TS4 DS5 19/01/11

TS4 DS5
19/01/11
Exercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010
Soit
la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par ϕ (x) = 1+ x2 − 2x2 ln(x).
1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur l’intervalle [1 ; +∞[.
b. On admet que lim ϕ (x) = – ; Démontrer que l’équation ϕ (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution α, appartenant
x
+
à l’intervalle [1 ; e]. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−1.
c. Déterminer le signe de ϕ (x) suivant les valeurs de x.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x) =
ln(x)
.
1+ x2
On note f ′ la fonction dérivée de f .
ϕ (x)
.
x (1+x2)2
b. Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.
a. Calculer f ′(x) et montrer que pour tout x
1 on a : f ′(x) =
c. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; + ∞[ on a :
d. En déduire
x
0
f (x)
ln(x)
.
x2
lim f (x)
+∞
Exercice 2 : (7 points) Polynésie juin 2010
1. On considère la fonction g définie sur [1 ; +∞[ [par g (x) = ln(2x) + 1− x
a. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la
rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la rédaction.
Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet sur [1 ; +∞[ une unique solution notée α.
b. Démontrer que ln(2α) + 1 = α.
2. Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, par un+1 = ln(2un) + 1.
a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un
b. Démontrer que la suite (un) converge vers α.
Exercice 3 : (6 points)
Partie A
un+1 3.
Antilles-Guyane 2010
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x)= x − x ln(x).
1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et + ∞.
2. Montrer que g est dérivable sur l’ intervalle ] 0 ; + ∞[ et que g ′ (x) = − ln(x).
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g .
Partie B
en
.
nn
a. le sens de variation de la suite (un) ;
b. la limite éventuelle de la suite (un).
Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ IN* par un =
1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
2. Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ IN* par vn = ln (un).
a. Montrer que vn = n – n ln(n).
b. En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (vn).
c. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Montrer que la suite (un) est bornée.(bonus)
4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.(bonus)
TS4 DS5 CORRIGE
Exercice 1 :
1)a) Sur l’intervalle [1 ; +∞[ on a ϕ (x) = 1+ x2 − 2x2 ln(x) ;
1
est dérivable et ’(x) =2x – 4xln(x) – 2x² × = 2x – 4xln(x) – 2x = – 4xln(x)
x
Pour tout x > 1 on a 4x > 0 donc ’(x) est du signe de – ln(x) ; or, pour tout x > 1,on a ln (x) > 0 d’où – ln(x) < 0.
Ainsi la fonction
est strictement décroissante sur [1 ; + [.
x
1
+
2
0
–
ϕ (x) = 1+ x2 − 2x2 ln(x)=1+x²(1 – 2ln(x)) (permet de déterminer la limite en + )
b) (e) = 1 +e² – 2e²(ln(e)) = 1 – e² < 0
On applique le TVI sur [1 ; + [ :
est continue et strictement décroissante sur cet intervalle ;
Elle prend ses valeurs dans ] – ; 2] ; or 0
De plus (e) < 0 < (1) donc 1<
< e. Ainsi
] – ;2] ; donc l’équation (x) = 0 admet une unique solution
sur [1 ; + [.
[1 ;e].
c) D’après le tableau des variations,( complété par les deux valeurs
x
et 0) on a :
1
+
+
(x)
0
–
1
1
(1 + x²) – 2xln(x)
(1 + x² – 2x²ln(x) )
x
x
ln(x)
ϕ (x)
2)a) Sur l’intervalle [1 ; +∞[, f (x) =
=
=
2 donc f ’(x) =
2
1+ x
(1 + x²)
(1 + x²)²
x (1+x2)2
b)Or pour tout x
1,
x > 0 et (1 + x²)² > 0 donc f ’(x) est du signe de (x).
x
f ’(x)
1
+
+
0
–
c)Pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; + ∞[ on a : ln(x) 0 et 1 + x² > 0 donc 0 f (x) (quotient de nombres positifs ou
nuls)
1
1
Et on a également, 1 + x² x² 1 donc
(la fonction inverse est décroissante sur [1 ; + [ )donc , en multipliant
1 + x² x²
ln(x)
chacun des deux membres par ln(x) , positif ou nul , on obtient f (x)
.
x2
ln(x)
Ainsi ,pour tout x 1, on a 0 f (x)
.
x2
d)On sait que
lim
x
+
ln(x)
= 0 (croissances comparées) et lim 0 = 0 donc , d’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = 0.
x2
x
+
x
+
Exercice 2 :
1. a. La fonction x
ln(2x) est dérivable sur [1 ; + [ car ,pour tout x 1 on a 2x 2 > 0 et x
2
1
1–x
La fonction g est dérivable sur cet intervalle et g’ (x) =
−1= −1=
2x
x
x
2x est dérivable sur [1 ; + [ .
Comme x > 0, cette dérivée est du signe du numérateur 1− x.
x
g’(x)
1
0
2
+
–
0
–
D’autre part g (1) = ln2 + 1−1 = ln2.
ln(x)
– 1)
x
ln(x)
ln(x)
On sait que lim
= 0 (croissances comparées) donc , par somme , lim (
– 1) = – 1 , puis par produit,
x
x
x
+
x +
ln(x)
lim x (
– 1) = – ; puis lim 1 + ln(2) = 1 + ln(2) donc , par somme lim g(x) = –
x
x
+
x
+
x
+
En écrivant g (x) = ln(2x) + 1− x = ln(2) + ln(x) + 1 – x = 1 + ln(2) + x (
On applique le TVI sur l’intervalle [1 ; + [ :
La fonction g est donc dérivable donc continue [ et strictement décroissante sur cet intervalle ; elle prend ses valeurs dans
l’intervalle ]– ; ln2 ] ; 0 ]– ; ln2 ] donc l’équation g (x) = 0 admet une unique solution
[1 ; + [.
b. D’après la question précédente g ( ) = 0
2)a) Par récurrence :on pose Pn : « 1
ln (2 ) + 1− = 0
un
ln(2 ) + 1 = .
un+1 3 »
Initialisation : comme u0 = 1 et u1 = ln(2) + 1 = 1+ 1,69 < 3, on a bien :1 u0 u1 3 et P0 est vraie.
Hérédité :Supposons Pn vraie pour un entier n donné , alors 1 un un+1 3 donc 2 2un 2un+1 6 puis, comme la fonction
ln est strictement croissante sur [2 ; + [, ln(2) ln( 2un) ln(2un+1) ln(6) donc 1+ln(2) un+1 un+2 ln(6) +1
Or 1 1 + ln(2) et 1 + ln(6) 3 donc Pn+1 est vérifiée.
Conclusion : Pn est vraie pour tout n IN.
b. On vient de démontrer que la suite (un) est croissante et majorée par 3 :
elle est donc convergente vers une limite finie L et on a 1 L 3 (puisque 1 un 3 pour tout n)
De plus , un+1 = ln(2un) + 1pour tout n IN et la fonction x
ln(2x)+1 est continue sur [1 ; 3 ]donc on peut affirmer que la
limite L vérifie L= ln(2L) + 1.
Or on a vu à la question 1. b. que était la seule solution de cette équation sur [1 ; + [.Donc L = .
Exercice 3 : (5 points)
Partie A :
1) g (x)= x − x ln(x).
a)En 0+ (car l’intervalle de définition est ]0 ;+ [ ) :
lim xln(x) = 0 (croissances comparées) donc lim – xln(x) = 0 puis lim x = 0 et par somme lim g(x) = 0 .
x
0
En +
x
+
x
par somme , lim 1 – ln(x) = –
+
x
1
b)g’(x) = 1 – (1×ln(x) + x
) = – ln(x)
x
– ln(x) > 0
ln(x) < 0
x < e0
– ln(x) = 0
ln(x) = 0
x = e0
Partie B :
x
0
x
0
: g (x)= x − x ln(x) = x( 1 – ln(x)) (si on ne met pas x en facteur , on tombe sur une FI)
lim 1= 1 et lim – ln (x) = –
x
0
1)Conjecture :
un =
en
(n
nn
x<1
x=1
1)
; ensuite lim x = +
+
x
x
g’(x)
et par produit lim g(x) = – .
+
0
+
0
x
1
0 –
1
+
+
–
a)La suite u semble décroissante.
b)La suite u semble tendre vers 0.
en
) = ln( en) – ln( nn) = n – nln(n) pour tout n IN*
nn
b)vn = g(n) or la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; + [ donc la suite v , définie à partir de n = 1 , est décroissante.
2) Pour tout n ∈ IN* par vn = ln (un).
a)vn= ln(
c) vn = ln (un)
un = exp(vn)pour tout n 1.
On sait que, pour tout n 1, vn+1 < vn ; or la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR donc elle conserve l’ordre et
exp(vn+1) < exp(vn) donc la suite u est décroissante .
3) Pour tout n 1 un 0 (quotient de nombres strictement positifs)
Et pour tout n 1 on a vn 1(d’après le tableau des variations de la fonction g) donc exp(vn)
c’est-à-dire , un e. Ainsi ,pour tout n 1 0 un e.(le suite u est bornée)
e (croissance de exp sur IR) ,
4) La suite u est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel L. Mais on sait que lim vn = lim g(n) = –
n
(d’après la partie A) et lim ex = 0 donc lim exp(vn) = 0 or exp(vn) = un . Ainsi lim un = 0.
x
–
n
+
n
+
+
n
+
On considère la fonction f définie sur IR par f (x) = ln(1 + e–x) +
1
x
3
La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
Partie A 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
b. Montrer que la droite (D) d’équation y =
1
x est asymptote à la courbe (C ).
3
c. Étudier la position relative de (D) et de (C ).
d. Montrer que pour tout réel x, f (x) = ln(ex+1)−
2
x.
3
e. En déduire la limite de f en − ∞.
2. a. On note f ’ la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que pour tout x réel , f ’(x) =
ex – 2
3(ex + 1)
b. En déduire les variations de la fonction f .
Partie C On note (T) la tangente à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.
1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.
2. Dans cette question, toute trace de recherche même complète sera prise en compte dans la notation :
Soient M et N deux points de la courbe (C ) d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la
droite (T).
On considère la fonction f définie sur IR par f (x) = ln(1 + e–x) +
1
x
3
La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
Partie A
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
b. Montrer que la droite (D) d’équation y =
1
x est asymptote à la courbe (C ).
3
c. Étudier la position relative de (D) et de (C ).
d. Montrer que pour tout réel x, f (x) = ln(ex+1)−
2
x.
3
e. En déduire la limite de f en − ∞.
2. a. On note f ’ la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que pour tout x réel , f ’(x) =
ex – 2
3(ex + 1)
b. En déduire les variations de la fonction f .
Partie C On note (T) la tangente à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.
1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.
2. Dans cette question, toute trace de recherche même complète sera prise en compte dans la notation :
Soient M et N deux points de la courbe (C ) d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la
droite (T).
Exercice 1 : (12 points)
Partie A Liban juin 2010
Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par u(x) = x2 − 2 + lnx.
1. Étudier les variations de u sur ]0 ; +∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞.
2. a. Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; +∞[.
On note α cette solution.
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10 −2 de α.
3. Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
4. Montrer l’égalité : lnα = 2 − α2.
Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x2 + (2 − lnx)2.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
1. Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′(x) en fonction de u(x).
2. En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[.On déterminera les limites de f aux bornes.
Partie C
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) on note :
• C la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;
• A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
• M le point de C d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞[.
1. Montrer que la distance AM est donnée par AM = f (x)
2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g (x) = f (x)
a. Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ; +∞[.
b. Montrer que la distance AM est minimale en un point de C, noté P, dont on précisera les coordonnées.
c. Montrer que AP = α 1+α2.
3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à C en P ?
Exercice 1 : (12 points)
1. La fonction u est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme somme de fonctions dérivables et pour tout réel x strictement positif,
1
u′(x) = 2x +
x
1
Pour tout réel x strictement positif, 2x > 0 et > 0 donc u′(x) > 0 ; la fonction u est donc strictement croissante.
x
lim x2 − 2 = +∞ et lim ln(x) = +∞ donc, par somme lim u(x) = +∞.
+∞
x
x
+∞
x
+∞
x
lim x2 −2 = − 2 et lim ln(x) = − ∞ donc lim u(x) = − ∞.
0
x
0
x
0
2. a. On applique le TVI (théorème des valeurs intermédiaires)sur]0 ; +∞[ : La fonction u est continue et strictement
croissante sur ]0 ; +∞[ ;
0 ] – ; + [,intervalle des images par f ;donc l’équation u(x) = 0 admet une et une seule solution sur ]0 ; +∞[.
On note α cette solution.
b. À l’aide de la calculatrice on remarque que u(1,31) < 0 < u(1,32) donc 1,31 < α < 1,32
3. La fonction u est croissante sur ]0 ; +∞[et u(α) = 0 donc
x
u(x)
4. u(α) = 0 ⇐⇒ α2 −2+ ln(α) = 0
ln(α) = 2−α2.
0
||
+
–
0
+
Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x2 + (2−lnx)2.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
1 2
2
1. Pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′(x) = 2x+2×(2−ln x)× (− )= (x2− 2 + lnx) = u(x)
x x
x
2
2. étant toujours positif sur ]0 ; +∞[, f ′(x) est du signe de u(x), donc est strictement négative sur ]0 ; α[, et
x
strictement positive sur ]α ; +∞[ et s’annule en α. la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; α] et strictement
croissante sur [α ; +∞[ et atteint un minimum en α.
x
lim x2 = +∞ et
+∞
2
lim x = 0
x
0
x
lim (2−lnx) = – or
+∞
X
lim X² = +
+∞
et lim (2 − lnx) = +∞ or lim X² = +
x
0
X
+∞
donc lim (2−lnx)2 = + et par somme lim f (x) = +∞.
x
+∞
x
+
donc lim (2 − lnx)2 = +∞ et par somme lim f (x) = +∞.
x
0
Partie C
1. Le point A a pour coordonnées (0 ; 2) et le point M(x ; lnx), donc AM =
2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g (x) = f (x).
x
(x − 0)2 + (lnx − 2)2 =
0
f (x)
a. La fonction racine étant strictement croissante sur IR+ et la fonction f prenant des valeurs toujours positives, les
fonctions f et g = f ont même sens de variation.
b. La fonction g atteint donc son minimum en α. La distance AM est donc minimale pour x = α soit au point P(α ; lnα).
Or lnα = 2−α2 donc P a pour coordonnées (α ; 2−α2).
c. AP = (α − 0)2 + (2−α2 −2)2 = α2 +α4 = α 1+α2 (car α > 0).
3. La tangente à Γ en P a pour coefficient directeur 1/α et la droite (AP) a pour coefficient directeur
yP − yA
= 2−α2 −2α−0 = −α. Le produit des deux coefficients directeurs donne −1 ;ainsi , la tangente Γ en P et la droite
xP −xA
(AP) sont perpendiculaires.
TS5 DS5 CORRIGE
Exercice 1
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Exercice4 :