si "un nombre" -sur telles

Chapitre VI : Complexes (1) – Forme algébrique
I. Ensemble des nombres complexes
1. Notion de nombres complexes
Théorème
Il existe un ensemble, noté ₵, appelé ensemble de nombres complexes
qui possède les propriétés suivantes :




Exemples :
IR  ₵
l’addition et la multiplication des nombres complexes réels se
prolongent aux nombres complexes et les règles de calculs restent
les mêmes
Il existe un nombre complexe, noté i, tel que i² = -1
Tout nombre complexe z, s’écrit de manière unique z = x + iy avec
x et y réels
z = 2 + 3i
;
z’ =  i 2 ;
z’’ =

sont des nombres
12
complexes
Définitions


Exemples :
L’écriture z = x + iy avec x et y réels est appelé écriture ou forme
algébrique de z
x est la partie réelle de z, notée Re(z) et y est la partie imaginaire de
z, notée Im(z)
Dans l’exemple précédent, on a Re(z) = 2 et Im(z) = 2 ;
Re(z’) = 0 et Im(z’)=  2 ;
Re( z’’) =

et Im(z’’) = 0
12
Remarque :
Soit z un nombre complexe tel que z = x + iy
 z est un réel si et seulement si y = 0
 z est un imaginaire pur si et seulement si x = 0
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la
même partie réelle et imaginaire
Conséquence
importante
z = x + iy = 0 si et seulement si x = 0 et y =0
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Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
2. Calculs algébriques dans ₵
a. Addition et multiplication dans ₵
Les règles de calculs de IR se prolongent dans C
Exemples :
Si on a z = 2 – i
et z’ = 4 + 6i alors
 z + z’ = 6 + 5i
 z .z’ = 14 + 8i
b. Inverse et quotient
Propriété
Tout nombre complexe non nul z admet un inverse, noté
De plus, si z = x + iy alors la forme algébrique de
1
x  iy

z x²  y²
Preuve :
Exemples :
1
z
1
est :
z
x  iy
.
x ²  y²
x  iy
x²  y²
Donc z. z’ = ( x  iy ).

 1 et z’ est l’inverse de z.
x²  y² x²  y²
Si z  0 alors x² + y²  0 . On pose z' 
1 3 1

 i
z 25 4
1  5i
1  5i
3 11
La forme algébrique de
est
 
i
2i
2i
5 5
L’inverse de z = 3 – 4i ;
II. Conjugué d’un nombre complexe et équations du second degré
1. Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Exemples :
Soit z un nombre complexe de la forme algébrique z = x + iy
( x, y réels), le nombre complexe x – iy, noté z , est appelé conjugué de
z.


2  3i  2  3i
 4  4

i 3  i 3
2
Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
Propriétés
Propriétés


zz
z.z  x²  y ²


z + z = 2Re(z)
z – z = 2iIm (z)
Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.
si z est non nul
Propriétés
n
z.z '  z.z '
1 1
 
z z
z  z'  z  z'
zn  z
 z'  z'
 
z z
z est un nombre complexe
i. z est un réel si et seulement si z = z
ii. z est un imaginaire pur si et seulement si z = - z
2. Equations du second degré à coefficients réels
Propriété
Tout nombre réel non nul a, admet deux racines carrées dans C.


Preuve :


si a > 0 alors ces racines carrées sont a et  a
si a < 0 alors ces racines carrées sont i  a et  i  a
 z  a
si a > 0 alors z²  a  z  a z  a  0  
 z   a
si a < 0 alors –a > 0 et z²  a  z²  ( a )  0
 z²  i²( a )  0



 z  i


( a ) z  i

 z  i²( a ) z  i²( a )  0

( a )  0
 z   i ( a ) ou z  i ( a )
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Terminale S
Théorème
L’équation az² + bz + c = 0 avec a, b , c réels et a  0 de
discriminant :   b²  4ac admet :



Deux solutions réelles si  > 0
Une solution réelle si  = 0
Deux solutions complexes z1 et z2 si  < 0 avec

bi 
 z1 

2a

z   b  i  
 2
2a
Remarques :
 az² + bz + c = a(z – z1)(z – z2)
 z1 et z2 sont conjugués
Exemple :
Résoudre z² + z + 1 = 0

 1 i 3
z1 
2
 = - 3 < 0 et 
 1 i 3

 z 2 
2
III.Le plan complexe
1. Représentation géométrique d’un complexe
Définitions
O, OU , OV  est un repère orthonormé direct du plan.

A tout complexe z = x + iy, on associe le point M(x ;y). On dit que
M est le point image de z et OM , le vecteur image.

Tout point M(x ;y) est le point image d’un seul complexe z. On dit
que z est l’affixe de M et du vecteur OM
On appelle alors ce plan, le plan complexe
Remarques :




Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses
appelé axe des réels.
Les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des
ordonnées appelé axe des imaginaires purs
O, OU , OV  repère orthonormé direct signifie que OU ,OV   2
M d’affixe z et M’ d’affixe z sont symétriques par rapport à l’axe
des réels.
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Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
Dans le plan complexe, muni d’un
repère orthonormé direct
O , OU , OV
 Placer les point A, B, C d’affixe
respective -2i ; 4 ; 3 – i
 De même lire les affixes des
points E, D et F
Application :


2. Affixe d’un vecteur, affixe du milieu d’un segment
Dans le plan complexe, à tout vecteur u ( x; y ) , on associe le complexe z = x + iy
appelé affixe de u
Propriétés
 Deux vecteurs sont égaux si leurs affixes sont égales
 Si  est un réel, alors l’affixe du vecteur  u est z où z est
l’affixe de u
Propriétés
Soient deux points A , B du plan complexe d’ affixes respectives
z A et z B
Preuve :
i.
L’affixe du vecteur AB est z B – z A
ii.
L’affixe z I du milieu I du segment [AB] est z I 
i.
AB  OB  OA . Or les affixes de OA
D’après Chasles
et OB sont respectivement z A et z B et donc l’affixe de
z A  zB
2
AB est bien z B – z A
ii.
OA  OB  OI  IA  OI  IB .
D’après Chasles
IA  IB  0 , on en déduit
Or I est le milieu de [AB] donc
donc OA  OB  2OI et finalement z A  z B  2 z I
z  zB
En conclusion z I  A
2
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