Transformations z → az + b, a = 0. Applications.

DOCUMENT 12
Transformations z → az + b, a 6= 0. Applications.
On a déjà déterminé l’interprétation géométrique des applications z → z + b et z → az.
Dans ce document on va étudier plus généralement les application z → az + b, a 6= 0, ce qui
permet d’introduire à partir des nombres complexes les similitudes planes directes.
On suppose connu la structure de plan affine euclidien de C.
1. Généralités sur les transformations z → az + b, a 6= 0.
Pour tout couple (a, b) de nombres complexes, avec a 6= 0, on désigne par fa,b l’application
de C dans C définie par fa,b (z) = az + b. Si P est un plan affine euclidien (orienté si nécessaire)
muni d’un repère orthonormé (direct si nécessaire) (O, ~u, ~v ), on note Fa,b l’application de P dans
P qui au point M d’affixe z fait correspondre le point Fa,b (M ) d’affixe fa,b (z).
Pour tout couple (z1 , z2 ) de nombres complexes,
fa,b (z1 ) − fa,b (z2 ) = a(z1 − z2 ),
|fa,b (z1 ) − fa,b (z2 )| = |a||z1 − z2 |
ce qui montre que l’application fa,b est affine, injective et multiplie les distances par |a|. Il en
est de même pour les applications Fa,b .
Pour tout z ∈ C, fa,b (z) = z 0 équivaut à z 0 = (1/a)(z − b) et donc fa,b est bijective avec
−1
fa,b = f 1 , −b .
a a
Considèrons maintenant deux éléments (a, b) et (c, d) de C∗ × C. On vérifie que fa,b ◦ fc,d =
fac,ad+b d’où la conclusion :
Proposition 12.1. L’ensemble Σ = {fa,b |(a, b) ∈ C∗ × C} est un sous-groupe du groupe
des bijections de C dans C et Σ(P ) = {Fa,b |(a, b) ∈ C∗ × C} est un sous-groupe du groupe des
bijections de P dans P . Tout élément fa,b ou Fa,b de ces sous-groupes multiplie les distances par
|a|.
Points fixes de fa,b .
On a fa,b (z) = z si et seulement si (1 − a)z = b donc
b
,
1−a
• si a = 1, fa,b ne possède aucun point fixe si b 6= 0 et tout point est fixe si b = 0 (fa,b
est alors l’application identique de C).
• si a 6= 1, fa,b possède un unique point fixe z0 =
2. Propriétés géométriques des applications z → az + b, a 6= 0.
Nous allons maintenant étudier plus précisemment les propriétés géométriques des applications fa,b en commençant par deux cas particuliers remarquables, a ∈ R∗ et |a| = 1.
fa,b avec a ∈ R∗
129
12. TRANSFORMATIONS z → az + b, a 6= 0. APPLICATIONS
130
On a déjà remarqué que f1,0 est l’application identique de C et, pour b 6= 0, f1,b est la
translation de C définie par b. De même, F1,b est la translation de P définie par le vecteur qui
est l’image de b. Toute translation de P est de la forme F1,b .
b
Si a 6= 1 alors z0 =
est l’unique point fixe de fa,b et
1−a
fa,b (z) − z0 = fa,b (z) − fa,b (z0 ) = a(z − z0 )
(1)
ce qui montre que fa,b , a ∈ R∗ , a 6= 1, est l’homothétie de C de centre z0 et de rapport a.
Réciproquement, si h est l’homothétie de C de centre z0 et de rapport k 6= 1 alors, pour tout
z ∈ C, h(z) − z0 = k(z − z0 ) d’où h(z) = kz + (1 − k)z0 et donc h = fk,(1−k)z0 .
Dans le plan P , si les points M et M0 sont d’affixes z et z0 alors l’égalité (1) équivaut à
−−−−−−−−→
M0 Fa,b (M ) = aM~0 M et Fa,b est l’homothétie de centre M0 , image de z0 , et de rapport a. Toute
homothétie de P est de la forme Fa,b , a ∈ R∗ . On a donc démontré :
Proposition 12.2. L’ensemble {fa,b |(a, b) ∈ R∗ ×C} est le groupe des homothéties-translations
de l’espace affine C et {Fa,b |(a, b) ∈ R∗ ×C} est le groupe des homothéties-translations de l’espace
affine P .
Notons que l’application fa,b → Fa,b est un isomorphisme entre le groupe des homothétiestranslations de C et celui de P .
fa,b avec |a| = 1
On sait déjà que si a = 1, fa,b est la translation définie par le vecteur b. Si a 6= 1 alors fa,b
possède un unique point fixe z0 et fa,b (z) − z0 = fa,b (z) − fa,b (z0 ) = a(z − z0 ) d’où |fa,b (z) − z0 | =
fa,b (z) − (z0 )
|z − z0 | et arg
= arg a ce qui montre que fa,b est la rotation de centre z0 et dont la
z − z0
mesure de l’angle est arg a. On peut aussi prouver cela en disant que fa,b conserve les distances
du plan affine C : c’est donc un déplacement ou un antidéplacement. Comme fa,b possède un
unique point fixe, c’est une rotation (car les antidéplacements d’un plan affine ont soit aucun
point fixe, soit un ensemble de points fixes formant une droite et les translations n’ont aucun
point fixe).
Réciproquement, soit r la rotation de C de centre z0 et dont la mesure de l’angle est θ + 2πZ.
r(z) − z0
r(z) − z0
r(z) − z0
| = 1 et arg
= θ + 2πZ d’où, en posant a = eiθ ,
=a
Si z 6= z0 alors |
z − z0
z − z0
z − z0
et r(z) = az + z0 (1 − a) = fa,z0 (1−a) (z) d’où r = fa,z0 (1−a) .
En utilisant l’interprétation dans P de la relation fa,b (z) − z0 = a(z − z0 ) et l’étude des fa,b
avec a = 1 on a donc :
Proposition 12.3. L’ensemble {fa,b |(a, b) ∈ C∗ ×C, |a| = 1} est le groupe des déplacements
du plan affine C et {Fa,b |(a, b) ∈ C∗ × C, |a| = 1} est le groupe des déplacements du plan affine
P.
fa,b : le cas général
En général,
az + b = |a|(
a
b
z+
)
|a|
|a|
3. LES SIMILITUDES DIRECTES
131
et donc
fa,b = f|a|,0 ◦ f a b
,
|a| |a]
L’application fa,b est donc composé d’une homothétie de rapport > 0 et d’un déplacement.
C’est en particulier une application affine. Le paragraphe suivant est consacré à l’étude des
applications de ce type.
3. Les similitudes directes
Définition 12.1. On appelle similitude directe d’un espace affine euclidien E , toute application de E dans E composée d’un déplacement et d’une homothétie de rapport > 0.
Si une similitude directe est de la forme s = h ◦ r, où h est une homothétie de rapport λ > 0,
r un déplacement, alors s est une application affine (car composée de deux applications affines)
et s multiplie les distances par λ. Ce nombre réel strictement positif est appelé le rapport de
la similitude s. Si s = h0 ◦ r0 ou s = r0 ◦ h0 , où h0 est une homothétie de rapport > 0 et r0 est
un déplacement alors le rapport de l’homothétie h0 est λ.
Désignons par Sim+ (E) l’ensemble des similitudes directes de E.
Proposition 12.4. On a Sim+ (C) = {fa,b |(a, b) ∈ C∗ × C} et Sim+ (C) est un sous-groupe
du groupe affine de C.
On a vu que Σ ⊂ Sim+ (C). Soit s ∈ Sim+ (C). Par définition, s = h ◦ r où h est une
homothétie de rapport > 0 et r est un déplacement. On a montré que h ∈ Σ et r ∈ Σ d’où s ∈ Σ
car Σ est un groupe. Finalement Σ = Sim+ (C). La proposition 12.1 entraine que Sim+ (C) est
un sous-groupe du groupe des bijections affines de C.
Plus généralement, Sim+ (P ) est un sous-groupe des bijections affines du plan euclidien P .
Proposition 12.5. (Classification des similitudes directes de C).
Soit fa,b ∈ Sim+ (C).
(1) |a| = 1.
• a = 1 : l’application f1,b est la translation de vecteur b.
• a 6= 1 : L’application fa,b est la rotation de centre z0 =
de l’angle est arg a.
(2) |a| =
6 1
b
et dont la mesure
1−a
• a ∈ R∗+ : l’application fa,b est l’homothétie de centre z0 =
b
et de rapport
1−a
positif a.
• a 6∈ R∗+ : l’application fa,b est composé dans un ordre quelconque de l’homothétie
b
h de centre z0 =
, de rapport |a| > 0 et de la rotation r de centre z0 et dont
1−a
la mesure de l’angle est arg a. Cette décomposition est unique : si fa,b = r1 ◦ h1 =
h1 ◦ r1 où h1 est une homothétie de rapport > 0 et r1 une rotation alors r = r1 et
h = h1 .
132
12. TRANSFORMATIONS z → az + b, a 6= 0. APPLICATIONS
Preuve. Un démonstration est nécessire seulement dans le cas |a| 6= 1 et a 6∈ R∗+ . Comme
a 6= 1 le point z0 est l’unique point fixe de fa,b et
az + b = az + b + z0 − az0 − b = a(z − z0 ) + z0
a
=
[|a|(z − z0 ) + z0 − z0 ] + z0 .
|a|
L’application h définie par h(z) = |a|(z − z0 ) + z0 est l’homothétie de centre z0 et de rapport
a
(z − z0 ) + z0 est la rotation de
strictement positif |a| et l’application r définie par r(z) =
|a|
a
centre z0 et dont la mesure de l’angle est arg
= arg a. Il est clair que fa,b = r ◦ h. Pour
|a|
établir r ◦ h = h ◦ r, montrons d’abord un lemme qui a son propre intérêt.
Lemme 12.1. Soit ρ une rotation de centre z1 , dont la mesure de l’angle est arg α et k une
homothétie de centre z2 , de rapport λ. On a ρ ◦ k = k ◦ ρ si et seulement si on est dans l’un des
cas suivants :
• z1 = z2 (ρ et k ont le même centre) ;
• α = 1 (ρ est l’application identique) ;
• λ = 1 (k est l’application identique).
Preuve. On a k(z) = λ(z − z2 ) + z2 et, en supposant |α| = 1, ρ(z) = α(z − z1 ) + z1 . L’égalité
ρ ◦ k = k ◦ ρ équivaut à :
α(λ(z − z2 ) + z2 − z1 ) + z1 = λ(α(z − z1 ) + z1 − z2 ) + z2
ce qui équivaut encore à (z1 − z2 )(λ − 1)(α − 1) = 0 d’où le résultat cherché.
Revenons à la preuve de la proposition. Le lemme entraine que h ◦ r = r ◦ h car h et r ont
le même centre.
Comme fa,b = r1 ◦ h1 = h1 ◦ r1 , h1 et r1 ont le même centre. Ce centre étant fixe par fa,b ,
c’est z0 . L’égalité fa,b = r1 ◦ h1 entraine que le rapport de h1 est |a| et donc h1 = h. L’égalité
h ◦ r = h ◦ r1 entraine r = r1 .
4. Applications
4.1. Applications aux similitudes directes d’un plan affine euclidien. On a défini
les similitudes d’un plan affine euclidien P comme étant les applications affines composées d’un
déplacement et d’une homothétie de rapport > 0. Ces similitudes sont les applications Fa,b ,
(a, b) ∈ C∗ × C, et celles qui sont distinctes d’une translation ont un unique point fixe d’affixe
b
appelé leur centre. A l’aide de la proposition 12.5, on obtient un théorème de
z0 =
1−a
décomposition de ces similitudes.
Proposition 12.6. Soit s une similitude directe d’un plan affine euclidien P de rapport
λ. Si s n’est pas une translation alors s possède un unique point fixe Ω appelé son centre.
L’application s est une rotation ou une homothétie de rapport > 0 (égal à λ) ou est composé
dans un ordre quelconque d’une rotation r de centre Ω et d’une homothétie h de centre Ω et de
rapport λ. Dans ce cas, si l’on a s = h1 ◦ r1 = r1 ◦ h1 , où h1 est une homothétie de rapport > 0
et r1 une rotation alors r = r1 et h = h1 .
L’angle de la rotation r de la proposition précédente est appelé l’angle de la similitude
s. Si le plan est orienté et si le repère (O, ~u, ~v ) est direct alors la mesure de l’angle de s = Fa,b
4. APPLICATIONS
133
est arg a. Notons qu’une similitude directe, qui n’est pas une translation, est entièrement
déterminée par son rapport, son centre et son angle.
Remarque. Soit h une homothétie de rapport λ et de centre Ω. La transformation h est
une similitude directe mais, avec notre termininologie, son rapport de similitude est |λ| et, si
λ < 0, sa décomposition donnée par la proposition précédente est h = h0 ◦ r = r ◦ h0 où h0 est l’
homothétie de rapport positif −λ, de centre Ω, et r la rotation de centre Ω et dont une mesure
de l’angle est π + 2πZ (r est la symétrie centrale de centre Ω).
Exercice. SoitA, B, A0 , B 0 quatre points d’un plan affine euclidien avec A 6= B et A0 6= B 0 .
Montrer qu’il existe une unique similitude directe s de P telle que s(A) = A0 et s(B) = B 0 .
Montrer que si A 6= A0 , B 6= B 0 et si s possède un centre alors c’est aussi le centre de la similitude σ telle que σ(A) = B et σ(A0 ) = B 0 .
Solution. Soit (O, ~u, ~v ) une repère orthonormé de P et a, b, a0 , b0 les affixes de A, B, A0 , B 0 . Il
existe une similitude directe s de P telle que s(A) = A0 et s(B) = B 0 si et seulement si il existe
(α, β) ∈ C∗ × C tel que fα,β (a) = a0 et fα,β (b) = b0 . On doit donc résoudre le système :
xa + y = a0
xb + y = b0
ab0 − ba0
a0 − b0
, β=
. De A0 6= B 0 ,
a−b
a−b
on déduit α 6= 0 et fα,β est l’unique similitude directe de C tel que fα,β (a) = a0 et fα,β (b) = b0 .
Il en résulte que s = Fα,β est l’unique similitude directe de P telle que s(A) = A0 et s(B) = B 0 .
~ 6= A~0 B 0 .
La similitude fα,β possède un point fixe si et seulement si α 6= 1 ce qui équivaut à AB
0
α
ab − ba0
Supposons cette condition réalisée. Le point fixe de fα,β est z0 =
=
.
1−β
(a − b) − (a0 − b0 )
~ 0 6= BB
~ 0 et la similitude directe σ telle que σ(A) = B et σ(A0 ) = B 0
~ 6= A~0 B 0 alors AA
Si AB
ab0 − a0 b
(on permute a0 et b dans z0 ). On a z0 = z1 et
possède un centre d’affixe z1 =
(a − a0 ) − (b − b0 )
donc s et σ ont le même centre.
Comme a 6= b, ce système possède une unique solution α =
4.2. Les similitudes indirectes (ou négatives). On a vu que les similitudes directes de
C multiplient les distances par une constante appelée leur rapport. On peut plus généralement
considérer l’ensemble S des applications f de C dans C pour lesquelles il existe une constante
k > 0 (dépendant de f ) telle que
|f (z) − f (z 0 )| = k|z − z 0 |.
On a Sim+ (C) ⊂ S. Soit f un élément de S. L’application g = f ◦ f 1 ,0 est une isométrie
k
affine donc f = g ◦ fk,0 est une application affine. On distingue deux cas suivant la nature de
l’isométrie g.
• g est un déplacement et f = g ◦ fk,0 entraine que f est une similitude directe. Il existe
(a, b) ∈ C∗ × C tel que f = fa,b .
• g est un antidéplacement. Soit γ l’application de C dans C définie par γ(z) = z. On
sait que γ est la réflexion par rapport à l’axe réel. L’application g ◦ γ est donc un
déplacement: il existe (a, b) ∈ C∗ × C avec |a| = 1 tel que g ◦ γ(z) = az + b d’où
g(z) = az + b. Finalement f (z) = g ◦ fk,0 (z) = akz + b. L’application f est donc du
134
12. TRANSFORMATIONS z → az + b, a 6= 0. APPLICATIONS
type z → αz + β avec (α, β) ∈ C∗ × C. Comme il est clair que toute application de ce
type est dans S, on a montré :
S = {z → az + b|(a, b) ∈ C∗ × C} ∪ {z → az + b|(a, b) ∈ C∗ × C}.
Cette étude nous conduit à la définition suivante.
Définition 12.2. On appelle similitude indirecte d’un espace affine euclidien E toute application de E dans E composée d’un antidéplacement et d’une homothétie de rapport > 0.
On désigne par Sim− (E) l’ensemble des similitudes indirectes de E et on pose Sim(E) =
Sim+ (E) ∪ Sim− (E). Un élément de Sim(E) est appelé une similitude de E. C’est une
application affine composée d’une isométrie affine et d’une homothétie de rapport > 0.
A partir de l’étude précédente on voit que S = Sim(C) et Sim− (C) = {z → az + b|(a, b) ∈
∗
C × C}.
Remarque. Il y a d’autres définitions équivalentes des similitudes d’un espace affine euclidien E. On peut dire que ce sont les applications f : E → E pour lesquelles il existe k > 0
vérifiant, pour tout (M, N ) ∈ E 2 , ||f (M ~)f (N )|| = k||M~N ||. On peut aussi dire que ce sont les
||f (A)f (B)||
||f (C)f (D)||
applications f : E → E qui conservent le rapport des distances :
=
||AB||
||CD|
pour tous points A, B, C, D avec A 6= B et C 6= D. Dans le cas d’un plan affine euclidien,
les similitudes directes peuvent alors être définies comme étant celles qui en plus conservent les
angles orientés de vecteurs.
Exercice. SoitA, B, A0 , B 0 quatre points d’un plan affine euclidien avec A 6= B et A0 6= B 0 .
Montrer qu’il existe une unique similitude indirecte s de P telle que s(A) = A0 et s(B) = B 0 .
5. Compléments
5.1. Etude des applications ga,b : z 7→ az + b, a 6= 0.. Dans ce paragraphe on suppose
connu les déplacements et les antidéplacements d’un plan affine euclidien et donc en particulier
de C.
Toute application ga,b est une bijection affine composée d’un antidéplacement et d’une homothéties de rapprt positif. Plus précisément, l’application ga,b est composée des quatre applia
z, γ : z 7→ z et tb : z 7→ z + b.
cations g1 : z 7→ |a|z, g2 : z 7→
|a|
→(z) = az et −
→ = g ◦ g ◦ γ. L’application g ◦ γ, composée d’une rotation et d’une
On a −
ga,b
ga,b
1
2
2
→
−
→ par rapport à une droite ∆. Posons a = eiθ . La mesure de l ’angle
symétrie, est la symétrie s−
∆
→
−
θ
de ∆ avec l’axe réel, qui est aussi l’axe de la symétrie γ, est + πZ 1.
2
→ = g1 ◦ g2 ◦ γ est donc composée dans un ordre quelconque de l’homothétie
L’application g−
a,b
−→
de rapport |a| et de la symétrie −
s→
∆ . Cela termine l’étude si b = 0 car alors ga,b = ga,b .
Pour pousuivre l’étude dans le cas général et la ramener au cas b = 0, cherchons les points
fixes de ga,b . Le point z0 est fixe si et seulement si az0 + b = z0 ce qui équivaut à az0 + b = z0
1Soit s et s 0 deux symétries par rapport aux droites D et D 0 . Si mes(D,
\
D0 ) = α + πZ, α 6∈ πZ, alors
D
D
le composé r = sD ◦ sD0 est une rotation dont la mesure de l’angle est 2α + 2πZ. Remarquons que l’on a aussi
sD = r ◦ sD0 .
5. COMPLÉMENTS
135
et az0 + b = z0 . En multipliant cette dernière égalité par a, on a
(1 − |a|2 )z0 = b + ab
d’où les deux cas :
b + ab
et on vérifie que z0 est bien un point fixe. L’application
1 − |a|2
ga,b possède un unique point fixe z0 .
• |a| = 1. Si b + ab 6= 0 alors ga,b ne possède aucun point fixe et si b + ab = 0 alors
• |a| 6= 1. On a z0 =
b
b
ab + b b
b
ga,b ( ) = a + b =
+ =
2
2
2
2
2
b
est donc un point fixe. On verra qu’il n’est pas unique.
2
Dans les deux cas où ga,b possède un point fixe z0 alors ga,b − z0 = a(z − z0 ). Si l’on prend pour
nouvelle origine du repère le point z0 alors, par rapport à ce nouveau repére, ga,b s’interprète
géométriquement 2 par la composition de l’homothétie de centre z0 et de rapport |a| avec la
→
−
symétrie par rapport à la droite passant par z0 et parallèle à ∆.
Si |a| = 1 et ab + b 6= 0 alors ga,b est une isométrie négative sans point fixe. C’est donc
une pseudosymétrie qui se décompose sous la forme sD ◦ tc = tc ◦ sD où sD est une réflexion
par rapport à une droite D et tc est une translation, le vecteur de translation appartenant à la
→ = s−
→ et la direction de D est
direction de l’axe de la réflexion. Dans le cas |a| = 1, on a −
ga,b
∆
→
−
b
b
b
donc ∆ . On a ga,b (0) = b et donc ∈ ∆ (Faire une figure). Il en résulte que ga,b ( ) = + c
2
2
2
b
ab + b
b
.
c’est-à-dire a + b = + c d’où c =
2
2
2
Résumons cela dans une proposition.
et z0 =
Proposition 12.7. Soit ga,b , 0 6= a = eiθ , l’application de C dans C définie par
ga,b (z) = az + b.
Cette application est une similitude indirecte du plan affine euclidien C dont la décomposition
canonique dépend de |a| et ab + b.
• |a| =
6 1 . L’application ga,b multiplie des distances par |a| et possède un unique point
ab + b
. Elle est composée de l’homothétie de centre z0 et de rapport 1 − |a|2
1 − |a|2
b
avec la reflexion dont l’axe est la droite ∆ passant par le point et faisant avec l’axe
2
θ
réel un angle de mesure + πZ.
2
• |a| = 1 . L’application ga,b est un antidéplacement.
fixe z0 =
2Lorsque l’on interprète géométriquement les nombres complexes par des points d’un plan affine euclidien P
cette interprétation est liée au choix d’un repère de P . En particulier si P = C et si on considère le repère (z0 , 1, i)
alors l’affixe d’un point z est z − z0 et l’image du nombre complexe z est z + z0 . Il n’y a que lorsque z0 = 0 que
l’affixe et l’image coı̈ncident.
12. TRANSFORMATIONS z → az + b, a 6= 0. APPLICATIONS
136
– ab + b 6= 0. L’application ga,b ne possède aucun point fixe et est la pseudosymétrie
composée de la réflexion par rapport à la droite ∆ avec la translation définie par
ab + b
.
le vecteur
2
– ab + b = 0. L’application ga,b est la réflexion par rapport à la droite ∆.
Pour toute similitude indirecte g de C, il existe (a, b) ∈ C∗ × C tel que g(z) = az + b.
5.2. Les endomorphismes du R-espace vectoriel C. Soit f un endomorphisme du Respace vectoriel C. Comme (1, i) forme une base, l’application f est entièrement déterminée par
f (1) et f (i). Si z = x + iy, avec x, y ∈ R, alors
z+z
z−z
f (1) f (i)
f (1) f (i)
f (1) +
f (i) = (
+
)z + (
−
)z.
2
2i
2
2i
2
2i
f (1) f (i)
f (1) f (i)
+
et b =
−
(Attention ! a et b ne sont pas conjugués) alors
Si l’on pose a =
2
2i
2
2i
f (z) = az + bz
f (z) = xf (1) + yf (i) ==
On montre facilement que l’écriture précédente est unique et que toute application de la forme
z 7→ az + bz est R-linéaire.
La matrice M de l’endomorphisme f dans la base (1, i) est
<(a) + <(b) −=(a) + =(b)
M=
=(a) + =(b)
<(a) − <(b)
Il en résulte que la trace de f est T r(f ) = 2<(a) = a + a et le déterminant de f est
det(f ) = (<(a) + <(b))(<(a) − <(b)) + (=(a) − =(b))(=(a) + =(b))
= <(a)2 + =(a)2 − <(b)2 − =(b)2 = |a|2 − |b|2 .
Soit f1 : z 7→ az et f2 : z 7→ bz. L’applications f1 est une similitude directe vectorielle,
l’application f2 est une similitude indirecte et f = f1 + f2 . Tout endomorphisme d’un plan
euclidien est donc la somme d’une similitude directe et d’une similitude indirecte.
Si l’on considère maintenant la structure de plan affine euclidien sur C alors, pour toute
application affine g de C dans C, il existe a, b, c uniques tels que
g(z) = az + bz + c .
Remarques.
1) Il ne faut pas confondre les endomorphismes du R-espace vectoriel C et ceux du C-espace
vectoriel C. Ce dernier étant de dimension 1, ses endomorphismes sont les applications z 7→ az,
a ∈ C.
2) Les formes linéaires sur le R-espace vectoriel C sont les combinaisons linéaires à coefficients
dans R des deux formes z 7→ <(z) et z 7→ =(z) qui constituent une base du dual de C (Ce sont
les formes coordonnées.). Si f est une forme linéaire, il existe donc λ, µ ∈ R tels que
f (z) = λ<(z) + µ=(z) = λ
Si l’on pose α =
z+z
z−z
λ
µ
λ
µ
+µ
= ( + )z + ( − )z.
2
2i
2 2i
2 2i
µ
λ
+
on a :
2 2i
f (z) = αz + α z =< α|z > .
5. COMPLÉMENTS
137
(Cette formule est évidente si on connait l’expression générale d’une forme linéaire sur un espace
euclidien.)
Toute application de ce type est une forme linéaire et cette formule est évidemment à rapprocher de l’équation complexe d’une droite.
138
12. TRANSFORMATIONS z → az + b, a 6= 0. APPLICATIONS