Maison

Introduction à la théorie des
ensembles de distributions
Fabio Cozman, 30/12/1999
Présenté par Antoine Penciolelli
17/04/2001
Modèles de préférences, actes,
évènements et fonction d’utilité
0.3
0.7
Soleil
pluie
Parc
10
-10
-4
Cinéma
-5
4
1.3
Maison
0
0
0
Ensembles de distributions
0.5
0.5
0.3
0.7
Soleil
pluie
Parc
10
-10
-4
0
Cinéma
-5
4
1.3
-0.5
Maison
0
0
0
0
f1
f2
Interprétation
• On n’est pas capable d’obtenir la distribution
unique qui représente les croyances d’un
agent
• Les connaissances de l’agent ne peuvent être
représentées par une distribution unique
Avantages
Permet :
• de représenter les imperfections dans les
croyances des agents
• De faire des études de robustesse
• De représenter les opinions d’un groupe
d’agents
On dispose d’une axiomatisation importante
Conséquences
Probabilité Conditionnelle et indépendance:
• Il n’existe pas de méthode générale pour
calculer des probabilités conditionnelles
avec les ensembles de distribution
• Si on ne peut pas définir de probabilité
conditionnelle, on ne peut pas définir non
plus d’indépendance
Espérance inférieure
• Si on possède un ensemble de distributions, la
valeur de l’acte est représentée par l’ensemble des
utilités espérées.
• Si l’ensemble des distributions est convexe, alors
l’ensemble des espérances est un intervalle
• Le minimum et le maximum de cet intervalle sont
appelés, espérance inférieure et espérance
supérieure
• On montre que E(l)1E(l) où l est une fct
d’utilité
Reconstruction de l’ensemble
Comment construire un ensemble de distributions à
partir d’espérances inférieures ?
K = toutes les distributions telles que
El El 
Conditions pour l’ensemble et l’espérance inférieure
représentent la même chose
E(l1l2)E(l1)E(l2)
E(l1) E(l1)
Enveloppe inférieure
Spécifier des intervalles de probabilités pour un
événement ?
Si on possède un ensemble convexe de distribution :


Pxinf
p
x
pK
est appelée enveloppe inférieure de K
Pour construire un ensemble de distribution à partir de p :
K = toutes les distributions telles que
px px
Correspondance avec les
ensembles de distributions
• On peut représenter une distribution sur trois
événements par un point dans l’espace
Correspondance avec les
ensembles de distributions
• Si on représente des intervalles sur des probabilités
dans le triangle, on obtient un ensemble convexe
Probabilités inférieures
Généralisation des propriétés des probabilités aux ensembles
 
vx1v x
vxouyvxvy
v0,vunivers1
vxouyvxv y
c
Aide à la décision
Soleil
pluie
Parc
10
-10
Cinéma
-5
4
Maison
0
0
E(parc) = 10*P(soleil)-10*P(pluie)
E(cinéma) = -5*P(soleil)+4*P(pluie)
E(maison) = 0*P(soleil)+0*P(pluie)
Aide à la décision
10
8
6
4
2
0
0
-2
-4
-6
-8
-10
0,2
0,4
0,6
0,8
1