Chap 6 Trigonométrie

Chap 6 Trigonométrie
I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
1. Vocabulaire du triangle rectangle
Considérons le triangle ABC rectangle en A.
Angles :
BAC
(ou juste
A
s'il n'y a pas de confusion possible) est un angle droit.
B
et
C
sont des angles :
•aigus : leur mesure est inférieur à 90°.
•complémentaires : leur somme vaut 90°.
Côtés :
[BC] est l'hypoténuse.
[AB] est le côté :
•adjacent à l'angle
B
.
•opposé à l'angle
C
.
[AC] est le côté :
•adjacent à l'angle
C
.
•opposé à l'angle
B
.
2. Formules
définitions : Dans un triangle rectangle :
• le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet
angle par la longueur de l'hypoténuse.
• le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle
par la longueur de l'hypoténuse.
• la tangente d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur de son côté adjacent.
Reprenons notre triangle ABC rectangle en A.
L'angle
B
est aigu, son côté adjacent est [AB] et son côté opposé est [AC].
On peut donc noter :
cosinus :
cos B = AB
BC
sinus :
sin B = AC
BC
tangente :
tan B = AC
AB

Retrouver les formules associées à l'angle
C
:
cosinus :
cos C = .....
.....
sinus :
sin C = .....
.....
tangente :
tan C = .....
.....
Remarques :
•Le cosinus, le sinus et la tangente ne dépendent que de la mesure de l'angle.
•Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours des nombres compris entre 0 et 1 (car
l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle).
•La tangente d'un angle aigu est toujours un nombre positif (peut être plus grand que 1).
Pour mémoriser les formules, il existe un moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
II. Applications
1. Calcul de longueurs
On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données.
Le triangle IJK est rectangle en I tel que :
IK = 4 cm et
IKJ =35 °
1. Calculer la longueur IJ (arrondie au millimètre près).
Dans le triangle IKJ rectangle en I, on a :
tan IKJ = IJ
IK
soit
tan35° = IJ
4
IJ =4×tan35 °
Donc,
IJ ≈2,8 cm
2. Calculer la longueur KJ (arrondie au millimètre près).
Dans le triangle IKJ rectangle en I, on a :
cos IKJ = IK
KJ
soit
cos35° = 4
KJ
KJ ×cos35° = 4
KJ =4
cos35°
Donc,
KJ ≈4,9 cm

3. Calculer la longueur IL (arrondie au millimètre près).
Dans le triangle IKL rectangle en L, on a :
sin IKL = IL
IK
soit
sin35 ° = IL
4
IL =4×sin 35 °
Donc,
IL ≈2,3 cm
2. Calcul d'angles
On a trois formules possibles, il faut donc choisir la bonne en fonction des données.
exemple 1 :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
cos ABC = AB
BC
soit
cos ABC = 3,2
5,6
Donc,
ABC =cos−1
3,2
5,6
≈55°
exemple 2 :
Dans le triangle DEF rectangle en E, on a :
sin FDE = EF
DF
soit
sin FDE = 2,3
4,8
Donc,
FDE =sin−1
2,3
4,8
≈29°
exemple 3 :
Dans le triangle IJK rectangle en K, on a :
tan KIJ = KJ
KI
soit
tan KIJ = 5,1
7,9
Donc,
KIJ =tan−1
5,1
7,9
≈33°
III. Formules de trigonométrie
propriété : Pour tout angle aigu
X
, on a :
cos X2 sin X2=1
(propriété des carrés)
tan X=sin
X
cos X
(propriété de la tangente)
démonstration :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
cos B = AB
BC
sin B = AC
BC
tan B = AC
AB

1. propriété des carrés :
On a donc :
cos B2 sin B2=
AB
BC
2
AC
BC
2
=AB2
BC2AC2 BC2=AB2AC2 BC2
Or, dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AB2AC2=BC2
On en déduit :
cos B2 sin B2=AB2AC2
BC2=BC2 BC2=1
2. propriété de la tangente :
On a alors :
sin B
cos B=
AC
BC
AB
BC
=AC
BC ÷AB BC =AC BC ×BC AB =AC AB =tan
B
exemple :
Le cosinus d'un angle aigu
A
est égal à 0,6. Calculons le sinus et la tangente de
A
sans
calculer sa valeur en degré.
D'après la propriété des carrés, on a :
cos A2 sin A2=1
Donc :
0,62 sin A2=1
0,36  sin A2=1
sin A2=1−0,36 =0,64
et donc
sin A= 0,64 =0,8
D'après la propriété de la tangente, on a :
tan A=sin
A
cos A=0,8 0,6 =8 6=4 3