L`ensemble des entiers naturels, noté É, est constitué des entiers

-b 0 b 2b 3b 4b
Arithmétique I
I. Division euclidienne
L'ensemble des entiers naturels, noté É, est constitué des entiers positifs ou nuls.
É={0;1;2;3;4;...}
L'ensemble des entiers relatifs, noté Î, est constitué des entiers positifs, négatifs ou
nuls. Î={...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...}
Définition: Soient a et b deux entiers relatifs.
Lorsqu'il existe un entier relatif k tel que a=k×b on dit que de façon équivalente :
a est un multiple de b
b est un diviseur de a
b divise a
on note b | a
exemples :
4 divise 12 car ...
-2 divise 12 car ...
8 ne divise pas 12 car ...
Calculatrice : b divise a si et seulement si a/b est un entier relatif
Remarques
•Les seuls diviseurs de 1 sont 1 et –1.
•Si a|b et b|a , alors a = b ou a = -b
•tout entier relatif divise 0 car pour tout a☻Î, 0=0×a
Propriétés : soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Si a divise b alors pour tout entier relatif k, ka divise kb
Si a divise b et c alors a divise b+c
Si a divise b et c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c
Remarque : une combinaison linéaire de b et c est un nombre de la forme kb+k'c où k
et k' sont des entiers relatifs
Exemples :
Théorème et définition : Soit a un entier relatif et soit b un entier relatif non nul. Il
existe un unique couple (q , r) d'entiers relatifs vérifiant :
a=bq+r et
0⩽r< ∣ b ∣
.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer le couple (q,r)
a : dividende b : diviseur
r : reste q : quotient
Exemples :
la division euclidienne de 14 par 4 est :...
14=4×2+6 n'est pas une division euclidienne de 14
par 2 car…
La division euclidienne de 14 par -3 est :..
Calculatrice : si b>0 alors q = INT(a/b)
si b<0 alors q = - INT(-a/b)
dans tous les cas r=a-b×q
Application : si le 1er septembre est un mardi quel
jour de la semaine est le 30 septembre?
II. Congruences
Définition : Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel
( 2) n ≥
.
On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le même reste dans la
division euclidienne par n. On note
a b ≡
(n) qui se lit "a est congru à b modulo n".
Exemples : 618 (4) car ...
23 38 ≡
(5) car ...
2002 2 ≡
(10) car...
Application : le 4 septembre et le 25 septembre
sont-ils les mêmes jours de la semaine?
Théorème : Soient a et r deux entiers et soit n un entier naturel
( 2) n ≥
.
a r ≡
(n) et 0Âr<n si et seulement si r est le reste de la division euclidienne de a par
n
exemples: 17
≡
1 (4) ; 20
≡
0 (4)
Remarque : a|b ñ b
≡
0 (a)
Théorème : Soient a et b deux entiers relatifs et soit n un entier naturel
( 2) n ≥
.
a b ≡
(n) si et seulement si
a b −
est un multiple de n.
Application : le 4 septembre et le 25 septembre sont-ils les mêmes jours de la semaine?
0
14
14=3
×
4+2
Division euclidienne par 4
0[4]
6
≡
18[4]
6=1
×
4+2
18=4
×
4+2
6-18=-3
×
4+0
Congruences modulo 4

Propriétés : Soit n un entier naturel
( 2) n ≥
et soient a, a', b, b', c des entiers relatifs,
alors : 1°
a a ≡
(n)
2° si
a b ≡
(n) , alors
b a ≡
(n) (commutativité)
3° si
a b ≡
(n) et
b c ≡
(n) , alors
a c ≡
(n) (transitivité)
4° si
( )
' ' ( )
a b n
a b n
≡
≡
alors
' ' a a b b + ≡ +
(n) et
' ' a a b b − ≡ −
(n) et
' ' aa bb ≡
(n)
(compatibilité avec l’addition, la soustraction et la multiplication)
5° si
a b ≡
(n) , alors pour tout
p∈ℕ
,
p p
a b ≡
(n).
Exemples:
donner les restes dans la division euclidienne par 3 des nombres suivants
5+2009
5×2009
Application : pour résoudre une équation modulo n il y a au plus n cas à étudier. En
effet l'inconnue a n restes possibles (0;1;…;n-1) dans la division euclidienne par n, il
suffit donc d'effectuer les opérations sur ces restes.
Résoudre -x+20 [3]
Calculatrice :
Pour obtenir la table de multiplication de a
mod n :
a EXE
a+ANS-n×INT((a+ANS)/n) EXE
EXE…
Pour les puissances de a mod n :
a EXE
a×ANS-n×INT((a × ANS)/n)) EXE
EXE…
Pièges
Les relations de congruences se manipulant "presque" comme les égalités classiques il
faut rester vigilant sur certains points:
Résoudre dans Î : 6x
≡
12 [3]
La relation de congruence modulo n n’est pas compatible avec la division ;
Exemple :
18 12 ≡
(3) , mais
18 12
6 6
≡
/
(3).
Résoudre dans Î : 2x
≡
0 [6]
Pour les congruences un produit de facteurs peut être congru à 0 sans qu'aucun
de ses facteurs ne soit congru à 0.
( ) ( ) ( )
0 0 ou 0 ab n a n b n ≡ ⇒ ≡ ≡
/
Exemple :
( )
2 3 0 6 × ≡
mais
( )
2 0 6 ≡
/
et
( )
3 0 6 ≡
/
Résoudre dans É :
2x
≡
2 [4]
La congruence des exposants n'implique pas la congruence des puissances:
( ) ( )
a b
a b n c c n ≡ ⇒ ≡
/
Exemple : 15 (4) mais
( )
1 5
2 2 4 ≡
/