I- DÉRIVATION EN UN POINT 1) Taux de variation 2) Nombre dérivé

COURS N°5 : DÉRIVATION
I-
DÉRIVATION EN UN POINT
1) Taux de variation
Définition : pour toute fonction numérique f définie sur un intervalle I, et a, b deux
réels distincts de I, le taux de variation de f entre a et b est le nombre réel m défini
par :
Remarque : m est le coefficient directeur de la droite passant par les points A et B de
coordonnées respectives (a ; f(a)) et (b ; f(b)).
Exemple :
f est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
√ .
Le taux de variation de f entre 1 et 0 est :
√0 √1
1
0 1
Soient A et B les points de coordonnées
respectives (1, 1) et (0, 0). Le coefficient
directeur de (AB) est égal à 1.
2) Nombre dérivé
a) Définition
f est une fonction définie sur un intervalle I, a et a + h sont deux réels de I.
Notons T(h) le taux de variation de f entre a et a + h :
Définition 1 : soit f une fonction définie sur un intervalle I ; a et a + h deux réels de I.
lim
Le nombre L est appelé nombre dérivé en a de f, on le note f’(a).
Maths – 1ère STI f est dérivable en a, signifie qu’il existe un nombre réel L tel que :
1 COURS N°5 : DÉRIVATION
Remarque : « f’(a) » se lit « f prime de a ».
Exemple : utiliser la définition précédente pour démontrer que la fonction f définie sur
par
2
3 est dérivable en -1. Nous préciserons le nombre dérivé f’(1).
Comportement du taux de variation (
1
0) :
1
1
lim
2
1
1
3
1
2
2
2
Ainsi, f est dérivable en -1 et f’(-1) = 2.
b) Interprétation graphique - tangente
Soit C la courbe représentative, dans le plan muni d’un
repère
; , , d’une fonction f et a un réel appartenant à
son ensemble de définition Df.
Soit un réel h
•
0 tel que a + h appartienne à Df.
de f entre a et a
Le taux de variation
+ h est le coefficient directeur de la droite (AM),
avec
•
;
et ;
.
Si f est dérivable en a, ce coefficient
admet pour limite f’(a) lorsque h
tend vers 0.
Graphiquement, le point M se rapproche de A en restant
sur la courbe C, et la droite (AM) tend à occuper une
position limite . La droite
est la tangente à C au point A.
Définition 2 : soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I. Soit a un réel
de I tel que f soit dérivable en a, de nombre dérivé L = f’(a). On note C la courbe
représentative de f dans un repère orthogonal du plan. La tangente à C au point
Animation « skieur » : http://missiontice.ac-besancon.fr/lp_maths_sciences/tableau_virtuel/maths/geogebra/derivee/pe_nombre_derivee.htm
Maths – 1ère STI A(a ; f(a)) est la droite passant par A de coefficient directeur L.
2 COURS N°5 : DÉRIVATION
Exemple 1 : sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe C représentant la
fonction f ainsi que ses tangentes aux points A, B et C. Déterminer graphiquement les
nombres dérivés de f en 0, 1 et 3.
•
La tangente en A(0 ; 3) a pour coefficient directeur 0,
donc f’(0) = 0.
•
La tangente en B(1 ; 0,5) a pour coefficient directeur
-5, donc : f’(1) = -5.
•
La tangente en C(3 ; 0,5) a pour coefficient directeur
1, donc f’(3) = 1.
Exemple 2 : activité Euler n° 52 (passage de 4 élèves au tableau).
Théorème : soit f une fonction numérique dérivable en un réel a de nombre dérivé
L = f’(a). Soit C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.
L’équation réduite de la tangente
à C au point d’abscisse a est :
.
Démonstration : d’après la définition précédente, la tangente
coefficient directeur f’(a), donc
avec
De plus, comme
à C au point a, a pour
a une équation de la forme :
.
; ce qui donne
∆,
.
On remplace alors dans la première expression :
Exemple : f est la fonction définie sur
par :
. Soit C sa courbe
représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal
On cherche l’équation réduite de la tangente
3
3
lim
3
; , .
à C au point A d’abscisse
² 6
9 9
6
3
3.
6
6
Ainsi, f est dérivable en -3 et f’(-3) = -6.
Maths – 1ère STI On en déduit que l’équation réduite de la tangente à C au point A est :
6
3
9
6
9
3 COURS N°5 : DÉRIVATION
II-
DÉRIVATION SUR UN INTERVALLE – FONCTION DÉRIVÉE
1) Définition
On établit dans cette partie des méthodes de calcul qui permettront de ne pas avoir à
utiliser la définition 1 précédente pour chaque calcul d’un nombre dérivé d’une fonction f en a.
On va voir comment, si une fonction est dérivable pour toutes les valeurs d’un intervalle, on
peut établir une formule de calcul pour tous les nombres dérivés de cette fonction sur cet
intervalle.
Exemple : soit la fonction f définie sur
par f(x) = x² et dérivable sur
. Etudions la
dérivabilité de f en a, sans donner de valeur numérique à a.
²
lim
2
2
On en déduit que la fonction f est dérivable pour tout réel a et que le nombre dérivé de
f en a est f’(a) = 2a.
On peut donc facilement déterminer le nombre dérivé d’un réel quelconque, sans avoir a
effectuer le développement de f(a + h) : f’(2) = 4 ; f’(-3) = -6 ; f’( 5) = 2 5…
Définition : soit f une fonction définie un intervalle I. f est dite dérivable si et
seulement si, pour tout a
I, f admet un nombre dérivé en a. La fonction définie sur I
qui, à tout réel a de I, associe le nombre dérivé de f en a est appelée fonction dérivée
de f. Cette fonction est notée f’.
Exemple : la fonction f : x
x² est dérivable sur
et f’ : x
2x.
2) Fonctions dérivées des fonctions usuelles
A partir de la définition et par le même type de calcul que celui fait dans l’exemple du
Maths – 1ère STI paragraphe précédent, on démontre les résultats suivants que l’on admettra ici.
4 COURS N°5 : DÉRIVATION
Fonction f définie sur :
Par :
Fonction dérivée f’
définie par :
Dérivable sur :
(n entier
strictement positif)
∞, 0 0, ∞
n entier
∞, 0 0, ∞
strictement positif
0, ∞
∞, 0
0, ∞
∞, 0
0, ∞
²
0, ∞
√
√
3) Opérations sur les fonctions dérivables
a) Résultats
Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. On admettra les
résultats suivants :
Opération
Fonction définie
sur :
Addition
I
Multiplication
par un réel
I Multiplication
I Carré
I Dérivable sur :
I avec
I I 0 I
0 Inverse
I
0 I
0 é
I
é
²
²
Maths – 1ère STI ²
I
I
Fonction dérivée
définie par :
I Division
Fonction
composée
Par :
5 COURS N°5 : DÉRIVATION
b) Exemples
Applications : activités Euler n° 30 ; 31 ; 33 ; 1481 ; 1483 ; 1485 ; 1487 ;
1489 ; 1491 ; 1516 ; 1586.
2 exercices par activité (24 exercices à faire en classe ou à la maison).
III- NOTATION DIFFÉRENTIELLE
En physique, on utilise souvent une autre notation pour la dérivée : la fonction dérivable f de la
variable x est considérée comme une grandeur f qui varie lorsque la grandeur x varie. Le taux
∆
. La limite de ce taux, quand ∆ tend vers 0,
de variation de f par rapport à x est alors noté
∆
la fonction f par rapport à la grandeur x est alors noté
. Cette notation est appelée notation
différentielle ou notation de Leibniz (mathématicien, 1646 – 1716).
(a). La fonction dérivée de
Maths – 1ère STI x restant proche de a, est le nombre dérivée de f en a et noté
6 COURS N°5 : DÉRIVATION
Exemples :
→ En électricité : dans un circuit électrique, un condensateur, de capacité C, soumis à une
tension u(t), est parcouru par un courant i(t), et on a la relation :
→ En mécanique : la vitesse instantanée v est la dérivée par rapport au temps de la
fonction qui, à l’instant t, associe la distance parcourue x(t). On note v =
La vitesse à l’instant t0 s’écrit v(t0) =
De même, l’accélération
IV-
.
(t0).
est la dérivée de la fonction vitesse v :
=
.
APPROXIMATION D’UNE FONCTION PAR UNE FONCTION
AFFINE
1) Approximation affine de la fonction h
de 0
Soit f la fonction définie sur
(1 + h)² au voisinage
par f(h) = (1 + h)². On a (1 + h)² = 1 + 2h + h²
Si | | est proche de 0 alors h² est négligeable par
rapport à 2h.
y = (1 + h)² Aussi pour des valeurs de h proche de 0, 1 + 2h est
une approximation de (1 + h)². L’erreur commise est
égale à h².
Si | |
y = 1 + 2h alors l’erreur commise est inférieure à
10
-4
10 .
1,001
1
2
0,01 1,001²
1,002
Pour h proche de 0, la droite d’équation y = 1 + 2h est
une « bonne » approximation de la courbe
h
représentative de la fonction (1 + h)², on a donc :
1 + 2h
Maths – 1ère STI (1 + h)²
7 COURS N°5 : DÉRIVATION
2) Approximation affine de la fonction h
de 0
Soit f la fonction définie sur
(1 + h)3 au voisinage
par f(h) = (1 + h)3.
On a (1 + h)3 = 1 + 3h + 3h2 + h3.
Si | | est proche de 0 alors 3h2 et h3 sont négligeables par rapport à 3h. Aussi pour des valeurs
de h proche de 0, 1 + 3h est une approximation de (1 + h)3. L’erreur commise est égale à 3h²+
h3.
3) Approximation affine de la fonction h
de 0
1 / 1 + h au voisinage
4) Approximation affine de la fonction h
√
Applications : TP livre p. 95
Maths – 1ère STI au voisinage de 0
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