Arithmétique I I. Division euclidienne L'ensemble des entiers naturels, noté É, est constitué des entiers positifs ou nuls. É={0;1;2;3;4;...} L'ensemble des entiers relatifs, noté Î, est constitué des entiers positifs, négatifs ou nuls. Î={...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} Définition: Soient a et b deux entiers relatifs. Lorsqu'il existe un entier relatif k tel que a=k×b on dit que de façon équivalente : a est un multiple de b b est un diviseur de a b divise a on note b | a exemples : 4 divise 12 car ... -2 divise 12 car ... 8 ne divise pas 12 car ... Calculatrice : b divise a si et seulement si a/b est un entier relatif Remarques • Les seuls diviseurs de 1 sont 1 et –1. • Si a|b et b|a , alors a = b ou a = -b • tout entier relatif divise 0 car pour tout a☻Î, 0=0×a Propriétés : soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise b et b divise c alors a divise c. Si a divise b alors pour tout entier relatif k, ka divise kb Si a divise b et c alors a divise b+c Si a divise b et c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c Remarque : une combinaison linéaire de b et c est un nombre de la forme kb+k'c où k et k' sont des entiers relatifs Exemples : Théorème et définition : Soit a un entier relatif et soit b un entier relatif non nul. Il existe un unique couple (q , r) d'entiers relatifs vérifiant : a=bq+r et 0⩽r<∣b∣ . Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer le couple (q,r) a : dividende b : diviseur r : reste q : quotient -b 0 b 2b Exemples : la division euclidienne de 14 par 4 est :... 14=4×2+6 n'est pas une division euclidienne de 14 par 2 car… La division euclidienne de 14 par -3 est :.. Calculatrice : si b>0 alors q = INT(a/b) si b<0 alors q = - INT(-a/b) dans tous les cas r=a-b×q 3b 4b Division euclidienne par 4 14=3× 4+2 14 0 Application : si le 1er septembre est un mardi quel jour de la semaine est le 30 septembre? II. Congruences Définition : Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel (n ≥ 2) . On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. On note a ≡ b (n) qui se lit "a est congru à b modulo n". Congruences modulo 4 Exemples : 618 (4) car ... 23 ≡ 38 (5) car ... 2002 ≡ 2 (10) car... 6≡ 18[4] Application : le 4 septembre et le 25 septembre sont-ils les mêmes jours de la semaine? 6=1× 18=4 6-18 0[4] Théorème : Soient a et r deux entiers et soit n un entier naturel (n ≥ 2) . a ≡ r (n) et 0Âr<n si et seulement si r est le reste de la division euclidienne de a par n ≡ ≡ exemples: 17 1 (4) ; 20 0 (4) Remarque : a|b ñ b ≡ 0 (a) Théorème : Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel (n ≥ 2) . a ≡ b (n) si et seulement si a − b est un multiple de n. Application : le 4 septembre et le 25 septembre sont-ils les mêmes jours de la semaine? Propriétés : Soit n un entier naturel (n ≥ 2) et soient a, a', b, b', c des entiers relatifs, alors : 1° a ≡ a (n) 2° si a ≡ b (n) , alors b ≡ a (n) (commutativité) 3° si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) , alors a ≡ c (n) (transitivité) a ≡ b ( n) 4° si alors a + a ' ≡ b + b ' (n) et a − a ' ≡ b − b ' (n) et aa ' ≡ bb ' (n) a ' ≡ b ' ( n) (compatibilité avec l’addition, la soustraction et la multiplication) 5° si a ≡ b (n) , alors pour tout p ∈ ℕ, a p ≡ b p (n). Exemples: donner les restes dans la division euclidienne par 3 des nombres suivants 5+2009 Pièges Les relations de congruences se manipulant "presque" comme les égalités classiques il faut rester vigilant sur certains points: Résoudre dans Î : 6x ≡ 12 [3] La relation de congruence modulo n n’est pas compatible avec la division ; Exemple : 18 ≡ 12 (3) , mais 18 12 ≡/ (3). 6 6 Résoudre dans Î : 2x ≡ 0 [6] 5×2009 Pour les congruences un produit de facteurs peut être congru à 0 sans qu'aucun de ses facteurs ne soit congru à 0. ab ≡ 0 ( n ) ⇒/ a ≡ 0 ( n ) ou b ≡ 0 ( n ) Exemple : 2 × 3 ≡ 0 ( 6 ) mais 2 ≡/ 0 ( 6 ) et 3 ≡/ 0 ( 6 ) Application : pour résoudre une équation modulo n il y a au plus n cas à étudier. En effet l'inconnue a n restes possibles (0;1;…;n-1) dans la division euclidienne par n, il suffit donc d'effectuer les opérations sur ces restes. Résoudre -x+20 [3] Résoudre dans É : 2 x ≡ 2 [4] La congruence des exposants n'implique pas la congruence des puissances: a ≡ b ( n ) ⇒/ c a ≡ c b ( n ) 1 5 Exemple : 15 (4) mais 2 ≡/ 2 ( 4 ) Calculatrice : Pour obtenir la table de multiplication de a mod n : a EXE a+ANS-n×INT((a+ANS)/n) EXE EXE… Pour les puissances de a mod n : a EXE a×ANS-n×INT((a×ANS)/n)) EXE EXE…