Corrigé - UFR 6 - Université Paris 8

Universit´e PARIS 8 Algorithmes alg´ebriques -
Master MFPI – M2 Corrig´e no18 P. Guillot
Exercice 1.
Pour yfix´e v´erifiant 0 < y < n, l’entier xv´erifie 0 < x < n et x2≡y2mod nsi et seulement si xest
une racine carr´ee de y2modulo n. Parmi ces racines carr´ees, celles qui satisfont pgcd(x−y, n)6= 1, n
sont celles pour lesquelles x6=±y. Si nn’est pas une puissance d’un nombre premier, alors ns’´ecrit
comme produit de kpuissances de nombres premiers qui sont deux `a deux premi`eres entre elles.
Il existe dans ce cas 2kracines carr´ees de y2dont deux seulement valent ±y. La proportion de
couples qui satisfont la propri´et´e est donc 2k−2
2k.
Exercice 2. b√nc= 68. 682−n=−9 = −1×32; 692−n= 128 = 27; 672−n=
−144 = −1×24×32; On d´eduit que modulo n, on a (67 ×68)2= (4 ×9)2, soit 4 5562= 362.
pgcd(4 633,4 5562−362) = 113, d’o`u 4 633 = 113 ×41.
Exercice 3. b√nc= 121. (121−4)2−n=−1 120 = −25×5×7 ; (121−3)2−n=−885 = −3×5×59 ;
(121 −2)2−n=−648 = −23×33; (121 −1)2−n=−409 ; (121 −0)2−n=−168 = −23×3×7 ;
(121 + 1)2−n=75=3×52; (121 + 2)2−n= 320 = 26×5 ; (121 + 3)2−n= 567 = 34×7 ;
(121+4)2−n= 816 = 24×3×17. Par exemple 1172×1212×1222×1232≡(27×3×52×7)2modulo
n, soit 4 8372≡7 9642modulo n, d’o`u pgcd(14 809,7 964 −4 837) = pgcd(14 809,3 127) = 59, et
14 809 = 59 ×251.
Exercice 4.
1. 2ab −1 = (2a−1)(1 + 2a+ 22a+··· + 2(b−1)a).
2. Le produit des trois premiers membres fournit la relation 8 108 9342≡2 268 0902modulo M29.
Le calcul pgcd(M29,8 108 934 −2 268 090) = 486 737.
Exercice 5.
1. (83,13,1,5,4,2, . . .) ; 83
1,1 080 13 ,1 163 14 ,6 895 83 ,28 743 346 ,64 381 775 , . . .
2. Les relations se montrent par r´ecurrence sur k.
3. Comme xk+1 >0 par construction, x−rk−1et x−rksont de signe oppos´es. De 2. on d´eduit
que pour tout entier k, on a x=ukxk+1 +uk−1
vkxk+1−vk−1. Donc x−uk vk=ukxk+1+uk−1 vkxk+1+vk−1−uk vk=uk−1vk−ukvk−1
v2
ky+vkvk−1.
Comme qk+1 ≤xk+1 on a vk+1 ≤vkxk+1 +vk−1, donc |x−rk| ≤ 1
vkvk+1 .
4. On a un
vn+1 <un vn, car vn+1 > vn, et un vn+1 <un+1 vn+1 , car un< un+1. D’apr`es 1. l’une de ces deux
r´eduites est <√Ndonc un
vn+1 ≤√N.|yn|=
un−√Nvn un+√Nvn≤1
vn+1 un+√Nvnd’apr`es
3. Donc |yn| ≤ un
vn+1 +√Nvn vn+1 Le premier terme est <√Net le second aussi car vn+1 > vn.
5. Pour N= 6 901, on trouve les suites (un) = (83,1 080,1 163,6 895,1 139,2 272, . . .) (yn) =
(−12,131,−27,36,−67,36, . . .). D’o`u 832≡ −4×3 et 1 1632≡ −33modulo 6 901 . Donc
(83 ×1 163)2≡(2 ×9)2. Le calcul pgcd(96 529 −18,6 901) = 103 donne la factorisation
6 901 = 103 ×67.
Exercice 6.
1. n= 1344+ 6 ×1342−134 −1
2. (X2+ 3)2=X4+ 6x2+ 9 = P(X)−(X+ 10)
3. D’apr`es 2, (1342+3)2≡134+10 modulo n. Donc 17 9592≡122modulo n. On d´eduit un facteur
de npar pgcd(n, 17 959 −12) = 17 947 et la factorisation n= 17 947 ×17 971.

Exercice 4.
1. a) F(x) = n−1
nx+a nxn−1; la d´eriv´ee F0(x) = n−1 n1−a xn. Elle est strictement positive sur
]n
√a, +∞[.
b) x−F(x) = xn−a
nxn−1>0 sur ] n
√a, +∞[.
c) F(n
√a) = n−1
n
n
√a+n
√a×a
n×a=n
√a
2. D’apr`es 1. b), xk> F (xk)≥ bF(xk)c=xk+1. Par ailleurs, xk+1 =bF(xk)c> F (xk)−1 donc
xk+1 + 1 > F (xk). Si xk>bn
√ac, alors F(xk)> F (bn √ac) = bn √ac.
Tant que xk>bn
√ac, la suite est strictement d´ecroissante. Il existe donc un indice ptel que
xp≤ b n
√ac< xp+ 1, ce qui montre que xp=bn √ac.
Exercice 5.
1. r(18) = 1 ; r(125) = 3, car 125 = 53;r(248 832) = 5, car 125= 248 832.
2. Si r(n) = ks alors n=ar(n)= (as)ket nest une puissance ke. R´eciproquement, soit
n=pα1
1× ··· × pα`
`la factorisation de nen facteurs premiers. nest une puissance kesignifie
que kdivise tous les αi; la valeur de r(n) ´etant le plus grand diviseur commun, kdivise r(n).
3. Les exposants de la factorisation de nksont k×αi.
4. r(n) = 1 si et seulement si pour tout entier k, la valeur de k
√nn’est pas enti`ere. D’apr`es 3. la
condition sur les entiers kpremiers suffit et si n < 2qalors on a toujours q
√n6∈ N. Pour d´eterminer
r(n), il suffit donc d’extraire les racines pede n, `a l’aide de l’algorithme de l’exercice, tant que le
r´esultat est entier et successivement pour tous les nombres premiers <log2(n). La valeur de r(n)
est le produit de tous les entiers ppour lesquels l’extraction de la racine petombe juste.