Victor Bonjour 09/06/2012 Table des matières Généralités...............................................................................................................2 Triangles...............................................................................................................2 Fractions...............................................................................................................3 Puissances............................................................................................................3 Bases d'algèbre....................................................................................................3 PPMC & PGDC.......................................................................................................4 Angles..................................................................................................................5 Division de polynômes.........................................................................................5 Fonctions..................................................................................................................6 Fonctions affines..................................................................................................6 Fonctions quadratiques........................................................................................7 Recherche des valeurs d'une fonction..................................................................8 Fonctions croissantes, décroissantes et constantes.............................................8 Fonctions paires et impaires................................................................................ 9 Fonctions réciproques..........................................................................................9 Optimisation.......................................................................................................10 Fonctions rationnelles........................................................................................10 Équations & inéquations........................................................................................12 Équations...........................................................................................................12 Inéquations........................................................................................................12 Équation d'un cercle...........................................................................................13 Familles d'équations...........................................................................................14 Solutions rationnelles d'une équation de degré quelconque..............................15 Trigonométrie.........................................................................................................16 Bases..................................................................................................................16 Le cercle trigonométrique..................................................................................17 Modificateurs de fonctions.................................................................................18 Théorème du sinus / cosinus..............................................................................18 Systèmes d'équations trigonométriques............................................................19 Géométrie vectorielle............................................................................................19 1/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Généralités Triangles Vocabulaire du triangle Hauteur : droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Médiatrice : droite coupant un côté en deux parties égales et perpendiculaire à celui-ci. Médiane : droite passant par un sommet et coupant le côté opposé en 2 parties égales. Bissectrice : droite coupant un angle en 2 parties égales. Le cercle circonscrit au triangle est centré sur l'intersection des médiatrices. Le cercle inscrit dans le triangle est centré sur l'intersection des bissectrices. Trigonométrie dans le triangle rectangle Dans tout triangle rectangle : sin a = op/hyp cos a = adj/hyp tan a = op/adj Nommer les sommets Nommer l'angle droit, puis répartir les lettres suivantes dans la séquence à la suite dans le sens antihoraire. Théorème de Thalès FC FB BC = = FM FA AM Généralités 2/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Fractions Multiplications Il est possible de simplifier la multiplication en divisant par paire un numérateur et un dénominateur par le même nombre : 3 5 10 3 1 10 ⋅ ⋅ → ⋅ ⋅ 4 9 15 4 9 3 Puissances Transformation d'une puissance rationnelle en racine m n m a n =( √n a ) =√ a m Multiplication de puissances rationnelles 3 1 3 4 4⋅4 4 =4 4 + 1 4 =4 1=4 Puissances négatives −3 a = 1 a3 racines √( 22⋅2 2)=2⋅2=4 √3 (26)= √3 (2 2)3=22=4 Bases d'algèbre Monômes Exemples : 1, π , 4x2 ,−3x y 3 z coefficient ^ ^ partie littérale Polynômes Ce sont des additions ou soustractions de monômes. Exemple : 3 2 x − x y+ z Monômes semblables 2 monômes sont semblables s'ils ont la même partie littérale. Exemple : 2 −4x yz et 2 25x yz sont semblables. −4x 2 y 2 z Et 25x 2 yz ne sont pas semblables. Généralités 3/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Addition et soustraction de monômes Possible uniquement avec des monômes semblables. Exemple : 2x 2−3x+4−(3x 2+5x−4) Factorisation de polynômes Par mise en évidence : 3x²+9xy=3x (x+3y ) Par identité remarquable : d⁴−e⁴=(d² )²−( e²) ²=(d² −e² )(d² +e² )=(d −e)( d +e)(d² +e² ) Par regroupement : 50x²−18y²+3y−5x = 2(25x²−9y²)+3y−5x = 2(5x−3y)(5x+3y )−1(5x−3y) = (5x−3y)[2(5x+3y )−1] = (5x−3y)(10x+6y−1) PPMC & PGDC Décomposer un nombre Diviser le nombre par le plus grand nombre premier possible jusqu'à arriver à 1. Par ex. 150 : Deuxième ex. 1485 : 150 5 1485 11 30 5 135 5 6 3 27 3 2 2 9 3 3 3 1 1 150=2⋅3⋅5 2 1485=33⋅5⋅11 Pour obtenir le PPMC, multiplier tous les facteurs, en conservant uniquement la plus haute puissance de chaque nombre : PPMC (150 ; 1485)=2⋅33⋅52⋅11 Pour obtenir le PGDC, multiplier uniquement les facteurs présents dans tous les partis, en conservant les puissances les plus petites. PPDC (150 ; 1485)=3⋅5 Généralités 4/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Angles 4 ° 20' 15 ' ' 1° =60 ' x=20 ° 1 1 ⇒ x= ⋅20 ⇒ x = 60 3 Division de polynômes f (x ) p(x) … ... q (x ) N 20°W r ( x) ⚠ les monômes de f(x) et p(x) doivent apparaître dans l'ordre décroissant. f ( x )= p ( x )⋅q ( x )+r (x )⇒ f (x) r (x ) =q (x)+ p( x) p( x) Exemple : 3 2 x + x +x+1 −x 3−2x 2+4x 2 x +2x−4 x−1 2 −x +5x+1 2 x +2x−4 Reste = 3 7x−3 2 ⇒ x +x + x+1= x−1+ 7x−3 x +2x−4 2 Théorème du reste Si un polynôme f(x) est divisé par x-c, alors le reste est de f(c). Théorème du diviseur Un polynôme f(x) a un diviseur (c-à-d sans reste) x-c si et seulement si f(c) = 0. Généralités 5/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Fonctions Fonctions affines Elles peuvent être représentées sous 3 formes : graphique, expression fonctionnelle, tableau de nombres : 1 y= x+1 2 Définition x y -2 0 -1 3/2 0 1 1 3/2 2 2 y=mx+b m = pente b = ordonnée à l'origine si f est croissante : m= v h si f est décroissante : v m=−( ) h Tracer facilement une droite Placer le 1er point sur (0, b). Avancer de h sur l'axe des abscisses, et de v sur l'axe des ordonnées. Placer le 2ème point. Calculer la distance entre 2 points d ( A , B)=√( x 2− x1 )2+( y 2− y 1) 2 Calculer la pente d'une droite à partir de 2 points m= y b− y a x b− x a Calculer l'ordonnée à l'origine à partir d'1 point et de la pente Remplacer x et y par des valeurs connues. Par ex : 3 3 y= x+b → 2= −3+b 4 4 Fonctions 6/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Calculer le milieu d'une droite à partir de 2 points A( x a ; y a ) ; B( x b ; y b) M( x a+ xb y a+ yb ; ) 2 2 Déterminer si 2 droites sont parallèles ou perpendiculaires f1 (x )=m1⋅x+b f2 ( x)=m2⋅x+c m1=m 2 ⇔ f1( x)∥ f2(x ) m1⋅m2 =−1 ⇔ f1( x )⊥ f2( x ) Fonctions quadratiques Elles peuvent être représentées de différentes manières : y= f ( x ) y=ax 2+bx+c y=( x−x 1 )(x− x 2) 2 y=a ( x−x s) + y s y=a ( x−h)2+k ^ équation standard de la parabole c : ordonnée à l'origine si a > 0 : ‿ elle est convexe si a < 0 : ⁀ elle est concave Sommet de la parabole : −b xs = 2a ys= f ( xs) Zéros de f(x) Résoudre en fonction de x lorsque : f (x )=0 ⇒ ax²+bx+c=0 Déterminer la distance entre une parabole et une droite Si le sommet de la parabole est plus bas que la droite, soustraire la parabole à la droite. d ( x)= y f − y g d ( x)= f ( x)−g (x ) La distance maximale est le sommet de d(x). Méthodes de factorisation Méthode générale : ax² +bx+c=a (x− Fonctions −b+ √ Δ −b− √Δ )( x− ) 2a 2a 7/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Méthode simple : Commencer par calculer si le déterminant est supérieur ou égal à 0, puis mettre en évidence ce qui peut l'être. Trouver ensuite par essais successifs 2 nombres dont la somme est égale à -S et dont le produit est égal à P. ( x−x 1)( x−x 2 )=x² −Sx+P −S =( x 1+x 2 ) P=x 1 x 2 Recherche des valeurs d'une fonction Ensemble des définitions ⚠ 4+x g ( x)= √ x−1 x≠1 et 4+ y≥0 car c'est une racine carrée. ⇒ x≥−4 Donner maintenant toutes les valeurs de x possibles, en tenant compte des conditions : ED (g )=[−4 ; 1[∪]1 ;+∞[ Ensemble image g ( x)= √1− x ⚠ 2 1−x 2≥0 car c'est une racine carrée ⇒(1−x )(1+ x)≥0 −∞ 1−x 2 −1 − 1 + ∞ − En observant le tableau, nous pouvons donner l'ensemble des définitions : ED (g )=[−1 ; 1 ] A partir de cela, nous pouvons dessiner un graphique qui nous donnera l'ensemble image : IM( g)=[ 0 ; 1 ] Fonctions croissantes, décroissantes et constantes Croissante f (x 1)< f ( x 2 ) x 1<x 2 Décroissante f (x 1)< f ( x 2 ) x 1>x 2 Constante f (x 1)= f ( x 2 ) Fonctions 8/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Fonctions paires et impaires Paire f (−x)= f (x) 4 Ex. : 2 f (x )=x +x +2 4 2 4 2 f (−x)=(−x ) +(−x) +2= x + x +2= f ( x ) fonction paire Impaire f ( x )=− f (−x) 3 f ( x )=x − x Ex. : f (−x)=(−x )3−(−x )=−x 3+x=−( x 3−x ) ⇒ f (−x )=− f (x)⇒ f ( x)=− f (−x) Ni paire ni impaire 2 Ex. : f ( x )=x +x+2 2 2 f (−x)=(−x ) +(−x)+2= x −x+2 fonction impaire Fonctions réciproques Une fonction est bijective si elle n'a qu'une seule valeur de x pour une valeur de y. Une fonction n'a une réciproque que si elle est bijective. f −1( x) est la réciproque de f ( x ) Test de la droite horizontale Une fonction n'est bijective que si, lorsqu'on trace une droite horizontale, il n'y a qu'un point de contact avec celleci. Fonctions 9/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Optimisation 1) Définir 2 mesures, x et y 2) Exprimer la qt à maximiser en fonction de x et y 3) Exprimer la contrainte avec x et y 4) Transformer la contrainte en une fonction de x puis l'injecter dans (2) 5) Calculer le sommet de cette équation. Fonctions rationnelles Procédure 1) Factoriser 2) ED(F) = ? 3) Intersections avec Ox ⇒ f ( x)=0 4) Intersections avec Oy ⇒ f (0)=? 5) Tableau de signes 6) AV (valeurs interdites) + donner l'équation 7) AH/AO + donner l'équation 8) Intersections avec AH/AO Asymptote verticale Lorsque -2 est une valeur interdite : lim f ( x)=−∞ x→−2 et < lim f ( x)=+∞ x→−2 > Asymptote horizontale f (x )= a xn k bx Si n < k, alors Ox est l'asymptote horizontale. Si n = k, alors la droite y= a est l'asymptote horizontale. b Si n > k, alors il n'y a pas d'asymptote horizontale. Donc : lim f ( x)=+∞ et lim f ( x)=−∞ x→+∞ Fonctions 10/20 x→−∞ Victor Bonjour 09/06/2012 Asymptote oblique n f ( x )= x xk Si n = k + 1, alors f(x) admet une asymptote oblique. Pour trouver son équation, il faut diviser le numérateur de notre fonction par son dénominateur. L'expression résultante q(x) est celle de l'asymptote oblique ; l'autre est l'expression de la distance entre l'asymptote et la fonction. f ( x) r ( x) =q( x )+ p (x ) p(x) Pour trouver les points d'intersection entre les deux courbes, résoudre r (x) =0 p( x) Trou Lorsque la fonction peut être simplifiée et que le dénominateur perd un zéro, il y a un trou. Les coordonnées du trou sont ( x ; f (x )) , x étant la valeur qui aurait annulé le dénominateur. Le trou est représenté sur la graphique par un petit cercle. ⚠ une fois la fonction simplifiée, ne plus utiliser nul part la fonction d'origine ! Fonctions 11/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Équations & inéquations Équations Valeurs absolues Isoler l'expression, puis donner les deux valeurs possibles de l'autre membre. ∣x−3∣+5=0 ∣x−3∣=−5 x−3=±5 Racines Isoler la racine, puis tout élever au carré. Systèmes d'équations Ils peuvent être résolues par substitution ou par combinaisons linéaires (matrices). Inéquations ⚠ multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le signe d'inégalité ! x>4 ⇒ S =]4 ;+∞ [ x≥4 ⇒ S =[ 4 ;+∞ [ Valeurs absolues ∣a∣<b ⇒−b<a<b ∣a∣>b ⇒ a>b OU a<−b Donc : ∣x−3∣<0.5 −0.5<x −3<0.5 2.5<x<3.5 Programmation linéaire Définir les inconnues : x : nombre d'unités X produites y : nombre d'unités Y produites Établir les contraintes, puis les exprimer en fonction de y (ou de x) : { 3 3x+2y≤24 y≤− x+12 2 ⇒ x+ y≤9 y≤−x +9 x≥0 x ≥0 { Tracer le polygone des solutions. Équations & inéquations 12/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Établir la formule d'évalutation (ex : calcul du prix) : P=500 x+35y ⇒ y=− 10 P x− 7 350 Deux chemins possibles : substituer les valeurs de x y et probables dans la 1ère équation et choisir la meilleure solution, ou tracer la droite de la 2ème équation en choisissant un P au hasard et choisir le point passant sur la droite ayant l'ordonnée à l'origine la plus grande (ou petite) possible. Inéquations rationnelles x 2−x −2 ≤0 x 2−25 Factoriser le numérateur et le dénominateur : ( x−2)( x+1) ≤0 ( x+5)( x−5) ⚠ x≠5 ET x≠−5 Établir un tableau de signes : −∞ −5 −1 2 5 +∞ (x−2)(x+1) + + − + + (x+5)(x −5) + − − − + ( x−2)( x+1) ( x+5)( x−5) + − + − + Donner l'ensemble des solutions : S =]−5 ;−1 ]∪[ 2 ; 5[ Équation d'un cercle 2 2 (x−h) +( y−k ) =r 2 Le centre du cercle est donné par Équations & inéquations (h ; k ) ⚠ dans l'équation, leur signes sont opposés ! 13/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Familles d'équations du 1er degré ( m−5) x+m−1=0 a=(m−5); b=m−1 Étudier les solutions lorsque que Si b=0 , alors : 0⋅x=0 ⇒ S =ℝ Si b≠0 , alors : 0⋅x=2 ⇒ S =∅ a=0 : ⚠ 0 =0 z Dans notre cas, la valeur de m annulant a est 5. b est donc non nul. a≠0 et lorsque S= : −b a du 2ème degré (m−1) x 2−(m−5) x+m−1=0 a=(m−1) ;b=−( m−5); c=(m−1) Calculer delta : 2 Δ=−3m −2m+21 Calculer les valeurs de m annulant Δ ' =16 Δ : 2 m1=−3 ; m2= 7 3 Calculer les valeurs de m annulant la somme des solutions : x 1+ x 2= −b m−5 = Il s'agit de 5 et 1 a m−1 ⚠ m−1≠0 Calculer les valeurs de m annulant le produit des solutions : c m−1 x 1⋅x 2= = Il s'agit de 1 a m−1 Calculer les valeurs de x pour chaque valeur particulière de m (-3 ; 1 ; 7/3 ; 5) pour lesquelles Δ≥0 : m=−3 ⇒ Δ=0⇒ x= (−3)−5 −b −8 −8 ⇒ x= ⇒ x= ⇒ x= ⇒ x =1 2a 2(−3)−2 −6−2 −8 m=1 ⇒(1−1) x 2−(1−5) x +1−1=0 ⇒ 4x=0 ⇒ x=0 7 7 15 −5 − 7 3 3 3 −8 m= ⇒ Δ=0 ⇒ x= ⇒ x= ⇒ x= ⇒ x =−1 3 7 14 6 8 2 −2 − 3 3 3 Équations & inéquations 14/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Établir un tableau de signes : −∞ −3 1 7/3 5 +∞ m-5 − − − − + m-1 − − + + + Δ − + + − − + + − − + + + + + + S =∅ x1 , x2 ∈ℝ+¿ x1 , x2 ∈ℝ−¿ x 1 + x 2= x 1⋅x 2= m−5 m−1 m−1 m−1 S =1 S =0 S =∅ S =−1 Raccourcis x 1⋅x 2 =0 ⇒ x 1=0⇒ x 2= x 1+x 2 Solutions rationnelles d'une équation de degré quelconque Avant d'utiliser cette technique, il faut essayer de factoriser l'expression au maximum par les méthodes conventionnelles. 4 2 3x +14x −8x−8=0 Choix pour le numérateur c (ie. facteur entier de -8, le terme constant) ±1 ;±2 ;±4 ;±8 Choix pour le dénominateur d (ie. facteur entier de 3, le coefficient du terme dominant) ±1 ;±3 Choix pour c d 1 2 4 8 ±1 ;±2 ;±4 ;±8 ;± ;± ;± ;± 3 3 3 3 Par essais successifs, déterminer une solution s de l'équation, puis diviser le membre de gauche de l'équation d'origine par x−s . Dans notre cas, une première solution est -2, nous divisons donc l'équation par jamais de reste. Après division, l'équation devient x+2 . Il n'y a (x+2)(3x3 +8x2 −2x−4) Les autres solutions de l'équation doivent être des zéros du second facteur, on peut donc oublier le choix ±8 pour c. Continuer ainsi le plus loin possible. Équations & inéquations 15/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Trigonométrie Bases L'angle de référence (angle aigu formé entre le coté final et l'axe x) n'est pas un angle orienté. Radians en degrés 180 α d = π ⋅αr Degrés en radians α r= π ⋅α d 180 Complémentarité α+β=90 ° Supplémentarité α+β=180 ° Valeurs particulières de fonctions trigonométriques Θ sin θ cos θ Équivalence tan θ 360 °=2 π 0° 0 1 0 30° 1 2 √3 √3 2 3 45° √2 √2 2 2 1 60° √3 2 1 2 √3 90° 1 0 indéfini 180 °=π 90 °= π 2 60 °= π 3 45 ° = π 4 30 °= π 6 Identités Une équation est une identité si, par transformations successives des membres de droite et de gauche, on montre que les deux membres sont identiques. sin θ cos θ ● tan θ= ● sin θ+cos θ=1 2 2 Identités inverses ● csc θ= Trigonométrie 1 sin θ 16/20 Victor Bonjour 09/06/2012 ● secθ= 1 cos θ ● cot θ= 1 tan θ Le cercle trigonométrique Définitions des fonctions trigonométriques d'un angle quelconque ● r =√ x 21+ y 21 ● sin α= ● ● y1 r x cos α= 1 r tan α= y1 x1 Périodicité Une fonction est périodique si f ( x )= f ( x+ p) sin et cos sont des fonctions 2 π périodiques : sin(t )=sin( k 2 π+t ) cos (t)=cos(k 2 π+t) tan est une fonction π périodiques : tan (t)=tan(k π+t ) Formule des angles opposés sin(−t)=−sin (t) cos (−t )=cos (t) tan (−t)=−tan (t) Trigonométrie 17/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Modificateurs de fonctions Paramètres h( x)=a sin (bx+c)+d ∣a∣ : amplitude (distance entre 0 et un sommet) (sin et cos seulement) c : translation horizontale (négatif : vers la droite) d : translation verticale (positif : vers le haut) b : compression horizontale (> 1 : compression) ⚠ la compression est centrée sur l'axe y ! Période Pour sin et cos : P= Pour tan : 2π ∣b∣ P= π ∣b∣ Déphasage déphasage :− c b Début de la période bx+c=0 −π Pour tan : bx+c= 2 Pour sin et cos : Fin de la période bx+c=2 π π Pour tan : bx+c= 2 Pour sin et cos : Théorème du sinus / cosinus Théorème du sinus a b c = = =2 r sin α sin β sin γ r : rayon du cercle circonscrit Théorème du cosinus 2 2 2 a =b +c −2 bc⋅cos α 2 2 2 b =a +c −2 ac⋅cos β c 2=a 2+b 2−2 ab⋅cos γ Trigonométrie 18/20 Victor Bonjour 09/06/2012 Systèmes d'équations trigonométriques { sin (2 α)= 1 2 cos α>0 0≤α<2 π Procédure 1. Poser les séries de solution et simplifier. ⚠ tan (x ) n'a qu'une seule série de solutions. 2. Calculer la valeur de chaque angle compris dans l'interval. 3. Éliminer les solutions ne répondant pas au critère (mauvais quadrant). 4. Donner l'ensemble des solutions. Géométrie vectorielle Généralités 1⃗ 1 V est valide, mais V⃗ ne l'est pas 4 4 Relations de Chasles Dans un triangle ABC : ⃗ BC ⃗ = AC ⃗ AB+ ⃗ AC ⃗ − BC ⃗ → AB= ⃗ = AC ⃗ − AB ⃗ → BC Trouver les coordonnées d'un point Pour déterminer les coordonnées d'un point A inconnu, calculer parallèles, perpendiculaires, ou les intensités données. Méthode des deux chemins Recherche des composantes de Exprimer ⃗ AK ⃗ de 2 manières différentes : AK ⃗ =α AP ⃗ AK ⃗ = AB+β ⃗ ⃗ AK BC Exprimer les vecteurs utilisés en fonction de e⃗1 et e⃗2 : ⃗ AP=2 e⃗1 +e⃗2 ⃗ =−e⃗1+e⃗2 BC ⃗ e⃗1 AB= Exprimer ⃗ comme combinaisons linéaires de e⃗1 et e⃗2 : AK Géométrie vectorielle 19/20 ⃗ en utilisant les vecteurs OA Victor Bonjour 09/06/2012 ⃗ =2 α e⃗1 +α e⃗2 AK ⃗ e⃗ +β e⃗ ⃗ =(1−β) AK 1 2 Par le théorème A, le système suivant est vérifié : 2 α=1−β {α=β Par substitution : 1 1 2 α=1−α ⇒ 3 α=1⇒ α= ⇒β= 3 3 ⃗ =2⋅1 e⃗1+ 1 e⃗2 ⇒ AK ⃗ = 2 e⃗1+ 1 e⃗2 AK 3 3 3 3 Ainsi, Vecteur perpendiculaire Pour un vecteur v, il existe 2 vecteurs v' et v'' perpendiculaires de même intensité : v= x ⃗ y () ; v'= −y ⃗ x ( ) ; v ' '= y ⃗ −x ( ) v⃗⋅⃗v ' =0 ⇒ ⃗v ⊥ v⃗ ' et v⃗⋅⃗v ' ' =0 ⇒ v⃗ ⊥ ⃗v ' ' Projection de a sur b a⋅⃗b ⃗ ⃗ =⃗ CH ⋅b ∥⃗ b∥2 a⃗⋅b⃗ ⃗ ⃗ =−⃗ BH a ⋅b ∥⃗b∥2 Vecteur unitaire 1 e⃗a = ⋅⃗ a ∥⃗ a∥ Lorsque l'on connaît la norme d'un vecteur ainsi qu'un vecteur unitaire de même direction et sens, v =∥⃗v∥⋅e⃗v les composantes du vecteur peuvent être calculées : ⃗ Produit scalaire a⋅⃗ ⃗ b=∥⃗ a∥⋅∥⃗ b∥⋅cos ϕ a⋅⃗ b= ⃗ (aa )⋅( bb )=a b +a b 1 1 2 2 1 1 2 2 Il est ainsi possible de déterminer l'angle entre 2 vecteurs. ⚠ l'angle trouvé est celui des 2 vecteurs ayant la même origine (comme sur schéma ci-dessus) Géométrie vectorielle 20/20