TD et correction

M2 EFM
TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE
CHRISTOPHE RITZENTHALER
1. Euclide, relation de Bézout, pgcd
Exercice 1. [DKM94, p.14] Montrer que 6|n3−npour tout entier npositif.
Exercice 2. [DKM94, p.15] Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie
ou fausse en donnant soit une démonstration, soit un contre-exemple.
(1) Si pgcd(a, b) = pgcd(a, c)alors ppcm(a, b) = ppcm(a, c).
(2) Si pgcd(a, b) = pgcd(a, c)alors pgcd(a2, b2) = pgcd(a2, c2).
(3) Si an|bnoù n≥1alors a|b.
(4) Si am|bnoù 1≤m < n alors a|b.
Exercice 3. [DKM94, p.14] Montrer que le cube d’un entier positif peut toujours s’écrire
comme la différence de deux carrés.
Exercice 4. (Version plus générale dans [Dem97, p34]).
Soient m, n ∈Z. Montrer que pgcd(Xm−1, Xn−1) = Xpgcd(m,n)−1.
Exercice 5. Etude de 1[n](lire [Dem97, pp9-14]).
Soit b≥2, on définit l’entier naturel 1[n]:= (11 ···1
| {z }
nfois
)b,i.e.
1[n]=bn−1
b−1.
1) Montrer que si mdivise nalors 1[m]divise 1[n].
2) En utilisant l’exercice 4 montrer que met nsont premiers entre eux si et seulement
s’il en est de même de 1[m]et 1[n].
Exercice 6. Théorème de Lucas [Dem97, p37].
La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence Fn+2 =Fn+1 +Fn
et les conditions initiales F1= 1, F0= 0. on veut montrer le théorème de Lucas :
pgcd(Fn, Fm) = Fpgcd(n,m).
1) Le résultat qui suit est un résultat annexe. Montrer que pour tout n≥0,Fn=
1
√5(φn+ (−1)n+1φ−n), où φest la racine positive de l’équation X2=X+ 1.φest
appelé le nombre d’or et vérifie φ= 1 + φ−1.
2) Maintenant on s’intéresse aux résultats préliminaires au théorème de Lucas. Montrer
que pour tout n≥1on a
Fn+1Fn−1−F2
n= (−1)n.
En déduire que Fnet Fn+1 sont premiers entre eux.
3) Montrer pour m≥1et n≥0la relation
Fn+m=FmFn+1 +Fm−1Fn.
[Faire une récurrence sur met une sur n].
1

4) Soit d∈N, montrer la propriété suivante :
ddivise Fmet Fn⇐⇒ ddivise Fnet Fn+m.(∗)
5) On va montrer que toute suite d’entiers (Fn)satisfaisant (∗)avec F0= 0 vérifie le
théorème de Lucas.
a) Montrer que pour tout k≥1on a
ddivise Fmet Fn⇐⇒ ddivise Fnet Fn+km.
b) On suppose m>n. Soit rle reste de la division euclidienne de mpar n. Montrer
que pgcd(Fm, Fn) = pgcd(Fn, Fr).
c) Conclure en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2. Congruence
Exercice 7. [DKM94, p.54] Donner un exemple d’un système de résidus complet modulo
17 qui est composé entièrement de multiples de 3.
Exercice 8. [DKM94, p.54] Écrire une seule congruence qui est équivalente à la paire de
congruence
x≡1 (mod 4), x ≡2 (mod 3).
Exercice 9. [DKM94, p.54] Montrer que la différence de deux cubes consécutifs n’est
jamais divisible par 5.
Exercice 10. [DKM94, p.55] Résoudre les congruences suivantes
(1) 2x≡1 (mod 7)
(2) 12x≡9 (mod 6)
(3) 5x≡ −1 (mod 8)
Exercice 11. Soit Gun groupe et g∈G. Montrer que gn= 1 ssi nest un multiple de
l’ordre de g. Montrer que si gn= 1 et que pour tout ppremier divisant n,gn/p 6= 1 alors
nest l’ordre de g.
Exercice 12. Montrer que si nest le produit de h≥1nombre premiers impairs distincts
alors le nombre de solutions de x2≡1 (mod n)est 2h.
Exercice 13. Si an≡am(mod p)pour ppremier et aun élément primitif, que peut-on
dire des entiers net m?
Exercice 14. Petit théorème de Fermat [DKM94, p55].
Soient p, q deux nombres premiers distincts. Montrer que
pq−1+qp−1≡1 (mod pq).
3. Nombres premiers
Exercice 15. [DKM94, p.33] Soit pun nombre premier. Pour chacune des affirmations
suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en donnant soit une démonstration, soit un
contre-exemple.
(1) Si p|aet p|a2+b2alors p|b.
(2) Si p|a9alors p|a.
(3) Si p|(a2+b2)et p|(b2+c2)alors p|(a2−c2).
(4) Si p|(a2+b2)et p|(b2+c2)alors p|(a2+c2).
2

Exercice 16 (Critère de primalité de Lehmer).Soit n≥3impair. Alors nest premier
si et seulement si il existe a∈[1, . . . , n −2] tel que an−1≡1 (mod n)et a(n−1)/q 6≡ 1
(mod n)pour tout diviseur premier de n−1.
Exercice 17. Nombres de Fermat
Pour n≥0on définit Fern:= 22n+ 1 le nème nombre de Fermat.
1) Montrer que Fern= n−1
Y
i=0
Feri!+ 2, en déduire le théorème de Goldbach : " Deux
nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux".
2) Soient a≥2, n ≥1. Montrer que si an+ 1 est premier alors aest pair et nest une
puissance de 2.
Exercice 18. Critère de Pépin (Test de primalité des nombres de Fermat) [Dem97,
p80,p122. Attention, erreur dans l’énoncé du livre].
Soit n≥1. Montrer que
Fernest premier ⇐⇒ 322n−1≡ −1 (mod Fern).
[Rappel de la loi de réciprocité quadratique : Soient p6=qpremiers impairs, p
q=
(−1)(p−1)(q−1)
4q
p].
Tester la primalité de Fernpour n= 1,...,10.
3

CORRECTION
4. Divisibilité
Correction exercice 1 Comme 6=2·3et que 2et 3sont premiers entre eux, il suffit
de montrer que 2et 3divise n3−n= (n−1)n(n+ 1). Comme c’est le produit de 3
entiers consécutifs, l’un d’eux est toujours pair et l’un deux est toujours un multiple de
3d’où le résultat.
Correction exercice 2
(1) C’est faux puisque pgcd(2,3) = pgcd(4,5) = 1 mais ppcm(2,3) = 6 6= ppcm(4,5) =
20.
(2) C’est vrai : il suffit de montrer que pgcd(a, b)2= pgcd(a2, b2). En divisant aet b
par leur pgcd, il suffit de montrer que si aet bsont premiers entre eux alors a2et
b2sont premiers entre eux. Raisonnons par l’absurde et soit pun premier divisant
pgcd(a2, b2). On a donc que p|a2et p|b2. Comme pest premier, cela implique que
p|aet que p|bdonc aet bne sont pas premiers entre eux.
(3) C’est vrai. Soit d= pgcd(a, b). On a a=dA et b=dB où pgcd(A, B) = 1.
Ainsi on a (comme précédemment) pgcd(An, Bn) = 1 et puisque an|bnon obtient
Andn|Bndnsoit An|Bn. Puisqu’ils sont premiers entre eux, ceci n’est possible que
si A= 1 et donc d=a. Ceci implique que b=dB =aB et donc a|b.
(4) C’est faux en prenant par exemple a= 4, b = 2 et m= 1 et n= 2.
Correction exercice 3 On souhaite montrer que pour tout nentier, il existe des entiers
x, y tels que n3=x2−y2. Pour cela il suffit de trouver x, y tels que x+y=n2et
x−y=nc’est-à-dire x= (n+n2)/2et y= (n2−n)/2ce qui est possible car n+n2et
n2−nsont tous les deux pairs.
Correction exercice 4.
Supposons m≥n, écrivons m=qn +rla division euclidienne de mpar n. On
commence par montrer que pgcd(Xm−1, Xn−1) = pgcd(Xn−1, Xr−1). On a
Xm−1 = Xqn+r=Xr(Xqn −1) + Xr−1,
=Xr(Xn−1) q−1
X
i=0
Xni!+Xr−1.
Notons d:= pgcd(Xm−1, Xn−1), d0:= pgcd(Xn−1, Xr−1).ddivise Xm−1et
Xn−1donc, d’après l’équation ci-dessus, ddivise Xr−1. A fortiori ddivise d0. Le même
raisonnement montre que d0divise d. Ainsi, d=d0.
Finalement, soit r0:= pgcd(m, n), en itérant ce raisonnement et en appliquant l’algorithme
d’Euclide, on a
pgcd(Xm−1, Xn−1) = pgcd(Xn−1, Xr−1),
.
.
.
= pgcd(Xd−1, X0−1),
=Xd−1,
=Xpgcd(m,n)−1.
Correction exercice 5.
4

1) Soient n=km pour k≥1. On a
bn−1 = (bm−1)
k−1
X
i=0
bmi.
D’où, en divisant par b−1,1[m]divise 1[n].
2) On a
pgcd 1[m],1[n]= pgcd bm−1
b−1,bn−1 b−1,
=1
b−1pgcd(bm−1, bn−1),
=bpgcd(m,n)−1
b−1d’après l’exercice 4,
= 1[pgcd(m,n)].
D’où l’équivalence m,npremiers entre eux ssi 1[m]et 1[n]le sont.
Correction exercice 6.
1) Preuve par récurrence :
Pour n= 0,φ0−φ−0= 1 −1 = 0 = F0, et pour n= 1,1
√5(φ−φ−1) = 1 = F1.
Soit n∈N, supposons la formule vérifiée pour Fn+1 et Fn, alors
Fn+2 =Fn+1 +Fn,
=1
√5·φn+1 + (−1)n+2φ−(n+1) +φn+ (−1)n+1φ−n,
=1
√5·φn+1 +φn+ (−1)n+3(−φ−(n+1) +φ−n,
=1
√5·
φn+1 1 + 1
φ
| {z }
=φ
+(−1)n+3φ−(n+1) −1 + 1
φ−1
| {z }
=φ−1
,
=1
√5·φn+2 + (−1)n+3φ−(n+2).
2) Preuve par récurrence :
Pour n= 1, on a F2F0−F2
1= 1 ·0−1 = −1.
Supposons FnFn−2−F2
n−1= (−1)n−1. Alors
Fn+1Fn−1−F2
n= (Fn+Fn−1)Fn−1−F2 n,
=FnFn−1+F2
n−1−F2 n,
=Fn(Fn−1−Fn) + F2
n−1,
=−FnFn−2+F2
n−1,
= (−1)n.
Posons un:= (−1)nFn−1, vn:= (−1)nFn, on a Fn+1un+Fnvn= 1. Donc par Bézout Fn
et Fn+1 sont premiers entre eux.
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