Angles _trigo

Angles et Trigonométrie
I º] Rappels : repérage d'un point sur le cercle trigonométrique
– Le sens direct est aussi appelé sens trigonométrique ou sens positif.
– Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct.
En enroulant l'axe des réels
chaque réel « b » marque sur
le cercle un point unique B
B est le point associé au réel
« b » et on le note alors M(b)
.
II º] Le radian
Soit C un cercle de centre O de rayon 1 .
La mesure x en radian d’un angle géométrique de sommet O est la longueur de l’arc du
cercle C de rayon 1 intercepté par cet angle .
Quel est la mesure en radian de l’angle AOE ? ………. puis de l’angle AOM = ………
En radians un angle plat mesure …… mod [ 2π ] . Donc 180 degrés = …… rad
45 degrés = …….. rad
Remarques :Propriété
Soit C un cercle de rayon R de centre O, Soit A et B deux points de ce cercle
Et soit l’angle α entre les demi-droites [OA) et [OB) exprimé en radian
alors la longueur de l’arc direct
dans la même unité.
Le réel 2π est représenté par
le point …...
Tous les réels repérant le
point B sont de la forme
k étant un entier relatif
(… …..représente un tour
complet puisque le rayon vaut
1 ),
On les appelle ces réels b les
abscisses curvilignes de B .
III º] Angle orienté de deux vecteurs
Définition
u
et
v
c’est à dire si x – y = 2 k π avec k entier relatif , on notera x = y + 2kπ k ∈
Exemples π = 11 π +2kπ k ∈
−5π
3
= …… + 2kπ k ∈
ℤ
Soit ( C ) un cercle trigonométrique de centre O et posons
OA = u
et
→
OB = v .
→ →
On appelle mesures de l'angle orienté de vecteur ( u , v ) les nombres réels b – a
où a est une abscisse curviligne de A et b une abscisse curviligne de B .
→
→
Si les vecteurs u et v ne sont pas unitaires , on prendra pour mesures de l'angle orienté
→ →
u1 et v1
v1 = v ).
( u , v ) les mesures de l'angle orienté ( u1 , v1 ) où
( c’est à dire u1
→
associés à u et v
= u
u
et
sont les vecteurs unitaires
v
2º) Placer le point B tel que
OB = v1 avec v1 = v
ℤ
v
car 11π = π +….. × 2π ;
3º) Donner une mesure l’angle de vecteur de
→ →
ℤ
vecteur ( u , v )
4º) Placer le point D tel que
1º ) Compléter les pointillés sur le schéma ci–dessus en donnant dans chaque cas la valeur la
plus proche possible de 0
2º ) Donner deux autres valeurs possibles pour repérer le point F. …………
Quel est la mesure en degré de l’angle
deux vecteurs unitaires c’est à dire de norme 1 (|| u || = 1 et || v || = 1 )
→
Pour indiquer que deux
nombres diffèrent d'une
valeur de 2 π .
est L = …….……avec L et R exprimés
Si , de plus , R = 1 alors L = ……
Soit
b + ………… ,
AB
AOE
? ………. puis de l’angle
…………….
AOM
= ……
ici l’unité de longueur est le rayon du cercle
1º) Placer le point A tel que
OA = u1 avec u1 = u
u
OD
=
w1
avec
w
w1 = w
5º ) Donner une mesure l’angle de vecteur de
→ →
vecteur ( u , w )
Règles pour tout vecteurs u et v non nuls
→ →
→ →
Un repère orthonormé ( O , i , j ) est dit direct lorsque l’on a : ( i , j ) =………….
•
(
)
•
( −u; v ) = (u; v) + π
−u; u = (u; −u ) = π mod 2π
→ →
→
Remarques : Soient u , v et w trois vecteurs :
→ →
▪ ( u , u ) = …… modulo 2 π ; c’est l’angle ………. ;
→
→
→ →
•
( v; u ) = − (u; v) mod 2π
•
(
▪ ( u , - u ) = ( - u , u ) = ……. mod (2π ) ; c’est l’Angle ……..
Mesure principale d'un angle orienté
On appelle mesure principale , en radian , d’un angle orienté α , l’unique mesure de
cet angle appartenant à l’intervalle ] - π ; π ] .
Exemples
Déterminer la mesure principale de
10 π /3 ( c'est -2 π /3 ) ; -5 π /4 ( c'est 3 π /4 ) ; 558 π /5 ;
écrire un programme qui donne la mesure principale d'un angle
mod 2π
car ( – u ; v
→ →
→
→
) (
)
Somme des angles orientés d’un triangle :
Soit ABC un triangle :
→
preuve
u;v
) mod 2π
lorsque k est un réel positif
( AB; AC ) + (CA; CB ) + ( BC; BA) = π mod 2π
( AB; AC ) + ( AC; CB ) + π + ( BC; BA) mod 2π =
( AB; CB ) + π + ( BC; BA) mod 2π
C'est la relation de Chasles .
Soit C un cercle trigonométrique de centre O.
Si on note A , B et D les points du cercle tels que OA
=
)+(
S =
→ →
D tel que OD
mod 2π
preuve à partir de la def
Quel que soit les vecteurs u , v et w :
( u , v ) + ( v , w ) = ( u , w ) + 2k π k ∈ ℤ
) = ( –u ; u
ku; v = u; kv = (u; v) mod 2π
La somme S des angles orientés
→ →
Relation de Chasles
( u; −v )
=
v
u
= et OB = et
v
u
( AB; CB ) + π + (CB; BA) + π mod 2π = ( AB; BA) + 2π
mod 2π = ( AB; BA ) mod 2π
S =
w
w
S = π mod 2π
et on note a ; b ; d les abscisses curviligne de A ; B et D
→ →
→ →
On a ( u , v ) = b – a
→ →
→ →
et ( v , w ) = d – b
→ →
donc ( u , v ) + ( v , w ) = d – b ceci est bien ( u , w )
Résoudre :
sur [ – π ; π [ 4x =
4π
5
S={
−4π −3π π 7π
;
; ;
5
10 5 10
}
Propriétés
IV º] Fonctions Trigonométrique :Sinus et cosinus tangente
On considère un repère orthonormé direct (O ; OA ; OB ) et ( Γ ) un cercle
trigonométrique ;
● Pour tout réel x :
•
sin( x + 2k π ) = ................
•
cos( x + 2kπ ) = ...............
•
sin ( -x ) =
………………….. ; la fonction sinus est impaire.
•
cos ( -x ) =
………………..) ; la fonction cosinus est paire.
avec k ∈Ζ ; la fonction sinus est 2π périodique .
M un point du cercle et x l’angle orienté ( OA , OM ) .
avec k ∈Ζ ; la fonction cosinus est 2π périodique .
………..………………. du point M dans le repère orthonormé direct (O ; OA ; OB ) est
appelé le cosinus du nombre x , noté cos ( x )
……………………………du point M dans le repère orthonormé direct
est appelé le sinus du nombre x , noté sin ( x ) .
(O ; OA ; OB )
Soit x un nombre réel tel que cos ( x ) ≠ 0
sin( x )
est appelé ……………………………. du nombre x et
cos( x )
sin( x )
il est noté tan ( x ) ;
tan ( x ) =
.
cos( x )
Le nombre
•
−1 ≤ cos( x) ≤ 1
•
cos ²( x) + sin ²( x) = .........
•
Remarques
Ces définitions sont compatibles avec celles
vue en troisième :
et sin ( x ) =
cot é opposé OK
;
=
hypothénus e 1
−1 ≤ sin( x ) ≤ 1
Pour tout reél x π/2 + kπ k ∈ Z on a
pour tout x ∈ ℝ
tan( x + 2kπ ) = tan( x)
avec k ∈Ζ ;
Propriétés ( à retrouver à l’aide de symétrie sur le cercle trigonométrique ):
•
cos ( x ) =
et
Pour tout réel x
sin(π + x) = ...................
:

cos(π + x) = ...................
π

sin( 2 − x) = ....................

cos( π − x) = ...................

2
sin(π − x) = .................

cos(π − x) = ................
et
π

sin( 2 + x) = ......................

cos( π + x) = .....................

2
La fonction Cosinus Cosinus : ℝ → ℝ
x ֏ cos ( x ) est appelé fonction cosinus .
Etudes des fonctions trigonométriques
La fonction Sinus
Sinus :
ℝ → ℝ
x ֏ sin ( x )
est appelé fonction sinus .
•
La fonction sinus est périodique de période ……………..……..
•
Pour tout x , sin ( - x ) = - sin ( x ) donc la fonction sinus est …………….. .
•
La fonction cosinus est périodique de période ……………..……..
•
Pour tout x , cos ( - x ) = cos ( x ) donc la fonction cosinus est …………….. .
Sa courbe admet donc l’axe des ordonnées comme ……………………….…….;
• Compléter le tableau des variations de la fonction cosinus :
x
0
¶
Sa courbe admet donc l’origine du repère comme ……………………….;
• Compléter le tableau des variations de la fonction sinus :
x
0
¶/ 2
¶
cos(x)
Sin(x)
•
● La courbe représentative de la fonction cosinus est aussi une sinusoïde .
• Remarque on sait que pour tout x de R :
sin(x +……) = cos( x )
La courbe représentative de la fonction sinus s’appelle une sinusoïde .
Donc la courbe représentant la fonction cosinus se déduit de celle représentant la fonction sinus
par une translation de vecteur
•
w
( ..... ; ………)
Sur le graphique ci–dessous tracer la courbe représentant la fonction cosinus
Exercice : sur la cahier d’exercice : Sur [0 ; 4π [ résoudre sin(x) < ½
1
y=sin(x)
-2¶
-¶
¶/6
¶/2
¶
2¶
4¶
La fonction Tangente
•
La fonction tangente est définie lorsque le cosinus est différent de zéro
donc lorsque l’angle n’est pas égal à …………… .
Tangente
•
: I=
Pour tout x de I de tan ( x +
ℝ –{π/2 + kπ } → ℝ
x ֏ tan ( x )
π
)=
1
est appelé fonction tangente .
sin( x + .....) ...................
=
= ………………
cos( x + ....) ...................
-¶
-¶/2
¶/6
¶/2
Donc La fonction tangente est périodique de période …………
donc nous l’étudierons sur un intervalle d’amplitude π
puis nous ferons des translations de vecteur……….……. ;
•
pour tout x de I , tan ( - x ) =
sin(− x) ...................
=
=
cos(− x) ...................
………………….
donc La fonction tangente est ………………
Exercice :
Elle admet donc l’origine du repère comme …………………………………………. ;
•
.
Compléter le tableau des variations de la fonction tangente :
Nous mettons une double barre à π /2 pour indiquer que la
fonction n’est pas définie en π /2 ;
x
0
¶/2
Lorsque x s’approche de π /2 , tan ( x ) devient infinie
tan
.
Compléter alors le tracer de la courbe représentative de la fonction tangente
Résoudre sur ]π ; 2π ]
tan x > 1.
¶
3¶/2
2¶
Valeurs remarquables
.
.
V º] Coordonnées polaires
x
0
π
π
π
π
π
3
0
6
1
2
4
sin ( x )
2
2
2
1
0
cos ( x )
1
3
2
0
-1
tan ( x )
0
2
2
1
3
2
1
2
3
3
3
M
r
→
j
θ
0
→
A l’aide du cercle
trigonométrique trouver la
valeur de
 2π 
sin 

 3 
puis de
 2π 
cos 

 3 
Quels sont les formules
utilisées ?
Déterminer
 23π 
cos 

 6 
.
 23π 
puis sin 

 6 
 23π 
puis tan 

 6 
i
O
Définition
Soit O un point du plan et i un vecteur
Tout point M du plan peut-être repéré par un couple ( r ,θ ) où r est un réel
strictement positif et θ un réel .
→
→
r est la distance OM et θ est une mesure de l'angle orienté ( i , OM ) .
( r , θ ) est le couple de coordonnées polaires du point M ; on note M ( r ,θ ) .
Si le point M se trouve sur l'origine , on convient que r = 0 et que θ est quelconque .
Exemples
Placer M ( 2 ; - π /3 ) ; tracer la courbe d’équation r = 2 ;
se mettre en mode polaire à la machine et tracer quelques courbes.
Propriétés
Si M a pour coordonnées cartésienne ( x , y ) dans un repère orthonormal
→
→
( O , i , j ) et a pour coordonnées polaire ( r , θ ) dans le repère (O; i ) alors:
→
→
→
OM = r cos ( θ ) i + r sin ( θ ) j ;
justifier
r = x² + y² ;
Démonstrations
cos ( θ ) =
x
x² + y²
et
sin ( θ ) =
y
x² + y²