La fonction logarithme népérien

La fonction
logarithme népérien
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Définition, premières propriétés
2
1.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Étude de la fonction ln – Applications
3
2.1
Étude de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Signe de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Le nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Application de la croissance stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Logarithme d’une fonction : ln u
5
4 Les exposants réels
6
4.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.2
Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.3
Les fonctions racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Table des figures
1
Courbe représentative de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Liste des tableaux
1
Tableau de variations de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Signe de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
∗ Ce
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1
1
1
DÉFINITION, PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
Définition, premières propriétés
1.1
Définition
Définition : La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ , dont la dérivée est la fonction
x −→ x1 et qui prend la valeur 0 lorsque x = 1.
Elle est notée ln.
Remarques :
1. On admet provisoirement l’existence et l’unicité d’une telle fonction.
2. La touche correspondante de la calculatrice est la touche ln, pas la touche log.
3. On notera ln (X) (ou ln X) l’image de X par cette fonction.
Ceci n’est possible que si X > 0 (car la fonction logarithme est définie sur ]0 ; +∞[.
Exemples : (à l’aide de la calculatrice)
ln√2 ' 0, 693
ln 2 ' 0, 347
ln
ln 5 ' 1, 609
2
3 ' −0, 405
ln (1 − 3) est impossible car 1 − 3 = −2 < 0
Exercices : 9, 10 page 158 1 [Roche-Barny]
1.2
Premières propriétés
Propriété :
– La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[.
– On a ln (1) = 0.
– La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est :
ln0 (x) =
1
x
Exercices : 41, 43 page 162 2 – 45 page 162 3 [Roche-Barny]
1.3
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Théorème 1 : Propriété fondamentale
Pour tous réels a > 0 et b > 0, on a :
ln ab = ln a + ln b
Théorème 2 : Soient a, b deux réels strictement positifs et n un entier relatif.
1. ln a1 = − ln a
2. ln ab = ln a − ln b
3. ln (an ) = n ln a
√
4. ln a = 12 ln a
Remarques :
1. Attention ! Il n’existe aucun résultat sur ln (a + b) ou ln (a − b).
2. Ce théorème est souvent utilisé pour simplifier des expressions contenant des logarithmes.
Exemples :
1. Utilisation de la calculatrice.
2. Calcul de dérivées.
3. Notion de primitive.
2
2
ÉTUDE DE LA FONCTION LN – APPLICATIONS
3
13
= ln 3 − ln 13
2. ln (16) = ln 24 = 4 ln 2
√
√ 3. ln 2 3 = ln 2 + ln 3 = ln 2 +
1. ln
1
2
ln 3
Exercices : 3, 5, 6 page 158 4 [Roche-Barny]
Étude de la fonction ln – Applications
2
2.1
Étude de la fonction ln
– La fonction x −→ ln x est définie sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est ln0 (x) = x1 .
Par suite, pour tout x > 0, ln0 (x) > 0.
La fonction ln est donc strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Remarques :
1. Comme ln 1 = 0 et ln0 (1) = 11 = 1 :
La courbe représentative de la fonction ln coupe l’axe des abscisses en x = 1 et la tangente en x = 1
a comme coefficient directeur 1.
2. On trouvera le tableau de variations de la fonction ln sur le tableau 1 et sa courbe représentative sur
la figure 1.
x
ln0 (x)
ln x
0
k
k
k
k
+
1
1
+∞
+
%
0
%
Table 1 – Tableau de variations de la fonction ln
Figure 1 – Courbe représentative de la fonction ln
4. Transformations d’écritures.
3
2.2
Signe de la fonction ln
2
ÉTUDE DE LA FONCTION LN – APPLICATIONS
Exercices : 49 page 163 et 54 page 164 5 – 47 page 163 6 – 58 page 165 ; 61 page 166 et 72, 73 page
168 7 [Roche-Barny]
2.2
Signe de la fonction ln
Propriété : De la figure 1, on peut déduire que, pour tout x > 0 :
– ln x > 0 équivaut à x > 1.
– ln x < 0 équivaut à 0 <x < 1.
– ln x = 0 équivaut à x = 1.
Remarque : Le tableau de signes de la fonction ln est donné sur le tableau 2.
x
ln x
0
1
0
−
+∞
+
Table 2 – Signe de la fonction ln
Exercices : 50 page 163 ; 53 page 164 8 [Roche-Barny]
2.3
Le nombre e
La fonction ln est continue, strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
De plus ln 2 ' 0, 69 < 1 et ln 3 ' 1, 1 > 1.
Donc, il existe un unique nombre strictement positif, noté e, tel que ln e = 1 (on a de plus 2 < e < 3)
Définition : Le nombre e est le seul nombre réel dont le logarithme népérien est égal à 1. on a donc :
ln e = 1
Remarque : À la calculatrice, ce nombre s’obtient par la combinaison de touche : ex suivie de 1.
On obtient : e ' 2, 718.
Exemples :
ln e = 1
ln e2 = 2 ln e = 2
ln e3 = 3 ln e = 3
ln e1 = − ln e = −1 ln e12 = − ln e2 = −2 ln e13 = − ln e3 = −3
Propriété : Plus généralement, si n est un entier strictement positif :
1
n
ln (e ) = n
et
ln n = −n
e
Exercices : 1, 2 page 158 9 – 7, 8, 11 page 158 et 12 page 159 10 – 48 page 163 et 60 page 165 11 [Roche-Barny]
2.4
Application de la croissance stricte
Propriété : La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; +∞[ :
Pour tout a > 0 et tout b > 0 :
– ln a = ln b équivaut à a = b.
– ln a < ln b équivaut à a < b.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Premières études de fonctions.
Recherche de fonctions.
Type BAC.
Étude de fonctions.
Vrai-Faux.
Calculs avec le nombre e.
Recherche de fonctions.
4
LOGARITHME D’UNE FONCTION : LN U
3
Remarque : Cette propriété, combinée à l’utilisation du nombre e, permet de résoudre des équations et inéquations contenant des logarithmes.
Exemples : Résolution d’équations et d’inéquations
1. Résoudre l’équation ln x = 2 :
Il faut que x > 0.
2
Cette équation équivaut à ln x = ln e2 . On en déduit
2que
x=e .
Cette valeur est bien strictement positive donc S = e .
2. Résoudre l’équation ln (5 − 2x) = 1 :
Il faut que 5 − 2x > 0, c’est-à-dire x < 25 .
Cette équation équivaut à ln (5 − 2x) =
ln e. On
en déduitque 5 − 2x = e, c’est-à-dire x =
Cette valeur est bien dans l’intervalle −∞ ; 52 donc S = 5−2 e .
5−e
2 .
3. Résoudre l’inéquation ln (x) < 2 :
Il faut que x > 0.
Cette inéquation équivaut
à ln x < ln e2 . On en déduit que x < e2 .Comme de plus on doit avoir
x > 0, on a S = 0 ; e2 .
4. Résoudre l’inéquation ln (5 − 2x) < 1 :
Il faut que 5 − 2x > 0, c’est-à-dire x < 25 .
Cette équation équivaut à ln (5 − 2x)
que5 − 2x < e, c’est-à-dire x >
< lne. On en déduit
Comme de plus on doit avoir x ∈ −∞ ; 52 , on a S = 5−2 e ; 25 .
5−e
2 .
5. Déterminer le plus petit entier n tel que 1, 05n ≥ 4 :
Cette équation équivaut à ln (1, 05n ) ≥ ln 4 puis n ln (1, 05) ≥ ln 4.
ln 4
.
Comme ln (1, 05) > 0, on obtient n ≥ ln(1,05)
ln 4
Comme, de plus, ln(1,05) ' 28, 5, le plus petit entier n vérifiant l’inéquation est n = 29.
Exercice : Résoudre de même l’inéquation 0, 8n ≤ 0, 01 (attention aux nombres négatifs)
Remarque : Les deux dernières inéquations peuvent être utiles dans le cadre de l’utilisation de suites géométriques.
Exercices : 19 page 159 et 21, 26 page 160 12 – 18 page 159 et 22, 24, 25 page 160 13 – 28, 29, 32, 35, 37 page
161 14 – 64, 65, 66, 68 page 167 15 – 51 page 163 et 62 page 166 16 [Roche-Barny]
3
Logarithme d’une fonction : ln u
Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I telle que, pour tout x ∈ I, u (x) > 0.
On appelle ln u la fonction définie sur I par x −→ ln (u (x)).
Remarque : Il s’agit de la composée de u suivie de la fonction ln.
En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées, on obtient le résultat suivant :
Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Alors, la fonction ln u est dérivable sur I et :
0
(ln u) =
u0
u
Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ln x2 + 1 .
On pose u (x) = x2 + 1.
12.
13.
14.
15.
16.
Résolution graphique.
Équations comportant un ln.
Inéquations, tableaux de signes.
Applications aux suites.
Étude de fonctions.
5
4
LES EXPOSANTS RÉELS
La fonction u est dérivable et strictement positive sur R et, de plus, u0 (x) = 2x.
La fonction f est donc dérivable sur R et :
f 0 (x) =
2x
x2 + 1
Exercices : 42, 44 page 162 17 – 55 page 164 et 57 page 165 18 – 74 page 169 19 [Roche-Barny]
4
4.1
Les exposants réels
Définition
On a vu au 1.3 que, pour tout a réel strictement positif et tout n entier relatif :
ln (an ) = n ln a
On convient de définir le nombre ab lorsque b est un nombre réel quelconque par la relation :
ln ab = b ln a
Remarques :
1. La fonction ln étant strictement croissante, il n’y a qu’un seul nombre vérifiant cette relation.
2. Les calcultrices peuvent effectuer des calculs sur des exposants réels.
Exemples :
31
− 12
2, 11,6 ' 3, 28 ; (1, 02)
' 0, 95.
Exercices : 6, 7 page 183 20 [Roche-Barny]
4.2
Propriétés algébriques
On admettra que les règles de calcul sont les mêmes que pour les puissances entières.
Propriété : Pour tout a > 0, a0 > 0, b ∈ R et b0 ∈ R
0
0
a−b =
ab+b = ab ab
b 0
0
ab = ab×b
b
0
1
ab
b
ab−b =
a b
=
a0
(aa0 ) = a × a0b
Exercices : 1, 2, 3 page 183 21 [Roche-Barny]
4.3
Les fonctions racines n-ièmes
Propriété : Soit x et y deux nombres réels strictement positifs et n un entier naturel non nul.
xn = y
1
équivaut à x = y n
1
Le nombre y n est appelé racine n-ième de y. Il peut aussi être noté
17.
18.
19.
20.
21.
Calculs de dérivées.
À partir d’un graphique ou d’un tableau de variations ;
Type BAC.
Utilisation de la calculatrice.
Calculs sur les puissances réelles.
6
√
n
y.
ab
ab0
ab
a0b
RÉFÉRENCES
RÉFÉRENCES
Module : TP3 page 178 22 [Roche-Barny]
Exercices : 12, 13, 14, 15 page 183 et 22 page 123 23 – 19, 20 page 123 24 – 23, 28, 31 page 184 et 34, 35 page
185 25 [Roche-Barny]
Références
[Roche-Barny] Mathématiques Terminale STG, F. Roche et F. Barny, Hachette Éducation, 2006.
2, 3, 4, 5, 6, 7
22.
23.
24.
25.
Des équations et des inéquations.
Résolutions d’équations et d’inéquations.
Application aux suites géométriques.
Applications économiques.
7