Nouvelles fonctions usuelles - Académie de Nancy-Metz

Nouvelles fonctions usuelles
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Nouvelles fonctions usuelles
1 / 48
1
Injections, surjections, bijections
2
Fonctions trigonométriques réciproques
3
Résolution d’équations trigonométriques
4
Fonctions Hyperboliques
5
Complément de formules de trigonométrie
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Plan
1
Injections, surjections, bijections
2
Fonctions trigonométriques réciproques
3
Résolution d’équations trigonométriques
4
Fonctions Hyperboliques
5
Complément de formules de trigonométrie
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Injections
Définition
Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à
valeurs dans F . On dit que f est une injection (ou que f est injective) si et
seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est réalisée :
tout élément de F admet au plus un antécédent dans D par f .
pour tout élément y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ D
admet au plus une solution.
∀x ∈ D, ∀x 0 ∈ D, x 6= x 0 ⇒ f (x) 6= f (x 0 ) .
∀x ∈ D, ∀x 0 ∈ D, f (x) = f (x 0 ) ⇒ x = x 0 .
Exemples:
Remarque: f est une injection si et seulement si toute droite horizontale
coupe son graphe en au plus un point.
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Proposition
Soit I un intervalle de R et f une fonction réelle définie sur I .
Si f est strictement monotone sur I , alors f est une injection.
Exemple:
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Surjections
Rappel : Soit D un sous-ensemble de R. Soit f une fonction réelle définie
sur D. On appelle ensemble image de f le sous-ensemble de R, noté f (D),
constitué des images par f de tous les éléments de D :
f (D) = f (x) x ∈ D .
L’ensemble image de f est l’ensemble des éléments de R qui ont au moins
un antécédent dans D par f :
f (D) = y ∈ R ∃x ∈ D, f (x) = y .
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Définition
Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à
valeurs dans F . On dit que f est une surjection (ou que f est surjective) si
et seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
tout élément de F admet au moins un antécédent dans D par f .
pour tout élément y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ D
admet au moins une solution.
∀y ∈ F , ∃x ∈ D, f (x) = y .
f (D) = F .
Exemple:
Remarque: f est une surjection si et seulement si pour tout α ∈ F , la
droite horizontale d’équation y = α coupe le graphe de f en au moins un
point.
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Proposition
Soit D un sous-ensemble de R. Soit f une fonction réelle définie sur D.
La fonction g : D → f (D) est une surjection.
x 7→ f (x)
Exemple:
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Bijections et bijections réciproques
Définition
Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à
valeurs dans F . On dit que f est une bijection (ou que f est bijective) de
D sur F si et seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est
réalisée :
f est injective et surjective.
tout élément de F admet exactement un antécédent dans D par f .
pour tout élément y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ D
admet exactement une solution.
∀y ∈ F , ∃!x ∈ D, f (x) = y .
Exemple:
Remarque: f est une bijection si et seulement si pour tout α ∈ F , la droite
horizontale d’équation y = α coupe une et une seule fois le graphe de f .
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Définition
Soit D et F deux sous-ensembles de R et soit f une bijection de D sur F .
L’application définie sur F à valeurs dans D qui à tout élément y de F
associe l’unique antécédent de y par f (le seul x ∈ D tel que f (x) = y ) est
une bijection qu’on appelle la bijection réciproque de f , et que l’on note
f −1 .
Autrement dit, pour tout y ∈ F , le réel f −1 (y ) est l’unique élément de D
tel que
f f −1 (y ) = y
c’est-à-dire l’unique solution de l’équation f (x) = y .
Remarque:
1
2
Si f est une bijection, f −1 désigne la bijection réciproque de f et pas
la fonction 1/f .
La bijection
réciproque de f −1 est la fonction f , autrement dit
−1
f −1
=f.
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Exemples:
Remarque: Les graphes de f et f −1 sont symétriques par rapport à la
droite d’équation y = x appelée première bissectrice du plan.
Proposition
Soit D et F deux sous-ensembles de R et f une bijection de D sur F .
∀x ∈ D, f −1 f (x) = x
et
∀y ∈ F , f f −1 (y ) = y .
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Définition
Soit D et F deux sous-ensembles de R. Soit f une fonction définie sur D à
e un sous-ensemble de D et Fe un sous-ensemble de
valeurs dans F . Soit D
F.
On dit que
e
e →
f : D
x 7→
e sur Fe si et seulement si la fonction
f réalise une bijection de D
Fe
est une bijection.
f (x)
Remarque: Attention : dans la définition précédente, ce n’est pas la
fonction f qui est une bijection !
Exemples:
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Lemme
Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I .
Si f est continue sur I , alors son ensemble image f (I ) est un intervalle.
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Théorème
(Théorème de la bijection) Soit I un intervalle de R et f : I → R une
fonction réelle définie sur I .
Si f est continue et strictement monotone sur I , alors :
f (I ) est un intervalle,
la fonction f réalise une bijection de I sur f (I ), autrement dit, la
fonction e
f : I → f (I ) est une bijection,
x 7→ f (x)
la bijection réciproque
e
f −1 : f (I ) → I
y 7→ x, tel que f (x) = y
est strictement monotone sur f (I ) de même sens de variation de f , et
continue sur f (I ).
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Théorème
(Dérivabilité de la bijection réciproque) Soit I un intervalle de R, et f une
bijection continue de l’intervalle I sur l’intervalle J = f (I ). Soit x un point
de I en lequel f est dérivable.
Si f 0 (x) = 0, alors f −1 n’est pas dérivable en y = f (x) et le graphe
de f −1 présente une tangente verticale au point d’abscisse y = f (x).
0
1
Si f 0 (x) 6= 0, alors f −1 est dérivable en f (x) et f −1 f (x) = 0 .
f (x)
Exemples:
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Corollaire
Soit I et J deux intervalles de R, et f une bijection continue de I sur J.
Soit K un intervalle inclus dans I . Si f est dérivable sur K et si sa dérivée
f 0 ne s’annule pas sur K alors f −1 est dérivable sur f (K ) et pour tout
y ∈ f (K ),
0
1
f −1 (y ) = 0 −1
.
f (f (y ))
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Exercice 1
Soit f : [0, +∞[ → R
x 7→ x 2 + 1.
1 Après avoir étudié la dérivabilité de f , dresser son tableau de
variations.
2
3
Montrer que f réalise une bijection de [0, +∞[ sur [1, +∞[.
On considère la bijection e
f : [0, +∞[ → [1, +∞[ .
x 7→ x 2 + 1
1
2
3
4
5
Quels sont les intervalles de départ et d’arrivée de e
f −1 ?
−1
e
Quel est le sens de variation de f ?
Déterminer sur quel ensemble e
f −1 est dérivable. Que se passe-t-il pour
−1
e
f
au point d’abscisse 1 ?
Déterminer l’expression de e
f −1 (y ) pour tout y ∈ [1, +∞[.
−1
0
Calculer (e
f ) de deux façons.
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Proposition
Soit I1 , I2 deux intervalles de R tels que I1 ∩ I2 = ∅. Soit f : I1 ∪ I2 → R
une fonction réelle. Si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
la fonction f1 : I1 → f (I1 ) est une bijection,
x 7→ f (x)
la fonction f2 : I2 → f (I2 ) est une bijection,
x 7→ f (x)
f (I1 ) ∩ f (I2 ) = ∅,
alors la fonction e
f : I1 ∪ I2 → f (I1 ) ∪ f (I2 ) est une bijection.
x 7→ f (x)
Exemple:
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Plan
1
Injections, surjections, bijections
2
Fonctions trigonométriques réciproques
3
Résolution d’équations trigonométriques
4
Fonctions Hyperboliques
5
Complément de formules de trigonométrie
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Les fonctions arcsin et arccos
La
sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle
πfonction
− 2 , π2 . L’image par la fonction
de cet intervalle est [−1; 1]. Elle
π sinus
π
réalise donc une bijection de − 2 , 2 sur [−1; 1], on note cette fonction
f sin
f admet donc une bijection réciproque.
sin.
Définition
La fonction
arcsin est la bijection réciproque de la fonction
f : − π , π → [−1; 1] :
sin
2 2
arcsin : [−1; 1] → − π2 , π2
y → arcsin y
Pour tout y ∈ [−1, 1], arcsin y est l’unique angle de l’intervalle − π2 , π2
dont le sinus vaut y .
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Théorème
La fonction arcsin a les propriétés suivantes :
1
arcsin est continue et strictement croissante sur [−1, 1]
2
arcsin est impaire
3
Pour tout x ∈ [−π/2, π/2], on a arcsin(sin(x)) = x et pour tout
y ∈ [−1, 1], on a sin(arcsin(y )) = y .
4
La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[. Pour tout y ∈] − 1, 1[, on
a
1
arcsin0 (y ) = p
1 − y2
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Démonstration du théorème.
f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] étant continue et
La fonction sin
x 7→ sin(x)
strictement croissante, sa bijection réciproque Arcsin est aussi
continue et strictement croissante d’après le théorème de la bijection.
En tant que bijection réciproque d’une fonction impaire (la fonction
f la fonction Arcsin est impaire.
sin),
Pour tout x ∈ [−π/2, π/2], on a
f
Arcsin(sin(x)) = Arcsin(sin(x))
=x
et pour tout y ∈ [−1, 1], on a
f
y = sin(Arcsin(y
)) = sin(Arcsin(y )).
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f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] est dérivable sur [−π/2, π/2]
La fonction sin
x 7→ sin(x)
et sa dérivée est la fonction
f 0 : [−π/2, π/2] → R
sin
x 7→ cos(x).
f 0 ne s’annule que pour x = −π/2 et x = π/2.
La fonction sin
(
(
f 0 (−π/2) = 0
f 0 (π/2) = 0
sin
sin
et
f
f
sin(−π/2)
= −1 = y
sin(π/2)
=1=y
donc Arcsin n’est dérivable ni en 1, ni en −1 et son graphe présente une
tangente verticale aux points d’abscisses 1 et −1.
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f 0 (x) 6= 0 et sin(]
f − π/2, π/2[) =] − 1, 1[
Pour tout x ∈] − π/2, π/2[, sin
donc Arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[. Soit y ∈] − 1, 1[. On a
Arcsin0 (y ) =
1
1
=
.
0
f
cos(Arcsin(y
))
sin (Arcsin(y ))
Comme Arcsin(y ) ∈] − π/2, π/2[, on a cos(Arcsin(y )) > 0 donc
q
cos(Arcsin(y )) = cos(Arcsin(y )) = cos2 (Arcsin(y )).
Or cos2 (Arcsin(y )) = 1 − sin2 (Arcsin(y )) = 1 − y 2 donc
p
cos(Arcsin(y )) = 1 − y 2 .
1
Finalement, Arcsin0 (y ) = p
.
1 − y2
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La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l’intervalle
[0, π]. L’image par la fonction cosinus de cet intervalle est [−1; 1]. Elle
réalise donc une bijection de [0, π] sur [−1; 1]. Elle admet donc une
bijection réciproque.
Définition
La fonction arccos est la bijection réciproque de la fonction
f : [0, π] → [−1; 1] :
cos
arccos : [−1; 1] → [0, π]
y → arccos y
Pour tout y ∈ [−1, 1], arccos y est l’unique angle de l’intervalle [0, π] dont
le cosinus vaut y .
()
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Théorème
La fonction arccos a les propriétés suivantes :
1
arccos est continue et strictement décroissante sur [−1, 1]
2
Pour tout x ∈ [0, π], on a arccos(cos(x)) = x et pour tout
y ∈ [−1, 1], on a cos(arccos(y )) = y .
3
La fonction arccos est dérivable sur ] − 1, 1[. Pour tout y ∈] − 1, 1[,
on a
−1
arccos0 (y ) = p
1 − y2
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26 / 48
On a les graphes suivants pour les fonction Arccos et Arcsin :
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27 / 48
La fonction arctan.
La
tangent est continue et strictement croissante sur l’intervalle
πfonction
− 2 , π2 . L’image par la fonction tangente
cet
de
intervalle est R tout
π π
entier. Elle réalise donc une bijection de − 2 , 2 sur R. Elle admet donc
une bijection réciproque.
Définition
La fonction
est la bijection réciproque de la fonction
π πarctan
f
tan : − 2 , 2 → R :
arctan : R → − π2 , π2
y → arctan y
Pour tout y réel, arctan y est l’unique angle de l’intervalle − π2 , π2 dont la
tangente vaut y .
()
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Théorème
La fonction arctan a les propriétés suivantes :
1
arctan est continue et strictement croissante sur R
2
arctan est impaire.
3
La limite de la fonction arctan en +∞ est π2 , la courbe admet la
droite y = π2 comme asymptote horizontale en +∞.
4
Pour tout x ∈] − π2 , π2 [, on a arctan(tan(x)) = x.
5
Pour tout y ∈ R, on a tan(arctan(y )) = y .
6
La fonction arctan est dérivable sur R. Pour tout y ∈ R, on a
arctan0 (y ) =
()
1
1 + y2
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La fonction arctan a le graphe suivant :
()
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30 / 48
Plan
1
Injections, surjections, bijections
2
Fonctions trigonométriques réciproques
3
Résolution d’équations trigonométriques
4
Fonctions Hyperboliques
5
Complément de formules de trigonométrie
()
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31 / 48
L’équation cos(x) = a d’inconnue réelle x
On doit faire des cas selon la valeur de a :
Si a ∈
/ [−1; 1], l’équation cos(x) = a n’a pas de solution.
Si a ∈ [−1; 1], l’équation cos(x) = a a une infinité de solutions :
I
Si on connait θ tel que cos θ = a, alors l’équation peut s’écrire
cos(x) = cos θ. L’ensemble des solutions de cette équation est
x = θ + 2kπ , k ∈ Z ou x = −θ + 2kπ , k ∈ Z.
I
Sinon, on utilise θ = Arccos(a). L’ ensemble des solutions de l’équation
est alors
x = Arccos(a) + 2kπ , k ∈ Z ou x = − Arccos(a) + 2kπ , k ∈ Z.
Remarque: En particulier,
cos(x) = cos(y )
⇐⇒
∃k ∈ Z, x = y + 2kπ ou x = −y + 2kπ .
Exemple : Résoudre sur R l’équation cos(2x) =
()
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√
3
2 .
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L’équation sin(x) = b d’inconnue réelle x
On distingue deux cas :
Si b ∈
/ [−1; 1], l’équation sin(x) = b n’a pas de solution.
Si b ∈ [−1; 1], l’équation sin(x) = b a une infinité de solutions :
I
Si on connait θ tel que sin θ = b, alors l’équation peut s’écrire
sin(x) = sin θ. L’ensemble des solutions de cette équation est
x = θ + 2kπ , k ∈ Z ou x = π − θ + 2kπ , k ∈ Z.
I
Sinon, on prend θ = Arcsin(b). L’ensemble des solutions de cette
équation peut alors s’écrire
x = Arcsin(b) + 2kπ , k ∈ Z ou x = π − Arcsin(b) + 2kπ , k ∈ Z.
Remarque: En particulier,
sin(x) = sin(y )
⇐⇒
∃k ∈ Z, x = y + 2kπ ou x = π − y + 2kπ .
Exemple: Résoudre sur R l’équation sin(π/3 − 4x) = sin(3x).
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Le système d’inconnue réelle x :
cos x = a
sin x = b
Le système ne possède pas de solution si a2 + b 2 6= 1.
Si la condition a2 + b 2 = 1 est vérifiée, le système possède une infinité
de solutions. Si on connait un angle θ particulier solution de ce
système, alors l’ensemble de ses solutions est x = θ + 2kπ, avec
k ∈ Z.
En particulier, ce système possède une unique solution dans
l’intervalle [0, 2π[.
Remarque: En particulier, pour tout x, y ∈ R, on a
cos x = cos(y )
⇐⇒
∃k ∈ Z, x = y + 2kπ.
sin x = sin(y )
()
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L’équation tan(x) = c d’inconnue réelle x
Pour tout nombre réel c, l’équation tan(x) = c a une infinité de solutions :
Si on connait θ tel que tan(θ) = c, alors l’équation devient
tan x = tan θ. L’ensemble des solutions de cette équation est
x = θ + kπ , k ∈ Z.
Sinon, on prend θ = Arctan(c), l’ensemble des solutions de cette
équation peut alors s’écrire
x = Arctan(c) + kπ , k ∈ Z.
Remarque: En particulier, pour tout x, y ∈ R r {π/2 + kπ | k ∈ Z}, on a
tan(x) = tan(y )
⇐⇒
∃k ∈ Z, x = y + kπ.
Exemple : Résoudre l’équation tan(x − π/3) = 1 en commençant par
déterminer son ensemble de définition.
()
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35 / 48
L’équation A cos(x) + B sin(x) = C où A et B sont non
nuls
Pour résoudre ce type d’équation, on commence par la transformer en une
équation de la forme
cos(x − ϕ) = a
et ainsi on est ramené au premier cas.
(On peut également la transformer en une équation du type
sin(x + ϕ) = a)
()
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Pour transformer la quantité A cos(x) + B sin(x) en une expression de la
forme r cos(x − ϕ), on effectue les étapes suivantes :
√
On factorise l’expression par r = A2 + B 2 6= 0 :
A cos(x) + B sin(x) = r (
B
A
cos(x) + sin(x)) = r (α cos(x) + β sin(x))
r
r
avec α = A/r et β = B/r ;
Puisque α2 + β 2 = 1, il existe un nombre réel ϕ tel que cos(ϕ) = α et
sin(ϕ) = β, ce qui donne
A cos(x) + B sin(x) = r (cos(ϕ) cos(x) + sin(ϕ) sin(x)) = r cos(x − ϕ).
On notera que ϕ est un argument du nombre complexe A + iB.
()
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Cette transformation permet, en physique, de déterminer l’amplitude et la
phase d’un signal de la forme A cos(x) + B sin(x) (électromagnétique,
sonore, . . . ).
√
√
Exemple: Résoudre l’équation 3 cos(x) − sin(x) = 2.
()
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38 / 48
Plan
1
Injections, surjections, bijections
2
Fonctions trigonométriques réciproques
3
Résolution d’équations trigonométriques
4
Fonctions Hyperboliques
5
Complément de formules de trigonométrie
()
Nouvelles fonctions usuelles
39 / 48
Fonctions Hyperboliques
Définition
On définit la fonction cosinus hyperbolique ch : R → R par
∀x ∈ R,
ch(x) =
e x + e −x
2
On définit la fonction sinus hyperbolique sh : R → R par
∀x ∈ R,
sh(x) =
e x − e −x
2
On définit la fonction tangente hyperbolique th : R → R par
∀x ∈ R,
()
th(x) =
sh(x)
e x − e −x
= x
ch(x)
e + e −x
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Proposition
Pour tout x réel, on a
ch(x) > 0
et
[ch(x)]2 − [sh(x)]2 = 1
Démonstration.
Remarque: Les fonction ch et sh servent à paramétrer une branche de
l’hyperbole d’équation x 2 − y 2 = 1, d’où le nom de cosinus et sinus
hyperboliques ( par analogie avec les cosinus et sinus trigonométriques, ou
fonctions circulaires, qui servent à paramétrer le cercle de centre O et de
rayon 1).
()
Nouvelles fonctions usuelles
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Etude des fonctions ch et sh
Théorème
La fonction ch est paire, continue et dérivable sur R et
∀x ∈ R,
ch0 (x) = sh(x)
La fonction sh est impaire, continue et dérivable sur R et
∀x ∈ R,
()
sh0 (x) = ch(x)
Nouvelles fonctions usuelles
42 / 48
De plus, pour tout x réél, ch(x) − sh(x) = e −x > 0, donc la courbe du
cosinus hyperpolique est au-dessus de la courbe du sinus hyperbolique, et
leur différence tend vers 0 en +∞. On obtient la représentation graphique
suivante :
()
Nouvelles fonctions usuelles
43 / 48
Etude de la fonction th
Théorème
La fonction th est impaire
La fonction th est continue et dérivable sur R et
∀x ∈ R,
th0 (x) =
1
= 1 − (th(x))2
(ch(x))2
Pour tout x ∈ R, on a −1 < th(x) < 1.
la fonction th est strictement croissante sur R, sa limite vaut 1 en
+∞.
()
Nouvelles fonctions usuelles
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La courbe représentative de la fonction tangente hyperbolique est :
()
Nouvelles fonctions usuelles
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Plan
1
Injections, surjections, bijections
2
Fonctions trigonométriques réciproques
3
Résolution d’équations trigonométriques
4
Fonctions Hyperboliques
5
Complément de formules de trigonométrie
()
Nouvelles fonctions usuelles
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Formules de trigonométrie hyperboliques
Pour tout a, b ∈ R, on a :
ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b,
ch(a − b) = ch a ch b − sh a sh b
sh(a + b) = sh a ch b + sh b ch a,
sh(a − b) = sh a ch b − sh b ch a.
()
Nouvelles fonctions usuelles
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Formule avec l’Arctan
π
1
= , ∀x > 0
x
2
1
π
arctan x + arctan = − , ∀x < 0
x
2
arctan x + arctan
()
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