la fonction exponentielle

1
LA FONCTION EXPONENTIELLE
I.Introduction :
On sait que la fonction logarithme f(x) = ln x est une fonction définie et strictement croissante sur ] 0 ; +
L'équation ln x = b, avec b réel quelconque, admet donc une unique solution dans ] 0 ; + [ .
Cette solution est nommée exponentielle de b et notée exp(b) .
On définit ainsi une nouvelle fonction , notée exp , à valeurs dans ] 0 ; + [.
1) Définition :
La fonction exponentielle , notée exp , est une fonction définie sur IR , à valeurs dans ] 0 ; +
On a : si x > 0 et b IR ln x = b
x = exp(b)
[.
On a donc :
En remplaçant x par exp(b) dans ln x = b on obtient ln ( exp(b) ) = b.
On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
ln : ] 0 ; + [
IR
exp : IR
]0;+ [
x
ln x
x
exp(x)
2) Exemples de valeurs :
ln 1 = 0
1 = exp(0) ; ln e = 1
e = exp(1) ; ln e3 = 3 ln e = 3
e3 = exp(3)
Si p IN ln ep = p ln e = p
ep = exp(p)
Cette dernière propriété à donné l'idée de noter cette nouvelle fonction exponentielle de la manière
suivante :
exp(x) = ex pour tout x de IR .
On pourra utiliser indifféremment les deux notations .
exp(0) = e0 = 1 ; exp(1) = e1 = e ; exp(3) = e3 ; ln x = b
x = eb
; ln ( ex ) = x .
II. Formules:
1) Exponentielle d'un logarithme :
ln ( ex ) = x avec x
Si x > 0 ln x = b
IR .
x = eb = exp( ln x ) en remplaçant b par ln x .
si x > 0 eln x = exp( ln x ) = x
2) Exponentielle d'une somme :
ln ( ea
eb ) = ln ( ea ) + ln ( eb ) = a + b = ln ( ea + b )
donc ln (ea eb ) = ln ( ea + b )
ea eb = ea + b
Exemple : e3
e5 = e8
3)Exponentielle élevée à une puissance :
ea
e2a
eb = ea + b
ea = ( ea )²
si on remplace b par a dans la formule on obtient ea
ea = ( ea )3 = e3a.
On peut généraliser cette formule . Si n
ZZ , ( ea )n = ena.
Application : (e4 )3 = e12
Terminales ES Ch10. La fonction exponentielle Année 2010–2011
ea = ( ea )² = e2a
[.
2
4) Exponentielle d'une différence :
ea
ln b
e
= ln ( ea ) – ln ( eb ) = a – b = ea – b
Application : si a = 0 alors on a
donc
ea
= ea – b = ea eb
eb
1
–b
b=e
e
III. Etude de la fonction exponentielle:
Ensemble de définition : IR
Tracé de la courbe représentative de la fonction exponentielle :
x
exp(x)
–2
0,14
–1
0,37
0
1
0,5
1,65
exp
1
2,72
1,5
4,48
2
7,39
2,5
12,18
3
20,09
y=x
ln
Les courbes des fonctions logarithme
et exponentielle sont symétriques par
rapport à la droite d'équation y = x .
Dérivée :
Posons g(x) = ln ( ex ) . On a donc g(x) = x donc g'(x) = 1
Si on dérive directement g(x) à l'aide des fonctions composées, on a g'(x) =
(ex )'
=1
( ex )' = ex
ex
La fonction exponentielle est dérivable sur IR et (ex )' = ex . Elle est sa propre dérivée.
De plus , comme la fonction exp est à valeurs dans ] 0 ,+ [ on a (ex )' > 0 pour tout x de IR .
La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur IR .
Donc
Tableau de variations :
x
–
x
+
(e )'
ex
+
+
0
Terminales ES Ch10. La fonction exponentielle Année 2010–2011
(ex )'
.
ex
3
Limites et asymptotes :
x
lim
ex = 0
–
donc la droite d'équation x = 0 est asymptote à la courbe représentative de la fonction exp .
lim ex = +
x +
et
lim
x +
ex
=+ .
x
Primitive de ex :
Les primitives de la fonction f (x) = ex sont F(x) = ex + k , k
IR .
Résolutions d'équations et d'inéquations :
La fonction ex est strictement croissante sur IR donc
ea = eb
a=b
et ea > eb
a > b.
Exemple :
Résoudre e 5x – 2 = e –3x + 1
et
e x² – 1
e 5x – 2 = e –3x + 1
5x – 2 = – 3x + 1
e x² – 1
x² – 1
e x+1
x+1
e x+1
8x = 3
x² – x – 2
3
3
S={ }
8
8
= 9 x1 = – 1 et x2 = 2
donc S = ] – ; – 1 ] [ 2 ; +
x=
0
IV. Etude des fonctions eu , avec u une fonction dérivable sur un intervalle I de IR :
1) Dérivée de eu
Si f(x) = eu(x) alors f '(x) = u'(x)
eu(x) . ( fonctions composées )
Exemple : Calculer la dérivée de f(x) = e 3x² – 2x + 9
On pose u(x) = 3x² – 2x + 9 u'(x) = 6x – 2 donc f '(x) = ( 6x – 2 ) e 3x² – 2x + 9
2) Primitive de u' eu , avec u une fonction dérivable sur un intervalle I de IR :
Si f(x) = u'(x)
eu(x) alors f admet des primitives de la forme F(x) = eu(x) + k , k
IR .
Exemple : Calculer la primitive de f(x) = – 2 e 3x – 5
u(x) = 3x – 5
u'(x) = 3
2
2
3 e 3x – 5 = –
u'(x)
3
3
2
donc F(x) = – e3x – 5 + k k IR .
3
donc f(x) = –
Terminales ES Ch10. La fonction exponentielle Année 2010–2011
eu(x)
[