TS4 DS5 19/01/11

TS4 DS5 19/01/11
Exercice 1: (7 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2010
Soit la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par ϕ (x) = 1+ x2 − 2x2 ln(x).
1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur l’intervalle [1 ; +∞[.
b. On admet que lim
x +
ϕ (x) = – ; Démontrer que l’équation ϕ (x) = 0 admet sur [1 ; + [ une unique solution α, appartenant
à l’intervalle [1 ; e]. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−1.
c. Déterminer le signe de ϕ (x) suivant les valeurs de x.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par f (x) = ln(x)
1+ x2 . On note f ′ la fonction dérivée de f .
a. Calculer f ′(x) et montrer que pour tout x 1 on a : f ′(x) =
ϕ (x)
x (1+x2)2 .
b. Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.
c. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; + ∞[ on a : 0 f (x) ln(x)
x2 .
d. En déduire lim
x +∞ f (x)
Exercice 2 : (7 points) Polynésie juin 2010
1. On considère la fonction g définie sur [1 ; +∞[ [par g (x) = ln(2x) + 1− x
a. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la
rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la rédaction.
Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet sur [1 ; +∞[ une unique solution notée α.
b. Démontrer que ln(2α) + 1 = α.
2. Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, par un+1 = ln(2un) + 1.
a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 1 un un+1 3.
b. Démontrer que la suite (un) converge vers α.
Exercice 3 : (6 points) Antilles-Guyane 2010
Partie A Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x)= x − x ln(x).
1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et + ∞.
2. Montrer que g est dérivable sur l’ intervalle ] 0 ; + ∞[ et que g ′ (x) = − ln(x).
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g .
Partie B
Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ IN* par un = en
nn .
1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice : a. le sens de variation de la suite (un) ;
b. la limite éventuelle de la suite (un).
2. Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ IN* par vn = ln (un).
a. Montrer que vn = n – n ln(n).
b. En utilisant la Partie A, déterminer le sens de variation de la suite (vn).
c. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Montrer que la suite (un) est bornée.(bonus)
4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.(bonus)

TS4 DS5 CORRIGE
Exercice 1 :
1)a) Sur l’intervalle [1 ; +∞[ on a ϕ (x) = 1+ x2 − 2x2 ln(x) ;
est dérivable et ’(x) =2x – 4xln(x) – 2x² × 1
x = 2x – 4xln(x) – 2x = – 4xln(x)
Pour tout x > 1 on a 4x > 0 donc ’(x) est du signe de – ln(x) ; or, pour tout x > 1,on a ln (x) > 0 d’où – ln(x) < 0.
Ainsi la fonction est strictement décroissante sur [1 ; + [.
x
1 +
2 0 –
ϕ (x) = 1+ x2 − 2x2 ln(x)=1+x²(1 – 2ln(x)) (permet de déterminer la limite en + )
b) (e) = 1 +e² – 2e²(ln(e)) = 1 – e² < 0
On applique le TVI sur [1 ; + [ : est continue et strictement décroissante sur cet intervalle ;
Elle prend ses valeurs dans ] – ; 2] ; or 0 ] – ;2] ; donc l’équation (x) = 0 admet une unique solution sur [1 ; + [.
De plus (e) < 0 < (1) donc 1< < e. Ainsi [1 ;e].
c) D’après le tableau des variations,( complété par les deux valeurs et 0) on a :
2)a) Sur l’intervalle [1 ; +∞[, f (x) = ln(x)
1+ x2 donc f ’(x) =
1
x (1 + x²) – 2xln(x)
(1 + x²)2 =
1
x (1 + x² – 2x²ln(x) )
(1 + x²)² =
ϕ (x)
x (1+x2)2
b)Or pour tout x 1 , x > 0 et (1 + x²)² > 0 donc f ’(x) est du signe de (x).
c)Pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; + ∞[ on a : ln(x) 0 et 1 + x² > 0 donc 0 f (x) (quotient de nombres positifs ou
nuls)
Et on a également, 1 + x² x² 1 donc 1
1 + x² 1 x² (la fonction inverse est décroissante sur [1 ; + [ )donc , en multipliant
chacun des deux membres par ln(x) , positif ou nul , on obtient f (x) ln(x)
x2 .
Ainsi ,pour tout x 1, on a 0 f (x) ln(x)
x2 .
d)On sait que lim
x +
ln(x)
x2 = 0 (croissances comparées) et lim
x + 0 = 0 donc , d’après le théorème des gendarmes, lim x + f (x) = 0.
Exercice 2 :
1. a. La fonction x ln(2x) est dérivable sur [1 ; + [ car ,pour tout x 1 on a 2x 2 > 0 et x 2x est dérivable sur [1 ; + [ .
La fonction g est dérivable sur cet intervalle et g’ (x) = 2
2x − 1 = 1 x − 1 = 1 – x x
Comme x > 0, cette dérivée est du signe du numérateur 1− x.
x
1 +
(x)
+ 0 –
x
1 +
f ’(x)
+ 0 –
x
1 +
g’(x)
0 –
2 0 –

D’autre part g (1) = ln2 + 1−1 = ln2.
En écrivant g (x) = ln(2x) + 1− x = ln(2) + ln(x) + 1 – x = 1 + ln(2) + x ( ln(x)
x – 1)
On sait que lim
x +
ln(x)
x = 0 (croissances comparées) donc , par somme , lim
x +( ln(x)
x – 1) = – 1 , puis par produit,
lim
x + x ( ln(x)
x – 1) = – ; puis lim
x + 1 + ln(2) = 1 + ln(2) donc , par somme lim x + g(x) = –
On applique le TVI sur l’intervalle [1 ; + [ :
La fonction g est donc dérivable donc continue [ et strictement décroissante sur cet intervalle ; elle prend ses valeurs dans
l’intervalle ]– ; ln2 ] ; 0 ]– ; ln2 ] donc l’équation g (x) = 0 admet une unique solution [1 ; + [.
b. D’après la question précédente g () = 0 ln (2 ) + 1− = 0 ln(2 ) + 1 = .
2)a) Par récurrence :on pose Pn : « 1 un un+1 3 »
Initialisation : comme u0 = 1 et u1 = ln(2) + 1 = 1+ 1,69 < 3, on a bien :1 u0 u1 3 et P0 est vraie.
Hérédité :Supposons Pn vraie pour un entier n donné , alors 1 un un+1 3 donc 2 2un 2un+1 6 puis, comme la fonction
ln est strictement croissante sur [2 ; + [, ln(2) ln( 2un) ln(2un+1) ln(6) donc 1+ln(2) un+1 un+2 ln(6) +1
Or 1 1 + ln(2) et 1 + ln(6) 3 donc Pn+1 est vérifiée.
Conclusion : Pn est vraie pour tout n IN.
b. On vient de démontrer que la suite (un) est croissante et majorée par 3 :
elle est donc convergente vers une limite finie L et on a 1 L 3 (puisque 1 un 3 pour tout n)
De plus , un+1 = ln(2un) + 1pour tout n IN et la fonction x ln(2x)+1 est continue sur [1 ; 3 ]donc on peut affirmer que la
limite L vérifie L= ln(2L) + 1.
Or on a vu à la question 1. b. que était la seule solution de cette équation sur [1 ; + [.Donc L = .
Exercice 3 : (5 points)
Partie A :
1) g (x)= x − x ln(x).
a)En 0+ (car l’intervalle de définition est ]0 ;+ [ ) :
lim
x 0xln(x) = 0 (croissances comparées) donc lim x 0 – xln(x) = 0 puis lim x 0x = 0 et par somme lim x 0g(x) = 0 .
En + : g (x)= x − x ln(x) = x( 1 – ln(x)) (si on ne met pas x en facteur , on tombe sur une FI)
lim
x + 1= 1 et lim x + – ln (x) = – par somme , lim x + 1 – ln(x) = – ; ensuite lim x + x = + et par produit lim x + g(x) = – .
b)g’(x) = 1 – (1×ln(x) + x 1
x) = – ln(x)
– ln(x) > 0 ln(x) < 0 x < e0 x < 1
– ln(x) = 0 ln(x) = 0 x = e0 x = 1
Partie B : 1)Conjecture : un = en
nn ( n 1) a)La suite u semble décroissante.
b)La suite u semble tendre vers 0.
2) Pour tout n ∈ IN* par vn = ln (un). a)vn= ln( en
nn ) = ln( en) – ln( nn) = n – nln(n) pour tout n IN*
b)vn = g(n) or la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; + [ donc la suite v , définie à partir de n = 1 , est décroissante.
c) vn = ln (un) un = exp(vn)pour tout n 1.
On sait que, pour tout n 1, vn+1 < vn ; or la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR donc elle conserve l’ordre et
exp(vn+1) < exp(vn) donc la suite u est décroissante .
3) Pour tout n 1 un 0 (quotient de nombres strictement positifs)
Et pour tout n 1 on a vn 1(d’après le tableau des variations de la fonction g) donc exp(vn) e (croissance de exp sur IR) ,
c’est-à-dire , un e. Ainsi ,pour tout n 1 0 un e.(le suite u est bornée)
x
0 1 +
g’(x)
+ 0 –
0 1 –

4) La suite u est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel L. Mais on sait que lim
n + vn = lim n + g(n) = –
(d’après la partie A) et lim
x –ex = 0 donc lim n + exp(vn) = 0 or exp(vn) = un . Ainsi lim n + un = 0.

On considère la fonction f définie sur IR par f (x) = ln(1 + e–x) + 1
3 x
La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
Partie A 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
b. Montrer que la droite (D) d’équation y = 1
3 x est asymptote à la courbe (C ).
c. Étudier la position relative de (D) et de (C ).
d. Montrer que pour tout réel x, f (x) = ln(ex+1)− 2
3 x.
e. En déduire la limite de f en − ∞.
2. a. On note f ’ la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que pour tout x réel , f ’(x) = ex – 2
3(ex + 1)
b. En déduire les variations de la fonction f .
Partie C On note (T) la tangente à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.
1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.
2. Dans cette question, toute trace de recherche même complète sera prise en compte dans la notation :
Soient M et N deux points de la courbe (C ) d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la
droite (T).
On considère la fonction f définie sur IR par f (x) = ln(1 + e–x) + 1
3 x
La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
Partie A 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
b. Montrer que la droite (D) d’équation y = 1
3 x est asymptote à la courbe (C ).
c. Étudier la position relative de (D) et de (C ).
d. Montrer que pour tout réel x, f (x) = ln(ex+1)− 2
3 x.
e. En déduire la limite de f en − ∞.
2. a. On note f ’ la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que pour tout x réel , f ’(x) = ex – 2
3(ex + 1)
b. En déduire les variations de la fonction f .
Partie C On note (T) la tangente à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.
1. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.
2. Dans cette question, toute trace de recherche même complète sera prise en compte dans la notation :
Soient M et N deux points de la courbe (C ) d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la
droite (T).