Correction du bac blanc de mathématiques-dec 2006 - TS2 Exercice I (4 points) (Pour tous les candidats) Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point, une absence de réponse n'est pas sanctionnée. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Aucune justification n’est demandée. 1 1 .Réponse C Soit F une primitive sur R de la fonction x La dérivée surR de la fonction h : x La fonction :x ex 1 (le calcul de F n'est pas demandé). 3 F(3x+5) est la fonction: x e 3x 5 1 . F(3x+5) est dérivable sur R comme composée de deux fonctions dérivables sur R ; en appliquant le théorème sur la dérivation d’une fonction composée, on obtient : h’(x) =3 F’(3x + 5 )= 3 1 e 3 x 5 1 3 e 3 x 5 1 x2e x 2. Réponse B Une primitive sur R de la fonction f ,x 3 1 est définie par: x 1 x3 1 e 3 La fonction f est continue sur R donc, par théorème, elle admet des primitives sur R . Soit F une primitive de f sur R. f est de la forme Donc F est de la forme 1 u 'e u avec u( x) x 3 1 . 3 3 1 u 1 e , soit F(x)= e x 1 pour tout xde R. 3 3 3.Réponse B La solution de l'équation différentielle y ' + 2y = 5 et qui vérifie la condition y '(1) = -1 est définie sur R par: x e2 2 x 5 2 L’équation différentielle est de la forme y ' ay b avec a 2 et b 5 . D’après le cours, les solutions de cette équation différentielle sont définies par f ( x) f ' ( x) 2ke2 x . f ' (1) 1 2ke2 1 k 5 ke 2 x où k R. 2 e2 5 e 2 2 x . f ( x) . 2 2 4.Réponse D f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a est un élément de I. Pour que f soit dérivable sur I, il faut et il suffit que pour tout réel h tel que a+h appartienne à I, on ait: . f(a+h) = f(a) + hf '(a) + h(h), avec ;lim (h) = 0. h 0 Exercice II (5 points) (Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité). 2un . n3 La suite (un) est définie sur R par: u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un 0. 1. Soit P(n) la propriété : « u n 0 , pour tout entier naturel n. » Initialisation : P(0) est vraie , car u 0 2 0 . Hérédité : supposons la propriété P(n) vraie pour un certain entier naturel n et montrons que P(n+1) est aussi vraie. On a , un+1 = 2un .Donc n3 u n 1 0 , car u n 0 par hypothèse de récurrence et 2n 3 0 . Ainsi P(n+1) est vraie. 2. Conclusion : Pour tout entier naturel n , un 0. Démontrer que la suite (un) est décroissante. Soit n un entier naturel quelconque, u n1 u n u n1 u n 2u n 2u u n (n 3) . un n n3 n3 u n (n 1) n 1 0 et un 0 ,pour tout n de N , . On sait que n3 n3 donc u n1 u n 0 et la suite ( u n ) est décroissante. Que peut-on en déduire relativement à la convergence de cette suite? La suite (u n ) est décroissante et minorée par zéro donc ,par thérorème,elle est convergente. 3a) Démontrer par récurrence que la suite (un) est définie par: Soit P(n) la propriété : « un 2n 2 . (n 2)! 2n 2 , pour tout entier naturel n. » (n 2)! 2 0 2 4 2 Initialisation : P(0) est vraie ; en effet , u 0 2 et 2! 2 Hérédité : supposons la propriété P(n) vraie pour un certain entier naturel n et montrons que un+1 = P(n+1) est aussi vraie.Montrons que u n1 2un .L’hypothèse de n3 On obtient : u n1 un 2 n 3 (n 3)! récurrence permet de remplacer u n par 2 2 n2 2 n 3 = u n1 , C.Q.F.D. n 3 (n 2)! (n 3)! Conclusion : Pour tout entier naturel n , un 2n 2 (n 2)! 2 n2 . (n 2)! n b)En déduire que, pour tout entier naturel n, n 1, un 2 . 3 2 2n 2 Pour tout entier naturel n , un (n 2)! 2 n1 2n . 2 2 (n 2)! (n 2) (n 1) n ...... 3 Quel que soit l’entier naturel p , 3 p n 2 , on peut écrire : 1 1 . p 3 En multipliant ces n inégalités , ce qui est possible car elles ne portent que sur des nombres strictement 1 1 positifs, on a : ( )n . (n 2) (n 1) n .......... 3 3 En multipliant de chaque côté par 2 2 n , qui est positif, n 2 2n 2n 2 2 n , c’est-à-dire :un 2 . 3 (n 2) (n 1) n .... 3 3 c)Calculer la limite de la suite (un). 2 D’après la question 1 et la question 3a). pour tout n de N , 0 u n 2 ( ) n . 3 2 2 1;1 donc la limite de la suite géométrique de terme général ( ) n est égale à zéro. 3 3 En appliquant le théorème des gendarmes , on obtient : lim u n 0 n Exercice III (5 points) (Pour tous les candidats) Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O, u , v ) ) (unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives zA = 2, zB = 1 + i 3 et zC = 1 - i 3. Partie A 1. a) Donner la forme exponentielle de zB puis de zC . i 1 3 zB = 1 + i 3 ; z B 1 3 2 . zB =2 ( i )= 2(cos i sin ) = 2e 3 . 3 3 2 2 zC = 1 - i 3; zB et zC sont des nombres complexes conjogués donc z B zC 2 et arg (zC)= . zC =2ei 3 3 b) Placer les points A, B et C . 2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. z = 1+i 3 et z z A z C 2 1 i 3 1 i 3 . Les vecteurs OB et CA ont la mëme affixe donc ils sont CA OB égaux et le quadrilatère OBAC est un parallélogramme.De plus, zC z B 2 , OB=OC=2. Le quadrilatère OBAC étant un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux est un losange. 3. Déterminer et construire l'ensemble D des points M du plan tels que |z| = |z - 2|. M D |z| = |z - 2| OM AM . L’ensemble D des points M du plan est donc la médiatrice du segment OA . Le quadrilatère OBAC étant un losange, on a : OB=AB et OC=AC , les points B et C appartiennent à D et l’ensemble D est la droite (BC). Partie B A tout point M d'affixe z tel que z zA , on associe le point M’ d'affixe z ' défini par z ' = Error!. 1. a) Résoudre dans C l'équation z = Error!. Soit z z A , z est solution de l’équation z = Error! si et seulement si z 2 2 z 4 0 . Il s’agit de résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels . 12 et 12 2 3 . L’équation admet deux solutions conjuguées distinctes , z1 1 i 3 z B et z 2 1 i 3 zC . b) En déduire les points associés aux points B et C. Les nombres complexes z B et z C sont les solutions de l’èquation z ' z donc les points associés aux points B et C sont respectivement les points B et C eux-mêmes. c) Déterminer et placer le point G ' associé au centre de gravité G du triangle ABC. Par définition du centre de gravité d’un triangle, l’affixe du point G est égale à : z G Après simplification , on peut écrire : z G 2. a) z A z B zC . 3 4 et z G ' 6 3 Question de cours: _ _ Prérequis: le module d'un nombre complexe z quelconque, noté |z|, vérifie |z|² = z. z où z est le conjugué de z. Démontrer, à l'aide des prérequis, que: b) pour tous nombres complexes z1 et z2 , |z1 z2| = | z1 || z2|, pour tout nombre complexe z non nul, Démontrer que pour tout nombre complexe distinct de 2, |z ' - 2| = z '2 c) 1 1 . Voir le cours. z z 2z z2 . 2z 4 2z . 2 z2 z2 z2 On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D , où D est l'ensemble défini à la question 3. de la partie A. Démontrer que le point M’ associé à M appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. Tracer . Si M (z) est un point de D, alors z z 2 . La question précédente nous permet d’écrire que , dans ce cas , z'2 2 . Cette dernière égalité peut aussi s’écrire :AM’=2 ,où M’ est le point d’affixe z’ . M’ appartient donc au cercle de centre A et de rayon ègal à 2. Exercice IV (6 points) (Pour tous les candidats) Partie A x 3e 4 Soit f la fonction définie sur Ë par f(x) = a) x 2 e4 3 Démontrer que f(x) = 1 2e b) x 4 . x x 4 3e f(x) = . x 2 e4 = e4 3 x 4 3 = x 4 e (1 2e ) 1 2e x 4 pour tout x de R Étudier les limites de f en + et en -. x x x 4 4 (1 2e ) 1 , d’après le théorème sur les limites des fonctions composées. donc xlim lim e X 0 X lim Ainsi, lim f ( x) 3 . x x x x 4 4 donc lim e , d’après le théorème sur les limites des fonctions composées. x x lim e x lim x 4 Ainsi, lim (1 2e ) et lim f ( x) 0 x x c) Étudier les variations de la fonction f. f est dérivable sur R comme quotient de deux fonctions dérivables sur R . x f ' ( x) 3 1 4 e 2 (2e x 4 1) 2 3 2 e (2e x 4 x 4 1) . Comme l’exponentielle est une fonction strictement positive , 2 f ' ( x) 0 .pour tout x réel et la fonction f est strictement croissante sur R. Justifier que, pour tout réel appartenant à l'intervalle ]0 ; 3[ l'équation f(x) = admet une solution unique dans R La fonction f est continue et strictement croissante sur R et l’intervalle image de R par la fonction f est d) l’intervalle ]0 ;3[. Du théorème des valeurs intermédiaires, on déduit que , pour tout réel de l’intervalle ]0 ;3[. l’équation f(x) = admet une unique solution dans R . Partie B 1. On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0 ; +[ dans Ë. La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0 ; +[, de l'équation différentielle (E1) y ' = Error!. a) Résoudre l'équation différentielle (E1). Les solutions de l’équation différentielle y’ = a y sont de la forme : x keax où k est un réel. x On a : (E1) y ' = Error!.Les solutions de (E1) sont.par conséquent, de la forme : x ke 4 ,où k est un réel. b)Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire g(0) = 1. t t g solution de (E1) et g (0) 1 équivaut à g(t)=ke 4 et g(0)=1 ,soit k=1.Ainsi, g (t ) e 4 . c) Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ? On utilisera la propriété suivante: pour deux nombres réels a et b, b > 0, la relation ea > b équivaut à a > ln b et le nombre ln b se calcule à l'aide de la touche LN de la calculatrice. On cherche à résoudre l’inéquation suivante : g (t ) 3 . t t ln 3 et t 4 ln 3 . 4 Or , 4 ln 3 4,39 . Finalement , après 5 ans , la population des rongeurs dépassera les 300 individus. On a donc : e 4 3 soit , d’après la propriété rappelée plus haut : 2. En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions: u (t ) u (t ) 2 pour tout nombre t positif ou nul, u '(t ) (E2) 4 12 u (0) 1 où u' désigne la fonction dérivée de u. a) On suppose que, pour tout nombre réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l'intervalle [0 ; +[, la fonction h définie par h = Error!. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions: 1 1 pour tout nombre t positif ou nul, h '(t ) h(t) + (E3) 4 12 h(0) 1 où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h. On a : h(t ) 1 , sur R+ . u (t ) Comme u vérifie (E2), on sait que u est dérivable sur R+. De plus , u (t ) 0 sur R+ : Par suite , h est dérivable sur R+ : Ainsi, h' (t ) u vérifie (E2) équivaut à u ' (t ) u ' (t ) . u 2 (t ) u (t ) u 2 (t ) et u (0) 1 . 4 12 u vérifie (E2) équivaut à h' (t ) 1 u (t ) u 2 (t ) ( ) ( on a remplacé u’(t)dans l’expression de h’(t) ) 12 u 2 (t ) 4 et h(0) 1 1 , car u (t ) 0 sur R+ . u (0) 1 1 1 u vérifie (E2) équivaut à h' (t ) et h(0) 1 4 u (t ) 12 1 1 u vérifie (E2) équivaut à h' (t ) h(t ) et h(0) 1 . 4 12 Finalement , u vérifie (E2) équivaut à h vérifie (E3) b) Donner les solutions de l'équation différentielle y ' = -Error!y + Error! et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u. Les solutions de l’équation différentielle y’=ay+b sont de la forme : x keax b ,où k est un réel. a Les solutions de l’équation différentielle y ' = -Error!y + Error! sont de la forme : x ke x 4 1 ,où k R 3 h est solution de l’équation différentielle y ' = -Error!y + Error! et vérifie h(0)=1. On en déduit que h(t ) ke 1 t 4 1 et h(0)=1. 3 2 1 2 1 k . D’où h(t ) e 3 3 3 1 3 Puis , u (t ) . t h(t ) 1 2e 4 h(0)=1 k t 4 1 1 2e 3 3 t 4 . c)Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + ? On remarque que u (t ) f (t ) sur R+.D’après la question Ab), lim f ( x) 3 , donc lim u (t ) 3 . x En conclusion, la taille de la population des rongeurs plafonne à 300 individus. t