BTS MI 2010 Maths

BTS MI 2010 Maths CFAI
CFAICFAI
CFAI
GROUPEMENT B DES BTS Session 2010
Mathématiques MATGRB
Durée : 1 heure Page 1 sur 5
CORRIGE
EXERCICE 1
A) Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle
( )
E
:
2
x
y y e x
′
− = −
où
y
est une fonction de la variable réelle
x
, définie et dérivable sur
ℝ
, et
y
′
sa fonction
dérivée.
1° Déterminer les solutions de l’équation différentielle
0
( )
E
:
0
y y
′
− =
Nous avons
( ) 1
a x
=
et
( ) 1
b x
= −
Nous recherchons alors une primitive de ( )
1
( )
b x
a x
= −
Nous obtenons : ( )
G x x
= −
La solution de l’équation différentielle
0
( )
E
s’écrit
( )
( )
G x x
f x ke ke
−
= =
2° Montrer que la fonction
( ) 2 2
x
g x xe x
= + +
, définie sur
ℝ
est une solution particulière
de l’équation différentielle
( )
E
.
( ) 2 2
x
g x xe x
= + +
donc
'( ) 2
x x
g x e xe
= + +
On remplace
'
y
par
'( )
g x
et
y
par
( )
g x
dans l ’ équation
( )
E
:
2 ( 2 2) 2
x x x x
x x
e xe xe x e x
e xe
+ + − + + = −
+2+
x
xe −2 2 x − −
2
2 2
x
x x
e x
e x e x
= −
− = −
On a donc démontré que la fonction
( )
g x
est une solution particulière de
( )
E
.
3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle
( )
E
.
( ) ( ) ( ) 2 2
x x
y x f x g x ke xe x
= + = + + +
4° Condition initiale
(0) 3
f
=
.
0 0
(0) 0 2 0 2 2
y ke e k
= + + × + = +
et on sait que
(0) 3
y
=
donc
2 3
k
+ = ⇒
1
k
=
On en déduit
1
k
=
et, par conséquent, la solution qui vérifie la condition initiale s’écrit :
( ) 2 2 ( 1) 2 2
x x x
y x e xe x x e x
= + + + = + + +

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B) Etude de fonction
1)
lim ( ) lim ( 1) 2 2
x
x x
f x x e x
→+∞ →+∞
= + + + = +∞
2) Asymptote en
−∞
: Réponse B (
2 2
y x
= +
)
3) a) Développement limité :
D’après le formulaire, le DL de
x
e
à l’ordre 2 au voisinage de 0 s’écrit :
22
1 ( )
2
x
x
e x x x
ε
= + + + avec
0
lim ( ) 0
x
x ε
→
=
D’où
22
( 1) ( 1) 1 ( )
2
x
x
x e x x x x
ε
+ = + + + + avec
0
lim ( ) 0
x
x ε
→
=
22 2
( 1) 1 ( )
2
x
x
x e x x x x x
ε
+ = + + + + + avec
0
lim ( ) 0
x
x ε
→
=
en en gardant que les termes d’ordre
inférieur à 2
22
3
( 1) 1 2 ( )
2
x
x
x e x x x
ε
+ = + + + avec
0
lim ( ) 0
x
x ε
→
=
Donc
22
3
( 1) 2 2 1 2 2 2 ( )
2
x
x
x e x x x x x
ε
+ + + = + + + + + avec
0
lim ( ) 0
x
x ε
→
=
22
3
( 1) 2 2 3 4 ( )
2
x
x
x e x x x x
ε
+ + + = + + + avec
0
lim ( ) 0
x
x ε
→
=
b) Equation de la tangente :
3 4
y x
= +
(réponse B )
c) On étudie le signe de
2
3
2
x
: pour tout
x
,
2
3
0
2
x
≥
donc la courbe C est au dessus de la
tangente T (réponse A )
C) Calcul intégral
1)
( )
1
12 2 2
11
(2 2) 2 1 2 1 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 4
I x dx x x
−−
= + = + = + × − − + × − = − − =
∫
2)
1
1
( 1)
x
J x e dx
−
= +
∫
on pose
1
u x
= +
et '
x
v e
=
donc
' 1
u
=
et
x
v e
=
[ ]
1 1 1
1
1
11
1 1 1
( 1) ' ( 1)
x x x
J x e dx u v u vdx x e e dx
−−
− − −
= + = × − × = + −
∫ ∫ ∫
On calcule
1
1 1 1
1
( 1) 2 0 2
x
x e e e e
−
−
+ = − =

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On calcule
11
1 1
1
1
x x
e dx e e e
−
−
−
= = −
∫
On en déduit :
(
)
1
1 1 1 1 1
1
( 1) 2
x
J x e dx e e e e e
− −
−
= + = − − = +
∫
3) a)
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
( ) (( 1) 2 2) ( 1) (2 2) 4
x x
K f x dx x e x dx x e dx x dx I J e e
−
− − − −
= = + + + = + + + = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
4
K e e
−
= + +
b) Valeur arrondie à 10
-2
:
7.09
K
=
c) K représente l’aire en unité d’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C
représentative de la fonction
( )
f x
et les droites d’équation
1
x
= −
et
1
x
=
.

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EXERCICE 2 :
A – Loi binomiale et loi de Poisson
1) a) On répète 30 fois la même épreuve aléatoire à 2 issues :
- succès (bouteille non conforme) avec une probabilité
0.02
p
=
- échec (bouteille conforme) avec une probabilité
1 0.98
q p
= − =
.
Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. Les épreuves sont indépendantes les
unes des autres.
La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale B(30 ; 0.02).
b) Calcul de
( 1)
P X
≤
:
0 0 30 1 1 29
30 30
( 1) ( 0) ( 1)
0.02 0.98 0.02 0.98
0.545 0.334
0.879
P X P X P X
C C
≤ = = + =
= × × + × ×
= +
=
Soit
( 1) 0.879
P X
≤ =
2)
a)
30 0.02 0.6
n p
λ
= × = × =
b) Calcul de
( 1)
P Y
≤
( 1) ( 0) ( 1)
0.5488 0.3293
0.8781
P Y P Y P Y
≤ = = + =
= +
=
Soit
( 1) 0.878
P Y
≤ =
B – Loi normale
La variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne 70 et d’écart type 1 donc la variable
aléatoire
70
1
Z
T
−
= suit la loi normale centrée réduite.
1) Calcul de
(68 72)
P Z
≤ ≤
:

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68 70 70 72 70
(68 72) 1 1 1
( 2 2)
2 (2) 1
2 0.9772 1
0.9544
0.95
Z
P Z P
P T
− − −
≤ ≤ = ≤ ≤
= − ≤ ≤
= Π −
= × −
=
≈
Soit
(68 72) 0.95
P Z
≤ ≤ ≈
3) Calcul de h :
70 70 70 70
(70 70 ) 0.99 0.99
1 1
( ) 0.99
2 ( ) 1 0.99
( ) 0.995
2.58
h h
P h Z h P T
P h T h
h
h
h
− − + −
− ≤ ≤ + = ⇒≤ ≤ =
⇒− ≤ ≤ =
⇒Π − =
⇒Π =
⇒=
Soit
2.58
h
=
C – Intervalle de confiance
1)
2 ( ) 1 0.95 ( ) 0.975 1.96
t t t
Π − = ⇒Π = ⇒=
Intervalle de confiance :
[
[[
[ ]
]]
]
1 1
- ; 70.12-1.96 ;70.12 1.96 69.92;70.32
100 100
s s
I x t x t
n n
= + = + =
= + = + == + = + =
= + = + =
2) Cette affirmation est fausse.