Corrigé - UFR 6 - Université Paris 8

Université PARIS 8
Master MFPI – M2
Algorithmes algébriques
o
Corrigé n 16
-
P. Guillot
Exercice
1.
√
2 027 651 281 = 45 030 et il reste 49 619 en ajoutant successivement les nombres impairs à
partir de 90 061, le premier carré parfait rencontré est à la 11e étape et c’est 1 040 400 = 1 0202 .
D’où 2 027 651 281 = (45 041 + 1 020)(45 041 − 1 020) = 46 061 × 44 021.
On peut éviter d’extraire une racine à chaque étape en remarquant que les carrés de Z/100Z sont
00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 et 96. Tout carré
parfait se termine par une de ces combinaisons de chiffres.
Exercice 2. Soit N l’entier à factoriser. Si on a effectué x itérations de l’algorithme de divisions
√
successives, le nombre d’itérations nécessaires pour l’algorithme de Fermat est (N/x+x)/2− N .
+x2
Le nombre total d’itération est f (x) = x + N2x
. Le minimum est obtenue par annulation de la
p
√ √
dérivée
de
f
.
On
trouve
x
=
N/3.
Le
nombre
total
d’itérations
est
alors
N ( 3 − 1) ≈
0
√
0, 732 N .
Exercice 3. 1. Montrons que les conditions t est pair et N ≡ 1 mod 4 conduisent à une
contradiction. t = 2t0 . s est impair,
sinon, N serait pair, donc s = 2s0 + 1. On a N = (t + s)(t − s) =
0
0
0
0
2(t + s ) + 1 2(t − s ) − 1 . Le reste modulo 4 de N est −1 6= 1.
2. La preuve est similaire. Soit t = 3t0 et s = 3s0 + r. On a N = 3(t0 + s0 ) + r 3(t0 − s0 ) − r ≡
r2 mod 3. Comme modulo 3, on a 12 ≡ (−1)2 ≡ 1, on a nécessairement N ≡ −1 mod 3.
Exercice 4. s0 = 1, s1 = 2, s2 = 5, s3 = 26, . . .
s0 = 1, s2 = 5, s4 = 677, s6 = 1966, . . .
pgcd(1 966 − 26, 2 813) = 97, donc 2 813 = 97 × 29.
Exercice 5. Les puissances inférieures à 10 des nombres premiers sont 23 , 32 , 5 et 7. Le produit
vaut 2 520. 22 520 mod 5 917 = 1 648 ; pgcd(5 917, 1 647) = 61 donc 5 817 = 61 × 97.
Exercice 6. 1. Comme N n’est pas premier, il a un facteur minimal dans l’intervalle [1, r2 ]
donc dans un des intervalles ](i − 1)r, ir], avec 1 ≤ i ≤ r. Ce facteur apparaı̂t dans P (ir) =
ir(ir − 1) · · · (ir − r + 1). Donc f divise P (ir), donc f divise pgcd(P (ir), N ).
2. r = b3 2391/4 c = 8. P (X) = X(X − 1) · · · (X − 7). Les valeurs de P (8i) modulo N sont
1 452, 1 449, 2 353, 3 171, 2 272, 2 272, 2 870, 2 508, 1 473. On trouve pgcd(2 870, 3 239) = 41, donc
3 239 = 41 × 79.
Exercice 7. 1. ∆ = t4 − 4. Si ce n’est pas un carré, alors P n’a pas de racines dans Fp . Comme il
est de degré 2, il est irréductible.
2. α est une racine de P (X) dans le corps Fp [X]/(P ). Le produit des racines est le terme constant
de P (X). L’autre racine est 1/α = αp 6= α, car α 6∈ Fp . D’où αp+1 = 1.
3. En réduisant les coefficients de β A modulo p, on obtient αA . D’après 2. αA = 1, donc
u ≡ 1 mod p, donc p divise u − 1 et v ≡ 0 mod p, donc p divise v.
4. β 2 520 = 1 299 + 1 416β ; pgcd(1 298, 4 661) = pgcd(1 416, 4 661) = 59, donc 4 661 = 59 × 79.
Exercice 8. 1. De l’égalité des sommes de carrés, il résulte que a2 ≡ −b2 mod N et c2 ≡ −d2 mod N .
Comme ST = (ad − bc)(ad + bc) = a2 d2 − b2 c2 ≡ a2 d2 − b2 d2 ≡ d2 (a2 + b2 ) ≡ 0 mod N .
2. T ≤ S résulte de bc > 0. 1 < T résulte de bc < dc < ad. Le lemme xy ≤ 21 x2 + 12 y 2 résulte de
(x − y)2 ≥ 0 avec = 0 si et seulement si x = y. Donc S < 21 (a2 + d2 + b2 + c2 ) = 12 × 2n = n.
3. Il suffit de prouver que 1 < pgcd(T, N ) < N . Or, ST est multiple de N d’après 1. Si T et N sont
premiers entre eux, alors N divise S, ce qui est contradictoire avec S < N . Donc pgcd(T, N ) > 1.
L’autre inégalité résulte de pgcd(T, N ) ≤ T < N .