BCPST 1B 2015/2016 Feuille 34 : Expériences indépendantes. 1

BCPST 1B2015/2016
Feuille 34 : Exp´eriences ind´ependantes.
1) On consid`ere une urne contenant 10 jetons num´erot´es de 1 `a 10.
On appelle E: on tire simultan´ement 2 jetons de l’urne.
On r´ealise trois fois cette exp´erience de mani`ere ind´ependante.
a. Quelle est la probabilit´e d’obtenir trois fois le mˆeme r´esultat ?
b. (∗) Quelle est la probabilit´e d’obtenir six num´eros diff´erents ?
c. 1. Ecrire une fonction Python qui simule l’exp´erience E.
2. Ecrire une fonction qui teste si une liste d’entiers contient des valeurs distinctes.
(vous pouvez utiliser la m´ethode .sort() )
3. Ecrire un programme qui permet d’´evaluer la r´eponse `a la question b) et d’ainsi v´erifier la
coh´erence de votre r´eponse.
2) Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 4.
On dispose de nurnes num´erot´ees de 1 `a n:U1,· · · ,Un.
Chaque urne Ukcontient kboules blanches et (k2−k) boules noires.
On tire successivement et au hasard une boule dans chaque urne. (Les tirages sont suppos´es ind´ependants).
a. Quelle est la probabilit´e de n’obtenir que des boules blanches ?
b. Quelle est la probabilit´e d’obtenir exactement une boule noire `a un des trois premiers tirages ?
3) On lance plusieurs fois une pi`ece dont la loi de probabilit´e ´evolue au fur et `a mesure des lancers :
le k-i`eme lancer est mod´elis´e par la loi suivante :
ωface pile
P({ω}) 1 −(0,5)k(0,5)k
On suppose que les lancers sont ind´ependants.
a. Quelle est la probabilit´e d’obtenir pile au dixi`eme lancer ?
b. Quelle est la probabilit´e de n’obtenir que des faces au cours des 10 premiers lancers ?
Vous utiliserez la notation Y
k=
pour exprimer la valeur exacte et vous calculerez une valeur approch´ee
`a l’aide de votre calculatrice.
4) On lance nfois un d´e ´equilibr´e.
a. Quelle est la probabilit´e d’obtenir un nombre pair au dernier lancer ?
b. Quelle est la probabilit´e de n’obtenir que des faces paires ?
c. Quelle est la probabilit´e d’obtenir exactement une face 6 au cours des nlancers ?
d. Quelle est la probabilit´e d’obtenir exactement deux faces 6 au cours des nlancers ?
e. Quelle est la probabilit´e d’obtenir au moins une face 6 au cours des nlancers ?
f. Soit kun entier compris entre 0 et n,
quelle est la probabilit´e d’obtenir exactement kfaces 6 au cours des nlancers ?
5) On lance 10 pi`eces ´equilibr´ees.
a. Quelle est la probabilit´e d’obtenir 10 r´esultats identiques ?
b. Quelle est la probabilit´e d’obtenir (strictement) plus de piles que de faces ?
6) On r´ealise 6 tirages successifs avec remise dans une urne contenant 3 boules rouges, 5 vertes et 2 bleues.
On note A: ”on obtient 2 boules rouges, 2 vertes et 2 bleues dans un ordre quelconque”.
a. Ecrire une fonction Python qui permet de simuler cette exp´erience.
b. Evaluer `a l’aide d’un programme Python la probabilit´e de A.
c. Quelle est la probabilit´e de A?