L`ensemble des entiers naturels, noté É, est constitué des entiers

Arithmétique I
I. Division euclidienne
L'ensemble des entiers naturels, noté É, est constitué des entiers positifs ou nuls.
É={0;1;2;3;4;...}
L'ensemble des entiers relatifs, noté Î, est constitué des entiers positifs, négatifs ou
nuls.
Î={...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...}
Définition: Soient a et b deux entiers relatifs.
Lorsqu'il existe un entier relatif k tel que a=k×b on dit que de façon équivalente :
a est un multiple de b
b est un diviseur de a
b divise a
on note b | a
exemples :
4 divise 12 car ...
-2 divise 12 car ...
8 ne divise pas 12 car ...
Calculatrice : b divise a si et seulement si a/b est un entier relatif
Remarques
• Les seuls diviseurs de 1 sont 1 et –1.
• Si a|b et b|a , alors a = b ou a = -b
• tout entier relatif divise 0 car pour tout a☻Î, 0=0×a
Propriétés : soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Si a divise b alors pour tout entier relatif k, ka divise kb
Si a divise b et c alors a divise b+c
Si a divise b et c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c
Remarque : une combinaison linéaire de b et c est un nombre de la forme kb+k'c où k
et k' sont des entiers relatifs
Exemples :
Théorème et définition : Soit a un entier relatif et soit b un entier relatif non nul. Il
existe un unique couple (q , r) d'entiers relatifs vérifiant :
a=bq+r et 0⩽r<∣b∣ .
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer le couple (q,r)
a : dividende
b : diviseur
r : reste
q : quotient
-b
0
b
2b
Exemples :
la division euclidienne de 14 par 4 est :...
14=4×2+6 n'est pas une division euclidienne de 14
par 2 car…
La division euclidienne de 14 par -3 est :..
Calculatrice : si b>0 alors q = INT(a/b)
si b<0 alors q = - INT(-a/b)
dans tous les cas r=a-b×q
3b
4b
Division euclidienne par 4
14=3× 4+2
14
0
Application : si le 1er septembre est un mardi quel
jour de la semaine est le 30 septembre?
II. Congruences
Définition : Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel (n ≥ 2) .
On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le même reste dans la
division euclidienne par n. On note a ≡ b (n) qui se lit "a est congru à b modulo n".
Congruences modulo 4
Exemples : 618 (4) car ...
23 ≡ 38 (5) car ...
2002 ≡ 2 (10) car...
6≡ 18[4]
Application : le 4 septembre et le 25 septembre
sont-ils les mêmes jours de la semaine?
6=1×
18=4
6-18
0[4]
Théorème : Soient a et r deux entiers et soit n un entier naturel (n ≥ 2) .
a ≡ r (n) et 0Âr<n si et seulement si r est le reste de la division euclidienne de a par
n
≡
≡
exemples: 17 1 (4) ; 20 0 (4)
Remarque : a|b ñ b ≡ 0 (a)
Théorème : Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel (n ≥ 2) .
a ≡ b (n) si et seulement si a − b est un multiple de n.
Application : le 4 septembre et le 25 septembre sont-ils les mêmes jours de la semaine?
Propriétés : Soit n un entier naturel (n ≥ 2) et soient a, a', b, b', c des entiers relatifs,
alors : 1° a ≡ a (n)
2° si a ≡ b (n) , alors b ≡ a (n)
(commutativité)
3° si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) , alors a ≡ c (n) (transitivité)
a ≡ b ( n) 
4° si
 alors a + a ' ≡ b + b ' (n) et a − a ' ≡ b − b ' (n) et aa ' ≡ bb ' (n)
a ' ≡ b ' ( n) 
(compatibilité avec l’addition, la soustraction et la multiplication)
5° si a ≡ b (n) , alors pour tout p ∈ ℕ, a p ≡ b p (n).
Exemples:
donner les restes dans la division euclidienne par 3 des nombres suivants
5+2009
Pièges
Les relations de congruences se manipulant "presque" comme les égalités classiques il
faut rester vigilant sur certains points:
Résoudre dans Î : 6x ≡ 12 [3]
La relation de congruence modulo n n’est pas compatible avec la division ;
Exemple : 18 ≡ 12 (3) , mais
18 12
≡/
(3).
6
6
Résoudre dans Î : 2x ≡ 0 [6]
5×2009
Pour les congruences un produit de facteurs peut être congru à 0 sans qu'aucun
de ses facteurs ne soit congru à 0.
ab ≡ 0 ( n ) ⇒/ a ≡ 0 ( n ) ou b ≡ 0 ( n )
Exemple : 2 × 3 ≡ 0 ( 6 ) mais 2 ≡/ 0 ( 6 ) et 3 ≡/ 0 ( 6 )
Application : pour résoudre une équation modulo n il y a au plus n cas à étudier. En
effet l'inconnue a n restes possibles (0;1;…;n-1) dans la division euclidienne par n, il
suffit donc d'effectuer les opérations sur ces restes.
Résoudre -x+20 [3]
Résoudre dans É : 2 x ≡ 2 [4]
La congruence des exposants n'implique pas la congruence des puissances:
a ≡ b ( n ) ⇒/ c a ≡ c b ( n )
1
5
Exemple : 15 (4) mais 2 ≡/ 2 ( 4 )
Calculatrice :
Pour obtenir la table de multiplication de a
mod n :
a EXE
a+ANS-n×INT((a+ANS)/n)
EXE
EXE…
Pour les puissances de a mod n :
a EXE
a×ANS-n×INT((a×ANS)/n))
EXE
EXE…