FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES

FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES
I. Définition
Une fonction affine une fonction f définie sur IR par f(x) = ……………………………..
où a et b désignent deux réels
Cas particulier :
 Si b = 0, f(x) = …….. La fonction f est dite …………….
 Si a = 0, f(x) = ……... La fonction f est …………………..
Remarques :
- La fonction f est définie sur IR signifie que « pour tout x réel, f(x) = ax + b »
- Une fonction linéaire est une fonction affine mais une fonction affine n’est pas forcément
linéaire !
- Une fonction affine désigne le procédé : « Je multiplie par a puis j’ajoute b »
- Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité
II. Représentation graphique
1. Représentation graphique, équation de droite
La représentation graphique d’une fonction affine f : x  ax + b est ………………….
a est appelé …………………………………. et b s’appelle ………………………………
- Si la fonction est linéaire, cette droite …………………………………………………
- Si la fonction est constante, cette droite ………………………………………………..
Remarques :
- La droite passe par le point de coordonnées (0 ; b). D’où le nom d’ordonnée à l’origine.
- Dans le chapitre 1, nous avons vu que la courbe représentative d’une fonction f a pour
équation : y = f(x).
Ici, on dira que la droite a pour équation : y  ax  b . (Cf. Géométrie : Droite du plan)
2. Déterminer algébriquement le coefficient directeur a
Soit la fonction affine f : x  ax + b .
f ( x2 )  f ( x1 )
Pour tout nombres réels x1 et x2 distincts : a =
x2  x1
Démonstration :
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
3. Sens de variation (ADMIS)
Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x) = ax + b.
 Si a < 0, f est ……………………………………………..
 Si a = 0, f est ……………………………………………..
 Si a > 0, f est ……………………………………………..
4. Signe d’une fonction affine
Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x) = ax + b.
x0 est obtenu en résolvant l’équation ax  b  0
Exemple : Etudier le signe de la fonction affine f définie sur IR par f(x) = -2x + 3
 On résoud l’inéquation 2 x  3  0
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………..

On peut alors obtenir le tableau de signe de f :
x
Signe de f(x)
0
Bilan :
 ……………………………………………………
……………………………………………………
 ……………………………………………………
……………………………………………………
 ……………………………………………………
……………………………………………………
FONCTIONS AFFINES - Exercices
Définition d’une fonction affine
Exercice 1 :
Complète le tableau suivant.
f(x) =
Linéaire (O/N)
5x-1
-x
43
-7x
7-2x
3x² + 5
3-x
-5x+3
17 + x
Affine (O/N)
a (si affine)
b (si affine)
x 1
4
8x
3
x

2
x
1
2
2x  6
4
16 x²  4
3 x+1
3
+2
x
Exercice 2 :
Montrer que les fonctions suivantes sont des fonctions affines :
a) f : x  (3x  1)(2 x  5)  6 x²  4 x 1
b) g : x  4x(2x-3) – 8x² - (8x -5)
2x+5
c) h: x  (2x – 1)(2x + 1) - (2x - 5)²
d) i : x  2x-5 –
3
Exercice 3 :
1) Le prix des tomates au marché est de : 3,5 euros le kg. Déterminer le prix P(x) (en euros) en
fonction de la quantité x(en kg) de tomates choisie
2) Sur internet, un site informatique vend 15 euros la cartouche auquel on ajoute 40 euros pour
les frais de livraison (quelque soit le nombre de cartouches livrées).
Exprimer le prix P(x) (en euros) en fonction du nombre x de cartouches.
3) Sur une publicité pour téléphonie mobile est écrit :
0,15 euros/sms + forfait 9 euros par mois. Un client choisit cette offre.
Exprime la facture mensuelle (en euros) que paye le client en fonction du nombre x de sms
envoyés.
4) Voici le salaire d’un gardien de musée : Il est payé 5 euros de l’heure auquel on ajoute en
début de chaque mois un versement fixe de 90 euros.
Exprimé son salaire mensuel S (en euros) en fonction du nombre d’heures effectuées pendant
le mois.
Calculer une image ou un antécédent à partir d’une expression algébrique
Exercice 1 :
1) On considère la fonction f : x  5x + 6.
3
Calculer l’image par la fonction f des nombres suivants : -2 ; 8 ; 0 ; .
5
2) On considère la fonction g : x  -7x - 4.
1
1
Calculer l’image par la fonction g des nombres suivants : 3 ; -1 ; ; 2 49
Exercice 2 :
1) On considère la fonction f : x  -3x+4
Calculer l’antécédent par la fonction f des nombres suivants : 16 ; 8 ; 0 ; 4
2) On considère la fonction g : x  6x - 2
Calculer l’antécédent par la fonction g des nombres suivants : -5 ; 0 ; 1 ; -2.
Lire une image ou un antécédent à partir d’une représentation graphique
Exercice :
Représentation graphique
Exercice 1 :
1) On considère la fonction f : x  2x + 1 ? Les points R(1 ;3) et S(-2,-5) appartiennent-ils à la
représentation graphique de f ?
2) Dans un repère, on donne les points A(23 ;90) et B(-16 ;-67). Les points A et B appartiennentils à la représentation graphique de la fonction affine f : x  4x-3 ?
Exercice 2 :
1) Représenter graphiquement les fonctions affines suivantes en déterminant les coordonnées de
points appartenant à sa représentation graphique :
2
4
a) f1(x) = 3x – 5
b) f2(x) = -2x + 3
c) f3(x) = - 4,5
d) f4(x) = x +1 e) f5(x) = x -2
3
5
2) Représenter graphiquement les fonctions suivantes à l’aide de l’interprétation du coefficient
directeur a et de l’ordonnée à l’origine b.
a) f1(x) = 2x + 5
b) f2(x) = -x - 2
c) f3(x) = 3
d) f4(x) = 3 x -4
e) f5(x) = -3 x + 2
f) f6(x) = -4x
g) f7(x) = x + 1
Déterminer graphiquement l’expression algébrique d’une fonction affine
Résolution d’équations et d’inéquations du type f ( x)  k; f ( x)  k; f ( x)  g( x)
Exercice :
On considère les fonctions affines définies sur IR par : f ( x)  5 x  4; g( x)  3 x  2
1. Tracer les représentations graphiques de ces deux fonctions.
2. Résoudre graphiquement les équations f ( x)  0; g( x)  0 .
3. Résoudre graphiquement les équations f ( x)  3; g( x)  5 .
4. Résoudre graphiquement les inéquations : f ( x)  0; g( x)  0
5. Résoudre graphiquement les inéquations : f ( x)  3; g( x)  5
6. Résoudre graphiquement l’équation : f ( x)  g( x)
7. Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x)  g( x)
8. Retrouver les résultats des questions 2 à 7 par méthode algébrique
Résoudre des problèmes concrets
Problème 1 :
Problème 2 :
Aide : Revoir
- Volume d’un parallélépipède
rectangle
- Volume d’une pyramide
- Trigonométrie