probabilité paramètres 13

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VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
LOI NORMALE.
A. Variable aléatoire continue.
Exemple : Le jeu consiste à trouver un nombre compris entre 1 et 10.
• 1ère situation.
On considère la variable aléatoire X égale à un nombre entier compris entre 1 et 10.
Soit x0 le nombre choisi. La probabilité de trouver ce nombre est P(X = x0) = 1
10.
Le nombre de valeurs prises par X est fini. C’est une variable aléatoire discrète.
• 2ième situation.
On considère la variable aléatoire X égale à un nombre réel compris entre 1 et 10.
Soit x0 le nombre choisi. La probabilité de trouver ce nombre est P(X = x0) = 0.
L’ensemble des valeurs prises par X est un intervalle (ensemble infini, non dénombrable de réels).
On ne peut pas dans ce cas définir la loi de probabilité de X avec des nombres P(X = xi).
La variable aléatoire X est dite continue.
Dans cette situation on va se servir de l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe
représentative d’une fonction f appelée densité de la variable aléatoire X.
On va définir la densité f de la manière suivante : 
si x < 1 alors f(x) = 0
si 1 ≤ x ≤ 10 alors f(x) = 1
9
si x > 10 alors f(x) = 0
P(X ≤ 4) = 1
9 × 3 = 1 3 ; P(X ≤ 5,5) = 1 9 × 4,5 = 4,5 9 = 0,5; P(X ≤ 7) = 1 9 × 6 = 6 9 = 2 3
Plus généralement : 
pour x < 1 alors P(X ≤ x) = 0
pour 1 ≤ x ≤ 10 alors P(X ≤ x) = 1
9 × (x – 1) = 1 9 x – 1 9
pour x > 10 alors P(X ≤ x) = 1
A.1. Définition d’une variable aléatoire continue.
Définition : Soit Ω un univers.
On dit qu’une variable aléatoire X est continue si l’ensemble des valeurs de X est un intervalle I de IR.

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A.2. Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue.
Définition. On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X, l’application F définie par :
F : IR → [0 ; 1]
x → P(X ≤ x).
Remarque : L’application F est définie par : F(x) = P(X ≤ x).
Propriétés : Soient a et b deux réels d’un intervalle I de IR.
• P1 – P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) = 1 – F(a).
• P2 – P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a).
• P3 – La fonction F est croissante.
• P4 – lim
x  –  F(x) = 0 et lim x  +  F(x) = 1 (admis)
• P5 – La fonction F est continue sur IR. (admis)
Démonstration.
• Les évènements "X ≤ a" et "X > a" sont disjoints (ou incompatibles) et leur réunion est Ω
par conséquent : P(X ≤ a) + P(X > a) = P(Ω) = 1, d’où P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) = 1 – F(a).
• Les évènements "X ≤ a" et "a < X ≤ b" sont disjoints (ou incompatibles) et leur réunion est
"X ≤ b" par conséquent : P(X ≤ a) + P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b). On obtient donc :
P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a).
• F est une fonction croissante, en effet :
pour tous réels a et b tels que a < b, on a F(b) – F(a) = P(a < X ≤ b) qui est un nombre positif.
Il s’ensuit que F(a) < F(b) ; la fonction F est donc croissante sur IR.
A.3. Densité de probabilité d’une variable aléatoire continue.
Définition. Une fonction f définie sur IR est une densité de probabilité si :
• Pour tout réel x, f(x) ≥ 0.
• f est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points.
• 
– ∞
+ ∞ f(t)dt = 1
Propriété. Soit X une variable aléatoire continue et F la fonction de répartition de X.
• La dérivée de F sur IR est une densité de probabilité de X notée f.
• La fonction F est la primitive de f définie par F(x) = 
– ∞
x f(t)dt.

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Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par :
f(x) = 0 si x < 0
f(x) = 1
3 si x  [0 , 3[
f(x) = 0 si x ≥ 3
a. La fonction f est-elle une densité de probabilité ?
f est bien une densité de probabilité car elle vérifie tous les critères de la définition :
• pour tout réel x : f(x) ≥ 0 car f(x) = 0 ou f(x) = 1
3.
• f est continue sauf en 0 et en 3.
• 
– ∞
+ ∞ f(x) dx = 
0
3 1
3 dx = 
1
3 x 3
0 = 1
b. Représentons la fonction de répartition F :
Comme F(x) = 
– ∞
x f(t)dt
Interprétation géométrique.
Soit X une variable aléatoire continue, f sa densité de probabilité et C la courbe représentative
de f dans un repère orthogonal du plan.
• La courbe C se trouve au dessus de l’axe des abscisses et l’aire de la surface comprise entre
C et l’axe des abscisses vaut 1 unité d’aire.
• Pour tout réel a et b on a : P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a) = 
– ∞
b f(t)dt – 
– ∞
a f(t)dt = 
a
b f(t)dt.
Cette probabilité est l’aire de la surface comprise entre C , l’axe des abscisses et les droites
verticales d’équation x = a et x = b.
• Pour tout réel a, on a : P(X = a) = 0

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A.4. Valeurs caractéristiques d’une variable aléatoire continue.
Définition 1. L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X est le nombre réel noté
E(X), défini par : E(X) = 
– ∞
+ ∞ x f(x)dx.
On suppose que l’intégrale existe.
Définition 2. On appelle variance de X, le nombre réel positif noté V(X), défini par :
V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 
– ∞
+ ∞ x2 f(x)dx – [E(X)]2.
Définition 3. L’écart-type de X noté σ(X), est la racine carrée de la variance : σ(X) = V(X)
B. Loi Normale.
Soit X une variable aléatoire continue d’espérance mathématique m. Dans beaucoup d’expériences
aléatoires, la fréquence d’apparition des valeurs de X se fait de façon symétrique par rapport à m et elle
est plus grande pour les valeurs proches de m. Ceci se traduit par une densité de probabilité dont la courbe
représentative est une courbe en cloche appelée courbe de Gauss.
B.1. Définition.
On dit qu’une variable aléatoire continue X, d’espérance mathématique m et d’écart-type σ (σ > 0),
suit la loi normale ou loi de Laplace-Gauss de paramètres m et σ, lorsque sa densité de
probabilité f est définie sur IR par : 2
– 1
2 
x - m
σ
f(x) = 1
σ2 e
En abrégé, on peut écrire : X suit la loi N (m ; σ)
ou : X N (m ; σ)
Représentation graphique de la densité f pour m = 2 et σ = 2
x = 2
Courbe de Laplace-Gauss : l’aire sous la courbe vaut 1 et F(x) = 
– ∞
x f(t)dt = P(X ≤ x).
A retenir : Si une variable aléatoire suit la loi normale N (m ; σ) alors :
• E(X) = m • V(X) = σ2 • σ(X) = σ.

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B.2. Loi normale centrée réduite.
Définition. Si les paramètres d’une loi normale sont respectivement 0 et 1, alors on dit que la loi
normale est centrée réduite. On la note N (0 ; 1).
Conséquence. La densité de probabilité associée à la loi normale N (0 ; 1) est la fonction f définie par :
– x²
2
f(x) = 1
2 e
Remarque. Dans ce cas la densité est une fonction paire et sa courbe Cf admet l’axe des ordonnées
pour axe de symétrie.
Théorème. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (m ; σ).
En effectuant le changement de variable : T = X – m
σ
On obtient une nouvelle variable aléatoire, notée T, qui suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1)
Démonstration. Est-ce bien utile ?
Définition. Soit T la variable aléatoire qui suit la loi normale N (0 ; 1).
La fonction de répartition Π de T est définie par l’intégrale : Π(t) = P(T ≤ t) = 
– ∞
t f(x)dx
– x²
2
avec bien sur : f(x) = 1
2 e