si "un nombre" -sur telles

Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
1
Chapitre VI : Complexes (1) – Forme algébrique
I. Ensemble des nombres complexes
1. Notion de nombres complexes
Théorème
Il existe un ensemble, noté ₵, appelé ensemble de nombres complexes
qui possède les propriétés suivantes :
IR
₵
 l’addition et la multiplication des nombres complexes réels se
prolongent aux nombres complexes et les règles de calculs restent
les mêmes
 Il existe un nombre complexe, noté i, tel que i² = -1
 Tout nombre complexe z, s’écrit de manière unique z = x + iy avec
x et y réels
Exemples :
z = 2 + 3i ; z’ =
2i
; z’’ =
12
sont des nombres
complexes
Définitions
 L’écriture z = x + iy avec x et y réels est appelé écriture ou forme
algébrique de z
 x est la partie réelle de z, notée Re(z) et y est la partie imaginaire de
z, notée Im(z)
Exemples :
Dans l’exemple précédent, on a Re(z) = 2 et Im(z) = 2 ;
Re(z’) = 0 et Im(z’)=
2
;
Re( z’’) =
12
et Im(z’’) = 0
Remarque :
Soit z un nombre complexe tel que z = x + iy
 z est un réel si et seulement si y = 0
 z est un imaginaire pur si et seulement si x = 0
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la
même partie réelle et imaginaire
Conséquence
importante
z = x + iy = 0 si et seulement si x = 0 et y =0

Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
2
2. Calculs algébriques dans ₵
a. Addition et multiplication dans ₵
Les règles de calculs de IR se prolongent dans C
Exemples :
Si on a z = 2 – i et z’ = 4 + 6i alors
 z + z’ = 6 + 5i
 z .z’ = 14 + 8i
b. Inverse et quotient
Propriété
Tout nombre complexe non nul z admet un inverse, noté
z
1
De plus, si z = x + iy alors la forme algébrique de
z
1
est :
²y²x iyx z
1
Preuve : Si z
0
alors x² + y²
0
. On pose
²y²x iyx
'z 
.
Donc z. z’ =
1
²y²x ²y²x ²y²x iyx
).iyx( 
et z’ est l’inverse de z.
Exemples :
L’inverse de z = 3 – 4i ;
i
4
1
25
3
z
1
La forme algébrique de
i2 i51
est
i
5
11
5
3
i2 i51 
II. Conjugué d’un nombre complexe et équations du second degré
1. Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Soit z un nombre complexe de la forme algébrique z = x + iy
( x, y réels), le nombre complexe x – iy, noté
z
, est appelé conjugué de
z.
Exemples :
i32i32 
44 
3i3i 

Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
3
Propriétés
zz 
²². yxzz 
 z +
z
= 2Re(z)
 z –
z
= 2iIm (z)
Propriétés
Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.
'' zzzz 
'.'. zzzz 
n
nzz 
si z est non nul
z
z11 
z
z
z
z'' 
Propriétés
z est un nombre complexe
i. z est un réel si et seulement si
z
= z
ii. z est un imaginaire pur si et seulement si
z
= - z
2. Equations du second degré à coefficients réels
Propriété
Tout nombre réel non nul a, admet deux racines carrées dans C.
 si a > 0 alors ces racines carrées sont
a
et
a
 si a < 0 alors ces racines carrées sont
ai 
et
ai 
Preuve :
 si a > 0 alors
0azaza²z 
az
az
 si a < 0 alors –a > 0 et
0)a(²za²z 
0)a²(i²z 
0)a²(iz)a²(iz 
0)a(iz)a(iz 
)a(iz 
ou
)a(iz 

Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
4
Théorème
L’équation az² + bz + c = 0 avec a, b , c réels et
0a
de
discriminant :
acb4²
admet :
 Deux solutions réelles si
> 0
 Une solution réelle si
= 0
 Deux solutions complexes z1 et z2 si
< 0 avec
a
ib
z
a
ib
z
2
2
2
1
Remarques :
 az² + bz + c = a(z – z1)(z – z2)
 z1 et z2 sont conjugués
Exemple :
Résoudre z² + z + 1 = 0
= - 3 < 0 et
23i1
z
23i1
z
2
1
III. Le plan complexe
1. Représentation géométrique d’un complexe
Définitions
OVOUO,,
est un repère orthonormé direct du plan.
 A tout complexe z = x + iy, on associe le point M(x ;y). On dit que
M est le point image de z et
OM
, le vecteur image.
 Tout point M(x ;y) est le point image d’un seul complexe z. On dit
que z est l’affixe de M et du vecteur
OM
On appelle alors ce plan, le plan complexe
Remarques :
 Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses
appelé axe des réels.
 Les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des
ordonnées appelé axe des imaginaires purs
OVOUO,,
repère orthonormé direct signifie que
2
OV,OU
 M d’affixe z et M’ d’affixe
z
sont symétriques par rapport à l’axe
des réels.

Chapitre VI : Complexes (1)
Terminale S
5
Application :
Dans le plan complexe, muni d’un
repère orthonormé direct
OV,OU,O
 Placer les point A, B, C d’affixe
respective -2i ; 4 ; 3 – i
 De même lire les affixes des
points E, D et F
2. Affixe d’un vecteur, affixe du milieu d’un segment
Dans le plan complexe, à tout vecteur
);( yxu
, on associe le complexe z = x + iy
appelé affixe de
u
Propriétés
 Deux vecteurs sont égaux si leurs affixes sont égales
 Si
est un réel, alors l’affixe du vecteur
u
est
z
où z est
l’affixe de
u
Propriétés
Soient deux points A , B du plan complexe d’ affixes respectives
A
z
et
B
z
i. L’affixe du vecteur
AB
est
B
z
–
A
z
ii. L’affixe
I
z
du milieu I du segment [AB] est
2zz
zBA
I
Preuve :
i. D’après Chasles
OAOBAB 
. Or les affixes de
OA
et
OB
sont respectivement
A
z
et
B
z
et donc l’affixe de
AB
est bien
B
z
–
A
z
ii. D’après Chasles
IBOIIAOIOBOA 
.
Or I est le milieu de [AB] donc
0IBIA 
, on en déduit
donc
OI2OBOA 
et finalement
IBA z2zz 
En conclusion
2zz
zBA
I