Angles _trigo

Angles et Trigonométrie
I º] Rappels : repérage d'un point sur le cercle trigonométrique
– Le sens direct est aussi appelé sens trigonométrique ou sens positif.
– Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct.
En enroulant l'axe des réels
chaque réel « b » marque sur
le cercle un point unique B
B est le point associé au réel
« b » et on le note alors M(b)
.
Le réel 2π est représenté par
le point …...
Tous les réels repérant le
point B sont de la forme
b + ………… ,
k étant un entier relatif
(… …..représente un tour
complet puisque le rayon vaut
1 ) ,
On les appelle ces réels b les
abscisses curvilignes de B .
Pour indiquer que deux
nombres diffèrent d'une
valeur de 2
π
.
c’est à dire si x – y = 2 k
π
avec k entier relatif , on notera x = y + 2kπ k
∈
ℤ
Exemples
π
= 11
π
+2kπ k
∈
ℤ
car 11π = π +…..
×
2π ;
5
3
π
−
= …… + 2kπ k
∈
ℤ
1º ) Compléter les pointillés sur le schéma ci–dessus en donnant dans chaque cas la valeur la
plus proche possible de 0
2º ) Donner deux autres valeurs possibles pour repérer le point F. ………… …………….
Quel est la mesure en degré de l’angle
AOE
? ………. puis de l’angle
AOM
= ……
II º] Le radian
Soit C un cercle de centre O de rayon 1 .
La mesure x en radian d’un angle géométrique de sommet O est la longueur de l’arc du
cercle C de rayon 1 intercepté par cet angle .
Quel est la mesure en radian de l’angle
AOE
? ………. puis de l’angle
AOM
= ………
En radians un angle plat mesure …… mod [ 2π ] . Donc 180 degrés = …… rad
45 degrés = …….. rad
Remarques :Propriété
Soit C un cercle de rayon R de centre O, Soit A et B deux points de ce cercle
Et soit l’angle α entre les demi-droites [OA) et [OB) exprimé en radian
alors la longueur de l’arc direct
AB
est L = …….……avec L et R exprimés
dans la même unité.
Si , de plus , R = 1 alors L = ……
III º] Angle orienté de deux vecteurs
Définition
Soit
u
et
v
deux vecteurs unitaires c’est à dire de norme 1 (||
u
|| = 1 et ||
v
|| = 1 )
Soit ( C ) un cercle trigonométrique de centre O et posons
OA
=
u
et
OB
=
→
v
.
On appelle mesures de l'angle orienté de vecteur (
→
u ,
→
v
) les nombres réels b – a
où a est une abscisse curviligne de A et b une abscisse curviligne de B .
Si les vecteurs
→
u et
→
v
ne sont pas unitaires , on prendra pour mesures de l'angle orienté
(
→
u
,
→
v
) les mesures de l'angle orienté (
1
u
,
1
v
) où
1
u
et
1
v
sont les vecteurs unitaires
associés à
→
u
et
→
v
( c’est à dire
1
u
=
u
u
et
1
v
=
v
v
).
ici l’unité de longueur est le rayon du cercle
1º) Placer le point A tel que
OA
=
1
u
avec
1
u
=
u
u
2º) Placer le point B tel que
OB
=
1
v
avec
1
v
=
v
v
3º) Donner une mesure l’angle de vecteur de
vecteur (
→
u
,
→
v
)
4º) Placer le point D tel que
OD
=
1
w
avec
1
w
=
w
w
5º ) Donner une mesure l’angle de vecteur de
vecteur (
→
u
,
w
→
)

Un repère orthonormé ( O ,
i
→
, j
→
) est dit direct lorsque l’on a : )j,i(
→→
=………….
Remarques : Soient
u
→
,
v
→
et
→
w
trois vecteurs :
▪ (
→
u ,
→
u ) = …… modulo 2
π
; c’est l’angle ………. ;
▪ (
→
u , -
→
u ) = ( -
→
u ,
→
u ) = ……. mod (2π ) ; c’est l’Angle ……..
Mesure principale d'un angle orienté
On appelle mesure principale , en radian , d’un angle orienté
α
, l’unique mesure de
cet angle appartenant à l’intervalle ] -
π
;
π
] .
Exemples
Déterminer la mesure principale de
10
π
/3 ( c'est -2
π
/3 ) ; -5
π
/4 ( c'est 3
π
/4 ) ; 558
π
/5 ;
écrire un programme qui donne la mesure principale d'un angle
Relation de Chasles
Quel que soit les vecteurs
u
→
,
v
→
et
→
w
:
(
→
u
,
→
v
) + (
→
v
,
→
w
) = (
→
u
,
→
w
) + 2k π k
∈
ℤ
C'est la relation de Chasles .
Soit C un cercle trigonométrique de centre O.
Si on note A , B et D les points du cercle tels que
OA
=
u
u
et
OB
=
v
v
et
D tel que
OD
=
w
w
et on note a ; b ; d les abscisses curviligne de A ; B et D
On a (
→
u
,
→
v
) = b – a et (
→
v
,
→
w
) = d – b
donc (
→
u
,
→
v
) + (
→
v
,
→
w
) = d – b ceci est bien (
→
u
,
→
w
)
Règles pour tout vecteurs u et v non nuls
•
(
)
; ( ; ) mod 2
u u u u
π π
− = − =
•
(
)
; ( ; ) mod 2
u v u v
π π
− = + =
(
)
;
u v
−
mod 2π
car ( –
u
;
v
) = ( –
u
;
u
) + (
u
;
v
) mod 2π
•
(
)
; ( ; ) mod 2
v u u v
π
= −
•
(
)
(
)
; ; ( ; ) mod 2
ku v u kv u v
π
= = lorsque k est un réel positif
preuve à partir de la def
Somme des angles orientés d’un triangle :
Soit ABC un triangle :
La somme S des angles orientés
(
)
;
AB AC
+
(
)
;
CA CB
+
(
)
;
BC BA
= π mod 2π
preuve
S =
(
)
;
AB AC
+
(
)
;
AC CB
+ π +
(
)
;
BC BA
mod 2π =
(
)
;
AB CB
+ π +
(
)
;
BC BA
mod 2π
S =
(
)
;
AB CB
+ π +
(
)
;
CB BA
+ π mod 2π =
(
)
;
AB BA
+ 2π
mod 2π =
(
)
;
AB BA
mod 2π
S = π mod 2π
Résoudre : sur [ – π ; π [ 4x =
4
5
π
S={
4 3 7
; ; ;
5 10 5 10
π π π π
− −
}

IV º] Fonctions Trigonométrique :Sinus et cosinus tangente
On considère un repère orthonormé direct (O ;
OA
;
OB
) et (
Γ
) un cercle
trigonométrique ;
M un point du cercle et x l’angle orienté (
OA
,
OM
) .
………..………………. du point M dans le repère orthonormé direct (O ;
OA
;
OB
) est
appelé le cosinus du nombre x , noté cos ( x )
……………………………du point M dans le repère orthonormé direct (O ;
OA
;
OB
)
est appelé le sinus du nombre x , noté sin ( x ) .
Soit x un nombre réel tel que cos ( x )
≠
0
Le nombre
)xcos( )xsin(
est appelé ……………………………. du nombre x et
il est noté tan ( x ) ; tan ( x ) =
)xcos( )xsin(
.
Remarques
Ces définitions sont compatibles avec celles
vue en troisième :
cos ( x ) =
et sin ( x ) =
1
OK
ehypothénus
opposéécot =
;
Propriétés ● Pour tout réel x :
•
sin( 2 ) ................
x k π + =
avec
k
∈
Ζ
; la fonction sinus est
2 π
périodique .
•
cos( 2 ) ...............
x k π + =
avec
k
∈
Ζ
; la fonction cosinus est
2 π
périodique .
• sin ( -x ) = ………………….. ; la fonction sinus est impaire.
• cos ( -x ) = ………………..) ; la fonction cosinus est paire.
•
1 cos( ) 1
x
− ≤ ≤
et
1 sin( ) 1
x
− ≤ ≤
pour tout x
∈
ℝ
•
cos²( ) sin²( ) .........
x x
+ =
• Pour tout reél x 󲫥 π/2 + kπ k
∈
Z on a
tan( 2 ) tan( )
x k x
π
+ =
avec
k
∈
Ζ
;
Propriétés ( à retrouver à l’aide de symétrie sur le cercle trigonométrique ):
• Pour tout réel x
sin( ) ...................
cos( ) ...................
x
x
ππ + =
+ =
:
sin( ) .................
cos( ) ................
x
x
ππ − =
− =
sin( ) ....................
2
cos( ) ...................
2
x
x
π
π
− =
− =
et
sin( ) ......................
2
cos( ) .....................
2
x
x
π
π
+ =
+ =

Etudes des fonctions trigonométriques
La fonction Sinus Sinus :
ℝ
→
ℝ
x
֏
sin ( x ) est appelé fonction sinus .
• La fonction sinus est périodique de période ……………..……..
• Pour tout x , sin ( - x ) = - sin ( x ) donc la fonction sinus est …………….. .
Sa courbe admet donc l’origine du repère comme ……………………….;
• Compléter le tableau des variations de la fonction sinus :
x 0 ¶/ 2 ¶
Sin(x)
• La courbe représentative de la fonction sinus s’appelle une sinusoïde .
La fonction Cosinus Cosinus :
ℝ
→
ℝ
x
֏
cos ( x ) est appelé fonction cosinus .
• La fonction cosinus est périodique de période ……………..……..
• Pour tout x , cos ( - x ) = cos ( x ) donc la fonction cosinus est …………….. .
Sa courbe admet donc l’axe des ordonnées comme ……………………….…….;
• Compléter le tableau des variations de la fonction cosinus :
x 0 ¶
cos(x)
● La courbe représentative de la fonction cosinus est aussi une sinusoïde .
• Remarque on sait que pour tout x de R : sin(x +……) = cos( x )
Donc la courbe représentant la fonction cosinus se déduit de celle représentant la fonction sinus
par une translation de vecteur
w
( ..... ; ………)
• Sur le graphique ci–dessous tracer la courbe représentant la fonction cosinus
Exercice : sur la cahier d’exercice : Sur [0 ; 4π [ résoudre sin(x) < ½
¶ 2¶ 4¶-¶-2¶
1
¶/2¶/6
y=sin(x)

La fonction Tangente
• La fonction tangente est définie lorsque le cosinus est différent de zéro
donc lorsque l’angle n’est pas égal à …………… .
Tangente : I =
ℝ
–{π/2 + kπ }
→
ℝ
x
֏
tan ( x ) est appelé fonction tangente .
• Pour tout x de I de tan ( x +
π
) =
sin( .....) ...................
cos( ....) ...................
x
x
+
=
+
= ………………
Donc La fonction tangente est périodique de période …………
donc nous l’étudierons sur un intervalle d’amplitude
π
puis nous ferons des translations de vecteur……….……. ;
• pour tout x de I , tan ( - x ) =
sin( ) ...................
cos( ) ...................
x
x
−
=
−
= ………………….
donc La fonction tangente est ………………
Elle admet donc l’origine du repère comme …………………………………………. ;
• Compléter le tableau des variations de la fonction tangente :
.
.
x 0 ¶/2
tan
Nous mettons une double barre à
π
/2 pour indiquer que la
fonction n’est pas définie en
π
/2 ;
Lorsque x s’approche de
π
/2 , tan ( x ) devient infinie
Compléter alors le tracer de la courbe représentative de la fonction tangente
¶ 2¶-¶ ¶/2¶/6
1
-¶/2 3¶/2
Exercice : Résoudre sur ]π ; 2π ] tan x > 1.