Plus grand diviseur commun et applications

CHAPITRE 2
Plus grand diviseur commun et applications
I) PGCD de deux entiers
A) Première approche
Soient et deux nombres entiers tels que l’un des deux au moins est non nul. L’ensemble des
diviseurs communs à et à admet un plus grand élément . On l’appelle le PGCD de et et on
note      ou encore     .
Théorème 1 : (et dénition)
Preuve : Si une partie non vide et minorée de ℤadmet un plus petit élément, une partie non vide et
majorée de ℤadmet un plus grand élément. L’ensemble des diviseurs communs à et est bien une
partie non vide de ℤcar elle contient , et elle est aussi majorée car ses éléments sont nécessairement
inférieurs à (et à ). Donc elle admet un plus grand élément, que l’on note .
Exemple : Les diviseurs positifs communs à  et  sont obtenus en croisant les deux listes de
diviseurs.
Pour  :,,,,,,,,,, et .
Pour  :,,, et .
Communs : ,,, et .
Donc     .
Remarque : Puisque l’ensemble des diviseurs communs à et contient au moins , leur PGCD
est nécessairement supérieur (ou égal) à . C’est un élément de ℕ∗.
Soit   ℤ∗. Puisque tous les nombres entiers sont diviseurs de , les diviseurs communs à et 
sont les diviseurs de , et le plus grand diviseur commun est alors . On a donc pour tout entier
non nul ,    . Pour ce qui est de l’éventuel PGCD de et , il n’existe pas car 
admet l’ensemble des entiers pour diviseurs et ce n’est pas une partie bornée.
Pour tout entiers et non simultanément nuls,       ,      ,
et si et sont non nuls et   , alors     .
Proposition 1 :
Preuve : 1) Les diviseurs communs à et sont évidemment les diviseurs communs à et d’où
l’égalité.
2) Les diviseurs de sont les diviseurs de , et de même pour .
3) Si   , puisque   ,fait partie des diviseurs communs à et qui sont tous inférieurs à et
donc     .
Remarque : Le fait que le PGCD de deux entiers soit égal au pgcd de leurs valeurs absolues nous
amène, pour simplier les choses, à eectuer des calculs de PGCD entre nombres entiers naturels.

12 Chapitre 2 : Plus grand diviseur commun et applications
B) Algorithme d’Euclide
Soit ,,et des entiers avec et non simultanément nuls et tels que   . Alors les diviseurs
communs à et sont les diviseurs communs à et et en particulier,       .
Proposition 2 :
Preuve : Soit un diviseur de et , puisque     ,     est une combinaison linéaire de
et et donc . Réciproquement, si divise et ,divise   , c’est à dire .
Puisque les deux ensembles de diviseurs sont les mêmes, leur plus grand élément est aussi le même
et       .
Algorithme : (d’Euclide)
Soient et deux entiers naturels non simultanément nuls. On dénit un ensemble de couples 𝑛 𝑛
en eectuant les divisions euclidiennes successives :
de par :  1 1,  1  et si 1  on continue, sinon on pose 0  et on s’arrête ;
de par 1:  12 2,  2 1et si 2  on continue, sinon on s’arrête ;
de 1par 2:1 23 3,  3 2et si 3  on continue, sinon on s’arrête ;
Hérédité : Soit   ℕ∗,𝑛+1 et 𝑛+1 sont le quotient et le reste dans la division euclidienne de 𝑛−1
par 𝑛si 𝑛+1   on continue, sinon on s’arrête.
Si l’on s’arrête, on note le dernier reste non nul.
Soient et deux entiers naturels non simultanément nuls. L’algorithme d’Euclide associé à et 
est ni et le PGCD de et de est le dernier reste non nul.
Théorème 2 : (Détermination pratique du PGCD)
Preuve : En dénissant la séquence 𝑛, on observe que les termes sont classés en ordre décroissant
strict à cause de la propriété du reste de la division euclidienne. Or entre et 0, il y a au plus 0 
entiers, ce qui signie qu’en descendant d’une unité à chaque étape (la plus petite descente pour une
séquence décroissante), il y a au plus 0  termes distincts et la suite 𝑛est nie1et le dernier
terme est nécessairement .
Si 1 ,  0donc    et       0. Si 1 , d’après la propriété précédente en
notant 𝑛le dernier reste non nul,
      1     𝑛−1 𝑛   𝑛   𝑛
Le PGCD de et est donc bien le dernier reste non nul.
Remarque : On peut écrire l’algorithme
sous la forme d’une fonction de deux va-
riables en utilisant la récurrence (boucle
tant que).
1fonction pgcd (a,b)
2tant que b != 0
3a <- b;
4b <- a%b;
5fin tant que
6retourner a;
7fin
Exercice 1 : Déterminer le PGCD de  et .
1. Une suite nie est une fonction dénie sur une partie nie de ℕ.
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I) PGCD de deux entiers 13
Solution : On utilise l’algorithme d’Euclide en posant les divisions euclidiennes successives suivantes.
       ;       ;       ;       ;       ;;
       ;       ;      .
Le dernier reste non nul étant ,    .
Exercice 2 : On rappelle que la suite de Fibonacci, notée 𝑛est dénie par récurrence par 0
1 , et pour tout entier naturel ,𝑛+2  𝑛+1  𝑛.
1) Calculer le PGCD de 10 et 11.
2) Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci est toujours .
Solution : Commençons par déterminer les premiers termes de la suite. Chaque terme étant obtenu
en faisant la somme des deux termes qui le précèdent, 2 1 0     ,3 2 1
     …
𝑛           
Tab. 2.1 : Les onze premiers termes de la suite de Fibonacci
1) D’après la formule de récurrence, 11  10 9, et puisque 9 10, cette éga-
lité est en fait une division euclidienne et le reste est 9. D’après la propriété du PGCD,
 11 10   10 9    . Mais ce PGCD vaut d’après l’exercice pré-
cédent et donc  11 10  .
2) Constatons pour commencer que puisque 0  et 1 , 1 0  .
La dénition de la suite de Fibonacci implique que tous ses termes soient naturels et non nuls.
Une récurrence double le conrme :
Initialisation : 0   ℕ∗et 1 0.
Hérédité : Soit   ℕ, supposons que 𝑛ℕ∗et 𝑛+1 ℕ∗. Puisque 𝑛+2  𝑛+1  𝑛, on a
bien 𝑛+2 ℕ∗.
Ceci nous permet d’armer que les termes de la suite de Fibonacci sont rangés en ordre croissant
strict à partir du rang . En eet, pour tout entier naturel ,𝑛+2  𝑛+1  𝑛 𝑛+1 car
𝑛 .
Grâce à cela, nous pouvons dire que pour tout entier naturel , l’égalité de récurrence est
en réalité une égalité de division euclidienne : 𝑛+2  𝑛+1 𝑛avec   𝑛 𝑛+1. Ceci
garantit le fait qu’en partant d’un entier naturel   , toutes les égalités de la division euclidienne
de 𝑛+1 par 𝑛(𝑛+1  𝑛 𝑛−1) à la division euclidienne de 2par 1constituent les étapes
de l’algorithme d’Euclide associé à 𝑛+1 et 𝑛.
En conclusion, pour tout entier   , 𝑛+1 𝑛   2 1  .
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14 Chapitre 2 : Plus grand diviseur commun et applications
C) Résultats pratiques
Soient et deux entiers naturels dont l’un des deux au moins est non nul et soit leur PGCD.
Alors pour tout entier relatif ,   et    si et seulement si   , et de plus, est le seul élément
de ℕ∗qui vérie cette équivalence.
Théorème 3 : (Caractérisation du PGCD)
Preuve : On note 0   𝑛les restes successifs (avec 𝑛     ) lors de l’algorithme d’Eu-
clide appliqué à et . D’après la propriété 2, et par récurrence, les diviseurs communs à et sont
aussi les diviseurs communs à et 0, à 0et 1, …, à 𝑛et . Or 𝑛 , et on a donc directement
que les diviseurs communs à et sont les diviseurs de . Donc on a bien l’équivalence :
  ℤ    et       
Supposons maintenant que cette équivalence soit aussi vraie pour un entier naturel non nul :
  ℤ    et       
Puisque , l’implication réciproque donne et . Mais alors on a . En appliquant le
même raisonnement à , on a    et    donc   . Or    et    ne peuvent être toutes les deux
vraies que si   .
Soient ,et trois entiers naturels non nuls. Alors        .
Conséquence 1 : (Factorisation du PGCD)
Preuve : Soit     , puisque    et   ,   et    donc      d’après la
caractérisation du PGCD. Donc il existe un entier tel que       .
Mais      et     , ce qui se réécrit    et   . Mais puisque
est non nul, on a encore    et   , ce qui implique   , et donc   . Ceci permet donc
d’armer que        .
Exemple : Calculons ecacement le PGCD de  et . On remarque que ce sont des multiples de
:     et     . Donc        . On applique l’algorithme
d’Euclide à  et  :       ;      ,      . Le dernier reste est , donc
     et         .
II) Théorèmes de Bézout et de Gauss
A) Coecients de Bézout
Soient et deux entiers relatifs non nuls et soit leur PGCD. Il existe un couple d’entiers relatifs
  tel que     . Un tel couple est appelé coecients de Bézout associés à et .
Théorème 4 : (et dénition)
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II) Théorèmes de Bézout et de Gauss 15
Preuve : Considérons la partie constituée de l’ensemble des entiers naturels non nuls qui peuvent
s’écrire sous la forme    où et sont entiers relatifs. C’est une partie non vide de ℕcar elle
contient  (si   , on a          et sinon,           ). Donc elle admet
un plus petit élément, . Montrons alors que    pour conclure.
Puisque divise et , il divise toute combinaison linéaire de et . Mais    et s’écrit bien sous
la forme d’une combinaison linéaire de et . Donc   .
Écrivons la division euclidienne de par . Il existe deux entiers et tels que    et     .
Mais alors      est une combinaison linéaire de et , autrement dit,   . Mais est le plus
petit élément non nul de , et ceci implique donc que   , et donc   . En appliquant le même
raisonnement à , on obtient   . De ce fait, divisant et divise aussi leur PGCD d’après la
caractérisation, donc en symboles,   .
En conclusion, on a bien    et le théorème est démontré.
Remarque : La démonstration de ce théorème peut aussi s’interpréter de la façon suivante. L’ensemble
des combinaisons linéaires de et de est l’ensemble des multiples de leur PGCD. On écrit cela en
symboles sous la forme ℤ ℤ ℤ.
Exemple : En reprenant l’exemple précédent,     , donc toute combinaison linéaire de
 et  est multiple de , et même mieux, tout multiple de s’écrit comme une combinaison linéaire
de  et de .
Remarque : (algorithme d’Euclide étendu)
Le résultat précédent est encore un théorème d’existence. Si on sait que l’on peut trouver un couple
  qui vérie l’égalité     , on ne sait pas si c’est le seul (on verra que la réponse est non)
et on n’a pas de méthode permettant de le calculer. C’est le but de l’algorithme d’Euclide étendu.
Exemple : On va chercher un couple d’entiers relatifs   tels que    où     .
On commence par appliquer l’algorithme d’Euclide classique.
Donc   . Isolons le reste dans la première puis dans la deuxième égalité :
       [2.1]
       [2.2]
On remplace alors dans [2.2] le coecient  par sa valeur déduite de [2.1] et on fait apparaître 
et  en facteur.
En conclusion, il sut de choisir    et    pour vérier l’égalité. Cette démarche d’isoler les
restes puis de substituer de proche en proche s’appelle l’algorithme d’Euclide étendu.
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