Exercice II (5 points) (Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité).
La suite (un) est définie sur R par: u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 =
.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un
0.
Soit P(n) la propriété : «
, pour tout entier naturel n. »
Initialisation : P(0) est vraie , car
.
Hérédité : supposons la propriété P(n) vraie pour un certain entier naturel n et montrons que
P(n+1) est aussi vraie.
On a , un+1 =
.Donc
, car
par hypothèse de récurrence et
.
Ainsi P(n+1) est vraie.
Conclusion : Pour tout entier naturel n , un
0.
2. Démontrer que la suite (un) est décroissante.
Soit n un entier naturel quelconque,
3)3(2
3
2
1
nnuu
u
nu
uu nn
n
n
nn
.
. On sait que
et un
0 ,pour tout n de N ,
donc
et la suite (
) est décroissante.
Que peut-on en déduire relativement à la convergence de cette suite?
La suite
est décroissante et minorée par zéro donc ,par thérorème,elle est convergente.
3a) Démontrer par récurrence que la suite (un) est définie par:
.
Soit P(n) la propriété : «
, pour tout entier naturel n. »
Initialisation : P(0) est vraie ; en effet ,
et
Hérédité : supposons la propriété P(n) vraie pour un certain entier naturel n
et montrons que P(n+1) est aussi vraie.Montrons que
un+1 =
.L’hypothèse de récurrence permet de remplacer
par
.
On obtient :
=
, C.Q.F.D.
Conclusion : Pour tout entier naturel n ,