Une fonction sommable sur tout segment est dite localement sommable (ou localement
intégrable). On note L1
loc(R,C)l’ensemble de ces fonctions.
1. Les applications suivantes de Ddans Rsont-elles des distributions ? Pour répondre on vérifiera
•qu’elles sont définies pour toute application φde l’ensemble des fonctions test D;
•qu’elles sont linéaires ;
•la continuité sera admise.
T1(φ) = Z1
0
φ(t)dt ;T2(φ) = Z1
0
|φ(t)|dt ;T3(φ) = Z+∞
0
t2φ(t)dt
T4(φ) = Z+∞
0
φ(t)φ0(t)dt
On rappelle qu’une distribution Test régulière s’il existe une application flocalement intégrable
telle que pour tout φ∈ D
T(φ) = Z+∞
−∞
φ(t)f(t)dt
Parmi les Tici-dessus lesquelles sont régulières ?
2. Les applications suivantes sont-elles des distributions sur D? Si oui, sont-elles régulières ?
T5(φ) =
∞
X
n=0
φ(n)(n)
T6(φ) =
∞
X
n=0
φ(n)(0)
T7(φ) = φ(a) + φ0(b)
T8(φ) = max(φ(a),0)
1

Notations :
•On notera souvent hT, φi=T(φ)pour une distribution Tet une fonction test φ.
•Si Sest une distribution, on note σS la distribution symétrique définie par
hσS, φi=hS, σφi.
•Si Sest une distribution et aun nombre réel, on note τaSla translatée de Sdéfinie par
hτaS, φi=hS, τ−aφi.
3. Quelles sont les propriétés de l’ensemble des distributions sur D?
Une distribution Sest dite paire si σS =S(resp. impaire si σS =−S). Dans ce cas, quelle
relation lie hS, φ(−t)iet hS, φ(t)i, quelle que soit φ∈ D ?
4. Rappel : la distribution de Dirac est définie par :
hδ0, φi=φ(0).
1. Déterminer la distribution δa=τaδ0(notée abusivement δ(t−a)).
2. Rappel : si Sest une distribution et gune fonction , la distribution "produit" gS est
définie par
hgS, φi=hS, g(t)φ(t)i.
Calculer la distribution gδade deux manières différentes.
5. Rappel : La dérivée T0d’une distribution Test définie par :
∀φ∈ D,hT0, φi=−hT, φ0i.
1. Calculer δ0
a
2. Calculer (gS)0. Trouver une expression simplifiée de gδ0
a. Calculer : eatδ0,tδ0et t2δ0.
3. Soit fla fonction définie par :
f(t) = 1−t2pour |t| ≤ 1
0 pour |t|>1.
Soit T=d(f)la distribution régulière associée à f. Calculer successivement T0,T00 et T000.
4. Soit f(t) = H(t) sin t. On note T=d(f)la distribution régulière associée. Calculer T0et
T00.
5. Soit l’application fdéfinie sur Rpar
f(t) = 2−t2pour |t| ≤ 1
e1−|t|pour |t|>1.
Soit T=d(f)la distribution régulière associée à f. Calculer successivement T0,T00 et T000.
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