Transformations z → az + b, a = 0. Applications.

DOCUMENT 12
Transformations z→az +b,a6= 0. Applications.
On a d´ej`a d´etermin´e l’interpr´etation g´eom´etrique des applications z→z+bet z→az.
Dans ce document on va ´etudier plus g´en´eralement les application z→az +b,a6= 0, ce qui
permet d’introduire `a partir des nombres complexes les similitudes planes directes.
On suppose connu la structure de plan affine euclidien de C.
1. G´en´eralit´es sur les transformations z→az +b,a6= 0.
Pour tout couple (a, b) de nombres complexes, avec a6= 0, on d´esigne par fa,b l’application
de Cdans Cd´efinie par fa,b(z) = az +b. Si Pest un plan affine euclidien (orient´e si n´ecessaire)
muni d’un rep`ere orthonorm´e (direct si n´ecessaire) (O, ~u, ~v), on note Fa,b l’application de Pdans
Pqui au point Md’affixe zfait correspondre le point Fa,b(M) d’affixe fa,b(z).
Pour tout couple (z1, z2) de nombres complexes,
fa,b(z1)−fa,b(z2) = a(z1−z2),|fa,b(z1)−fa,b(z2)|=|a||z1−z2|
ce qui montre que l’application fa,b est affine, injective et multiplie les distances par |a|. Il en
est de mˆeme pour les applications Fa,b.
Pour tout z∈C,fa,b(z) = z0´equivaut `a z0= (1/a)(z−b) et donc fa,b est bijective avec
f−1
a,b =f1
a,−b a
.
Consid`erons maintenant deux ´el´ements (a, b) et (c, d) de C∗×C. On v´erifie que fa,b ◦fc,d =
fac,ad+bd’o`u la conclusion :
Proposition 12.1.L’ensemble Σ = {fa,b|(a, b)∈C∗×C}est un sous-groupe du groupe
des bijections de Cdans Cet Σ(P) = {Fa,b|(a, b)∈C∗×C}est un sous-groupe du groupe des
bijections de Pdans P. Tout ´el´ement fa,b ou Fa,b de ces sous-groupes multiplie les distances par
|a|.
Points fixes de fa,b.
On a fa,b(z) = zsi et seulement si (1 −a)z=bdonc
•si a6= 1, fa,b poss`ede un unique point fixe z0=b
1−a,
•si a= 1, fa,b ne poss`ede aucun point fixe si b6= 0 et tout point est fixe si b= 0 (fa,b
est alors l’application identique de C).
2. Propri´et´es g´eom´etriques des applications z→az +b,a6= 0.
Nous allons maintenant ´etudier plus pr´ecisemment les propri´et´es g´eom´etriques des applica-
tions fa,b en commen¸cant par deux cas particuliers remarquables, a∈R∗et |a|= 1.
fa,b avec a∈R∗
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130 12. TRANSFORMATIONS z→az +b,a6= 0. APPLICATIONS
On a d´ej`a remarqu´e que f1,0est l’application identique de Cet, pour b6= 0, f1,b est la
translation de Cd´efinie par b. De mˆeme, F1,b est la translation de Pd´efinie par le vecteur qui
est l’image de b. Toute translation de Pest de la forme F1,b.
Si a6= 1 alors z0=b
1−aest l’unique point fixe de fa,b et
fa,b(z)−z0=fa,b(z)−fa,b(z0) = a(z−z0) (1)
ce qui montre que fa,b ,a∈R∗,a6= 1, est l’homoth´etie de Cde centre z0et de rapport a.
R´eciproquement, si hest l’homoth´etie de Cde centre z0et de rapport k6= 1 alors, pour tout
z∈C,h(z)−z0=k(z−z0) d’o`u h(z) = kz + (1 −k)z0et donc h=fk,(1−k)z0.
Dans le plan P, si les points Met M0sont d’affixes zet z0alors l’´egalit´e (1) ´equivaut `a
−−−−−−−−→
M0Fa,b(M) = a~ M0Met Fa,b est l’homoth´etie de centre M0, image de z0, et de rapport a. Toute
homoth´etie de Pest de la forme Fa,b,a∈R∗. On a donc d´emontr´e :
Proposition 12.2.L’ensemble {fa,b|(a, b)∈R∗×C}est le groupe des homoth´eties-translations
de l’espace affine Cet {Fa,b|(a, b)∈R∗×C}est le groupe des homoth´eties-translations de l’espace
affine P.
Notons que l’application fa,b →Fa,b est un isomorphisme entre le groupe des homoth´eties-
translations de Cet celui de P.
fa,b avec |a|= 1
On sait d´ej`a que si a= 1, fa,b est la translation d´efinie par le vecteur b. Si a6= 1 alors fa,b
poss`ede un unique point fixe z0et fa,b(z)−z0=fa,b(z)−fa,b(z0) = a(z−z0) d’o`u |fa,b(z)−z0|=
|z−z0|et arg fa,b(z)−(z0)
z−z0
=arg a ce qui montre que fa,b est la rotation de centre z0et dont la
mesure de l’angle est arg a. On peut aussi prouver cela en disant que fa,b conserve les distances
du plan affine C: c’est donc un d´eplacement ou un antid´eplacement. Comme fa,b poss`ede un
unique point fixe, c’est une rotation (car les antid´eplacements d’un plan affine ont soit aucun
point fixe, soit un ensemble de points fixes formant une droite et les translations n’ont aucun
point fixe).
R´eciproquement, soit rla rotation de Cde centre z0et dont la mesure de l’angle est θ+2πZ.
Si z6=z0alors |r(z)−z0
z−z0
|= 1 et arg r(z)−z0
z−z0
=θ+2πZd’o`u, en posant a=eiθ,r(z)−z0
z−z0
=a
et r(z) = az +z0(1 −a) = fa,z0(1−a)(z) d’o`u r=fa,z0(1−a).
En utilisant l’interpr´etation dans Pde la relation fa,b(z)−z0=a(z−z0) et l’´etude des fa,b
avec a= 1 on a donc :
Proposition 12.3.L’ensemble {fa,b|(a, b)∈C∗×C,|a|= 1}est le groupe des d´eplacements
du plan affine Cet {Fa,b|(a, b)∈C∗×C,|a|= 1}est le groupe des d´eplacements du plan affine
P.
fa,b: le cas g´en´eral
En g´en´eral,
az +b=|a|(a
|a|z+b |a|)

3. LES SIMILITUDES DIRECTES 131
et donc
fa,b =f|a|,0◦fa
|a|,b |a]
L’application fa,b est donc compos´e d’une homoth´etie de rapport >0 et d’un d´eplacement.
C’est en particulier une application affine. Le paragraphe suivant est consacr´e `a l’´etude des
applications de ce type.
3. Les similitudes directes
D´ efinition 12.1.On appelle similitude directe d’un espace affine euclidien E, toute appli-
cation de Edans Ecompos´ee d’un d´eplacement et d’une homoth´etie de rapport >0.
Si une similitude directe est de la forme s=h◦r, o`u hest une homoth´etie de rapport λ > 0,
run d´eplacement, alors sest une application affine (car compos´ee de deux applications affines)
et smultiplie les distances par λ. Ce nombre r´eel strictement positif est appel´e le rapport de
la similitude s. Si s=h0◦r0ou s=r0◦h0, o`u h0est une homoth´etie de rapport >0 et r0est
un d´eplacement alors le rapport de l’homoth´etie h0est λ.
D´esignons par Sim+(E) l’ensemble des similitudes directes de E.
Proposition 12.4.On a Sim+(C) = {fa,b|(a, b)∈C∗×C}et Sim+(C)est un sous-groupe
du groupe affine de C.
On a vu que Σ ⊂Sim+(C). Soit s∈Sim+(C). Par d´efinition, s=h◦ro`u h est une
homoth´etie de rapport >0 et rest un d´eplacement. On a montr´e que h∈Σ et r∈Σ d’o`u s∈Σ
car Σ est un groupe. Finalement Σ = Sim+(C). La proposition 12.1 entraine que Sim+(C) est
un sous-groupe du groupe des bijections affines de C.
Plus g´en´eralement, Sim+(P) est un sous-groupe des bijections affines du plan euclidien P.
Proposition 12.5.(Classification des similitudes directes de C).
Soit fa,b ∈Sim+(C).
(1) |a|= 1.
•a= 1 : l’application f1,b est la translation de vecteur b.
•a6= 1 : L’application fa,b est la rotation de centre z0=b
1−aet dont la mesure
de l’angle est arg a.
(2) |a| 6= 1
•a∈R∗+: l’application fa,b est l’homoth´etie de centre z0=b
1−aet de rapport
positif a.
•a6∈ R∗+: l’application fa,b est compos´e dans un ordre quelconque de l’homoth´etie
hde centre z0=b
1−a, de rapport |a|>0et de la rotation rde centre z0et dont
la mesure de l’angle est arg a. Cette d´ecomposition est unique : si fa,b =r1◦h1=
h1◦r1o`u h1est une homoth´etie de rapport >0et r1une rotation alors r=r1et
h=h1.

132 12. TRANSFORMATIONS z→az +b,a6= 0. APPLICATIONS
Preuve. Un d´emonstration est n´ecessire seulement dans le cas |a| 6= 1 et a6∈ R∗+. Comme
a6= 1 le point z0est l’unique point fixe de fa,b et
az +b=az +b+z0−az0−b=a(z−z0) + z0
=a
|a|[|a|(z−z0) + z0−z0] + z0.
L’application hd´efinie par h(z) = |a|(z−z0) + z0est l’homoth´etie de centre z0et de rapport
strictement positif |a|et l’application rd´efinie par r(z) = a
|a|(z−z0) + z0est la rotation de
centre z0et dont la mesure de l’angle est arg a
|a|=arg a. Il est clair que fa,b =r◦h. Pour
´etablir r◦h=h◦r, montrons d’abord un lemme qui a son propre int´erˆet.
Lemme 12.1.Soit ρune rotation de centre z1, dont la mesure de l’angle est arg α et kune
homoth´etie de centre z2, de rapport λ. On a ρ◦k=k◦ρsi et seulement si on est dans l’un des
cas suivants :
•z1=z2(ρet kont le mˆeme centre) ;
•α= 1 (ρest l’application identique) ;
•λ= 1 (kest l’application identique).
Preuve. On a k(z) = λ(z−z2) + z2et, en supposant |α|= 1, ρ(z) = α(z−z1) + z1. L’´egalit´e
ρ◦k=k◦ρ´equivaut `a :
α(λ(z−z2) + z2−z1) + z1=λ(α(z−z1) + z1−z2) + z2
ce qui ´equivaut encore `a (z1−z2)(λ−1)(α−1) = 0 d’o`u le r´esultat cherch´e.
Revenons `a la preuve de la proposition. Le lemme entraine que h◦r=r◦hcar het ront
le mˆeme centre.
Comme fa,b =r1◦h1=h1◦r1,h1et r1ont le mˆeme centre. Ce centre ´etant fixe par fa,b,
c’est z0. L’´egalit´e fa,b =r1◦h1entraine que le rapport de h1est |a|et donc h1=h. L’´egalit´e
h◦r=h◦r1entraine r=r1.
4. Applications
4.1. Applications aux similitudes directes d’un plan affine euclidien. On a d´efini
les similitudes d’un plan affine euclidien Pcomme ´etant les applications affines compos´ees d’un
d´eplacement et d’une homoth´etie de rapport >0. Ces similitudes sont les applications Fa,b,
(a, b)∈C∗×C, et celles qui sont distinctes d’une translation ont un unique point fixe d’affixe
z0=b
1−aappel´e leur centre. A l’aide de la proposition 12.5, on obtient un th´eor`eme de
d´ecomposition de ces similitudes.
Proposition 12.6.Soit sune similitude directe d’un plan affine euclidien Pde rapport
λ. Si sn’est pas une translation alors sposs`ede un unique point fixe Ωappel´e son centre.
L’application sest une rotation ou une homoth´etie de rapport >0(´egal `a λ) ou est compos´e
dans un ordre quelconque d’une rotation rde centre Ωet d’une homoth´etie hde centre Ωet de
rapport λ. Dans ce cas, si l’on a s=h1◦r1=r1◦h1, o`u h1est une homoth´etie de rapport >0
et r1une rotation alors r=r1et h=h1.
L’angle de la rotation rde la proposition pr´ec´edente est appel´e l’angle de la similitude
s. Si le plan est orient´e et si le rep`ere (O, ~u, ~v) est direct alors la mesure de l’angle de s=Fa,b

4. APPLICATIONS 133
est arg a. Notons qu’une similitude directe, qui n’est pas une translation, est enti`erement
d´etermin´ee par son rapport, son centre et son angle.
Remarque. Soit hune homoth´etie de rapport λet de centre Ω. La transformation hest
une similitude directe mais, avec notre termininologie, son rapport de similitude est |λ|et, si
λ < 0, sa d´ecomposition donn´ee par la proposition pr´ec´edente est h=h0◦r=r◦h0o`u h0est l’
homoth´etie de rapport positif −λ, de centre Ω, et rla rotation de centre Ω et dont une mesure
de l’angle est π+ 2πZ(rest la sym´etrie centrale de centre Ω).
Exercice. SoitA,B,A0,B0quatre points d’un plan affine euclidien avec A6=Bet A06=B0.
Montrer qu’il existe une unique similitude directe sde Ptelle que s(A) = A0et s(B) = B0.
Montrer que si A6=A0,B6=B0et si sposs`ede un centre alors c’est aussi le centre de la simili-
tude σtelle que σ(A) = Bet σ(A0) = B0.
Solution. Soit (O, ~u, ~v) une rep`ere orthonorm´e de Pet a,b,a0,b0les affixes de A,B,A0,B0. Il
existe une similitude directe sde Ptelle que s(A) = A0et s(B) = B0si et seulement si il existe
(α, β)∈C∗×Ctel que fα,β (a) = a0et fα,β (b) = b0. On doit donc r´esoudre le syst`eme :
xa +y=a0
xb +y=b0
Comme a6=b, ce syst`eme poss`ede une unique solution α=a0−b0
a−b, β =ab0−ba0 a−b. De A06=B0,
on d´eduit α6= 0 et fα,β est l’unique similitude directe de Ctel que fα,β (a) = a0et fα,β (b) = b0.
Il en r´esulte que s=Fα,β est l’unique similitude directe de Ptelle que s(A) = A0et s(B) = B0.
La similitude fα,β poss`ede un point fixe si et seulement si α6= 1 ce qui ´equivaut `a ~ AB 6=~ A0B0.
Supposons cette condition r´ealis´ee. Le point fixe de fα,β est z0=α
1−β=ab0−ba0 (a−b)−(a0−b0).
Si ~ AB 6=~ A0B0alors ~ AA06=~ BB0et la similitude directe σtelle que σ(A) = Bet σ(A0) = B0
poss`ede un centre d’affixe z1=ab0−a0b
(a−a0)−(b−b0)(on permute a0et bdans z0). On a z0=z1et
donc set σont le mˆeme centre.
4.2. Les similitudes indirectes (ou n´egatives). On a vu que les similitudes directes de
Cmultiplient les distances par une constante appel´ee leur rapport. On peut plus g´en´eralement
consid´erer l’ensemble Sdes applications fde Cdans Cpour lesquelles il existe une constante
k > 0 (d´ependant de f) telle que
|f(z)−f(z0)|=k|z−z0|.
On a Sim+(C)⊂S. Soit fun ´el´ement de S. L’application g=f◦f1
k,0est une isom´etrie
affine donc f=g◦fk,0est une application affine. On distingue deux cas suivant la nature de
l’isom´etrie g.
•gest un d´eplacement et f=g◦fk,0entraine que fest une similitude directe. Il existe
(a, b)∈C∗×Ctel que f=fa,b.
•gest un antid´eplacement. Soit γl’application de Cdans Cd´efinie par γ(z) = z. On
sait que γest la r´eflexion par rapport `a l’axe r´eel. L’application g◦γest donc un
d´eplacement: il existe (a, b)∈C∗×Cavec |a|= 1 tel que g◦γ(z) = az +bd’o`u
g(z) = az +b. Finalement f(z) = g◦fk,0(z) = akz +b. L’application fest donc du