exam sept21 math

T-CMTH-669 : Math´ematiques, probabilit´es et
statistiques
Examen du 19 aoˆut 2021
GSM et autres objets connect´es interdits.
Examen `a cours ouvert.
Toutes les questions comptent pour le mˆeme nombre de points.
Indiquer votre nom et pr´enom sur chaque feuille, y compris sur les feuilles de brouillon.
Indiquer clairement le num´ero de la question lorsque vous y r´epondez.
Dur´ee de l’examen : 4h
1. Questions sur le travail :
(a) Choisir un des deux graphiques ci-dessous (sp´ecifier lequel).
(b) Ecrire l’expression math´ematique de la fonction repr´esent´ee.
(c) Calculer l’´energie (sur une p´eriode) et la puissance moyenne du signal.
2. Soit la fonction fd´efinie sur Rpar f(t) = |sin(2πt))|.
(a) Tracer la fonction.
(b) Ecrire son d´eveloppement en s´erie de Fourier, sous forme de sommes avec sinus et
cosinus.
3. Soit la fonction x(t)repr´esent´ee ci-dessous (qui est nulle en dehors de l’intervalle [−2,2]).
(a) Calculer sa transform´ee de Fourier.
(b) Calculer son ´energie.

4. Sachant que la transform´ee de Fourier de f(t) = exp(−|t|)est
b
f(ω) = 1
π(ω2+1), calculer la
transform´ee de Fourier de g(t) = td
dt (2 exp(−|t|/2)).
5. Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules blanches et 7 boules vertes. On tire successi-
vement 3 boules avec remise. Quelle est la probabilit´e
(a) d’obtenir, dans l’ordre, 2 vertes puis 1 blanche ?
(b) d’obtenir au moins une boule verte ?
(c) de n’obtenir aucune boule rouge ?
D´etailler les calculs.
6. Une classe comporte 20 gar¸cons dont la moiti´e a des lunettes et 9 filles dont un tiers n’a
pas de lunettes. Quelle est la probabilit´e qu’un ´el`eve pris au hasard soit une fille ou n’ait
pas de lunettes ?
D´etailler les calculs.
7. La compagnie p´etroli`ere Wildcat Oil Exploration est `a la recherche d´esesp´er´ee de nouveaux
puits : elle a consacr´e ses derniers fonds au financement de 10 forages. Dans cette r´egion,
chaque forage a, ind´ependamment des autres, 30% de chance d’aboutir. Pour ´eviter la
banqueroute, il faut que 4 forages au moins donnent du p´etrole. Quel est la probabilit´e
de cet ´ev´enement ?
D´etailler les calculs.
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