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CCP Physique 1 PC 2007 — Énoncé 1/13
Lescalculatrices sontautoris´ ees
Lesdeuxprobl` emes sont ind´ ependants.Onferal’application num´ erique chaquefoisque celaest
possible,enveillant` a pr´ eciserl’unit´ e et` a nedonnerqueleschiffres significatifsdu r´ esultat.
***
N.B.:Le candidatattacherala plusgrandeimportance ` alaclart´ e,` ala pr´ ecision et` alaconcision dela
r´ edaction.Siun candidatestamen´ e` arep´ ererce quipeut luisemblerˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il lesignalera
sur sacopie etdevra poursuivresacomposition enexpliquant les raisonsdesinitiativesqu’il a´ et´ eamen´ e` a
prendre.
***
PROBL` EMEI
JEUX D’EAU ET DE LUMI` ERE
I.1V´ erification desniveaux
eau liquide
métal
eau liquide
glace d’eau
hh’
bois
Figure I.1
-I.1.1Un glac¸on d’eausolide,`a0◦C,flottedansun verred’eau`alamˆemetemp´erature(Fi-
gureI.1`agauche).Lafontedu glac¸on s’accompagne-t-elled’unevariation du niveauhde
l’eau dansleverre ? On n´egligelamassevolumiquedel’airdevantcelledel’eau.
-I.1.2Unmorceau deboisflottedansun verred’eau(FigureI.1`adroite).Surlemorceau de
boisestpos´ee unepi`ece m´etallique.Lapi`ece m´etalliqueglisse aufond du verre.Cemouve-
ments’accompagne-t-il d’unevariation du niveauh′del’eau dansleverre ?
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CCP Physique 1 PC 2007 — Énoncé 2/13
I.2R´ efraction
D
n
n
1
2
C B A
Ecran
Figure I.2
Unsolidetransparentd’indice der´efraction n1,estplong´edansun liquidetransparentd’indice
der´efraction n2(FigureI.2).Unfaisceaulumineux,enincidence normale,vient´eclairerlesolide,et
apr`eslatravers´ee de celui-ci,illumineun ´ecransitu´esouslesolide.
-I.2.1Enreproduisantfid`element lafigure ci-dessus,tracerl’alluredu prolongementdesrayons
r´efract´esissusdeA,B,CetD,jusqu’`al’´ecran,dansle caso`ul’indice der´efraction n1est
sup´erieur `an2,puisdansle caso`ul’indice der´efraction n1est inf´erieur `an2.On netiendrapas
comptedesrayonsr´efl´echis.
En d´eduireleszonesdeplusforte etdeplusfaibleintensit´elumineusesurl’´ecran.
I.3Application
Uncollectionneurdegemmesposs`edetroispetitespierrestransparenteset incolores:unemois-
sanite,un zirconetun morceau deverre `afort indice (flint),ainsiqu’un flacon deiodurede
m´ethyl`eneliquide.Lespropri´et´esphysiquesde cesquatresubstances sontr´esum´eesdansletableau
ci-dessous:
Substance Massevolumique(kg.m−3) Indice der´efraction
Zircon 4690 1,95
Moissanite3210 2,70
Verreflint3740 1,64
Ioduredem´ethyl`ene3330 1,75
Lestroispierresont´et´einterverties,sibien queleurpropr´etairedoit conduireunes´eried’exp´e-
riencespourlesreconnaˆıtre.
-I.3.1L’immersion destroispierresdansleioduredem´ethyl`ene,permetdereconnaˆıtreimm´edia-
tement l’unedestroispierres.Laquelle ?
-I.3.2
miroir
lumière
pierres
iodure de méthylène
verre dépoli
Figure I.3
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CCP Physique 1 PC 2007 — Énoncé 3/13
aretes sombres.
contour clair,
aretes claires.
contour sombre,
Pierre numéro 1: Pierre numéro 2:
Figure I.4
Lesdeux pierresrestantes sontpos´ees surun morceau deverred´epoli,recouvertesdeiodure
dem´ethyl`ene,puis´eclair´eesdepuislehaut.Unmiroirinclin´esitu´esousleverred´epoli per-
metd’observerleverred´epoli paren dessous(FigureI.3).Lapierrenum´ero 1 estentour´ee
d’un contourbrillant,etsesarˆetesvives sontsombres.Lapierrenum´ero 2 estentour´ee d’un
contoursombre,et lesarˆetesparaissentbrillantes(FigureI.4).Identifierlespierresnum´ero 1
etnum´ero 2.
PROBL` EMEII
MESURE ET ´ ETUDEDE LAPROPAGATION DESVIBRATIONS
SISMIQUES
II.1Partiepr´ eliminaire :lemouvementpendulaire
Onconsid`ereun pendule constitu´ed’unemassemsuppos´ee ponctuelle,reli´ee au pointd’oscil-
lation Ofixe,parunetigerigidedelongueurℓetdemassen´egligeable.Lemouvementsefait dans
leplan verticalxOz(voirFigureII.1),rapport´e`aun rep`erede coordonn´eespolaires,dont l’angle
θ=0correspond `alaposition derepos,verticale,du pendule.Onsupposeraquelaforce ~ Texerc´ee
parlatigesurlamasse est toujoursdirig´ee verslepointO.Lesforcesdefrottementsontsuppos´ees
suffisammentfaiblespour ˆetren´eglig´ees.On noteragl’acc´el´eration delapesanteur.
θ
x
z
y
g
e
e
θ
r
O
Figure II.1
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CCP Physique 1 PC 2007 — Énoncé 4/13
-II.1.1Exprimer,danslerep`erede coordonn´eespolairesassoci´e au pendule(FigureII.1),la
force ~ T,denormeT,laforce depesanteur~ P,ainsiquel’acc´el´eration ~adelamasse.
-II.1.2Etablirl’´equation diff´erentielledu mouvementdu pendule,dansle casg´en´eral,puis
dansle casdesoscillationsdefaible amplitude(θ≪1radian).
-II.1.3Donnerl’expression del’´energiem´ ecaniquedu pendule.Commentpeut-on,`apartirde
l’expression del’´energiem´ecaniquedu pendule,retrouverl’´equation du mouvement?
-II.1.4Exprimerlemomentcin´etiqueσypar rapport`al’axe(Oy),orient´eparlevecteur~ey,
du pendule enmouvement.Donnerl’expression desmomentsdu poidsMOy(~ P)etdelaforce
MOy(~ T)par rapport`a cetaxe.Retrouverl’´equation du mouvement`apartirde cesexpressions.
g
x
y
θ
z
z
g
β
O
y
β
Figure II.2
-II.1.5Ons’int´eressed´esormaisaux oscillationsd’un penduledont leplan d’oscillation a´et´e
inclin´edefac¸on `a ce quel’axe(Oy)fasseun angleβ,quelconque,avec laverticale,l’axe
(Ox)restanthorizontal(FigureII.2).Latigemaintient lamassesursatrajectoireoblique,
sansexercerdefrottementappr´eciable.Laposition du pendule estexprim´ee danslerep`erede
coordonn´eespolairesdu planxOzcomme ci-dessus.Exprimer,enfonction deℓ,θ,g,β,met
dθ/dt,l’expression del’´energiem´ecaniquedu penduleinclin´e.
-II.1.6Donner,`apartirdel’expression del’´energiem´ecanique,lanouvelle´equation du mou-
vementdu pendule.
-II.1.7En d´eduirel’expression du momentMOy(~ P)delaforce depesanteurpar rapport`al’axe
derotation (Oy),orient´epar~ey.Montrerquedanslalimitedesoscillationsdefaible amplitude,
θ≪1radian,l’action delapesanteurest´equivalente`aun ressortdetorsion de constantede
raideurC,quel’on exprimera enfonction deg,β,ℓ,metθ.
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CCP Physique 1 PC 2007 — Énoncé 5/13
II.2Vibration horizontale
Pourenregistrerlesvibrationsdu sol,lesing´enieurs sismologuesontd´evelopp´edenombreux
dispositifsm´ecaniquesou ´electrom´ecaniquesappel´es sismographes(ou sismom`etres).Lebutdes
questions suivantesestd’´etudierleprincipedefonctionnementdequelques-unsde cesdispositifs.
Danstouslescas,l’appareil demesurereposesurun socle(ou support)tr`esrigide,solidairedu
solsurlequel l’appareil estpos´e.Ainsi,on peutconsid´ererquelesvibrationsdu solsont transmises
ausoclesansd´elaietsansatt´enuation.Lesoclepeutˆetre consid´er´e commeun corps solidedont le
mouvementest´etudi´edansler´ef´erentiel terrestre,assimil´e`aun r´ef´erentielgalil´een.Enl’absence de
toutevibration,lesocle estaureposdansce r´ef´erentiel.
ex
ey
dD
θ
ressort de torsion
Axe de rotation et
ez
fe
Figure II.3
Un brasestassujetti `atournerdansleplan horizontal(x,y)autourd’un axeverticalsolidaire
du socle.Laposition du brasestrep´er´ee parun angleθ.Aune extr´emit´edu bras,et`aunedistance
ddel’axe,estfix´ee unemasse´elev´ee m,suppos´ee ponctuelle.Unressortdetorsion de constante
C,exerce un coupledemoment´egal`a−Cθquiapourbutderapprocherlebrasdesaposition
d’´equilibreθ=0,tandisqu’un m´ecanismed’amortissementexerce surlebrasun coupledemoment
´egal`a−γdθ
dt(FigureII.3).Cetγsontdesconstantespositives.
Al’autre extr´emit´edu bras,et`adistance Ddel’axe,uneplumetrace (sansfrottementsappr´e-
ciables)un signalsurun cylindre enregistreur,sibien quel’on peutconsid´ererquelesignaldesortie
du dispositifm´ecanique est´egalau d´eplacementdel’extr´emit´edelaplume,soit s(t)=Dθ(t).Deux
but´eesempˆechent lebrasdes’´ecarterau del`ad’unevaleurlimite|θ|<θmax.
-II.2.1Alaquelledesgrandeursphysiques,vitesseou acc´el´eration du sol,un teldispositif
est-il sensible ?
-II.2.2Lesocle estsoumis`aunevibration horizontaleuniforme,maisd´ependantedu temps.
Led´eplacementdu socle estx(t)~expar rapportaur´ef´erentiel terrestre.Onseplace dansle
r´ef´erentieldu socle eton n´egligelamassedu brasdemesuredevant lamassem,suppos´ee
ponctuelle.Exprimerlaforce d’inertied’entraˆınement~ fe(t)s’appliquant`alamassem.
-II.2.3En d´eduire,toujoursdansler´ef´erentieldu socle,l’´equation diff´erentielle`alaquelleob´eit
l’angleθ.Onappliquera,dansce r´ef´erentiel,leth´eor`emedu momentcin´etique`alamassem.
-II.2.4Onserestreintd´esormais`aun d´eplacementx(t)=x0cos(Ωt)purementsinuso¨ıdal,et
on laisse ausyst`emem´ecaniqueun temps suffisantpournepasavoir `atenircomptedu r´egime
transitoire.Onsuppose´egalementquel’angleθeffectuedesoscillationsdepetite amplitude,et
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