La fonction logarithme népérien

La fonction
logarithme népérien
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Définition, premières propriétés 2
1.1 Définition ................................................. 2
1.2 Premièrespropriétés ........................................... 2
1.3 Propriétésalgébriques .......................................... 2
2 Étude de la fonction ln – Applications 3
2.1 Étude de la fonction ln .......................................... 3
2.2 Signe de la fonction ln .......................................... 4
2.3 Lenombree................................................ 4
2.4 Application de la croissance stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Logarithme d’une fonction : ln u5
4 Les exposants réels 6
4.1 Définition ................................................. 6
4.2 Propriétésalgébriques .......................................... 6
4.3 Les fonctions racines n-ièmes ...................................... 6
Table des figures
1 Courbe représentative de la fonction ln ................................. 3
Liste des tableaux
1 Tableau de variations de la fonction ln ................................. 3
2 Signe de la fonction ln .......................................... 4
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1 DÉFINITION, PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
1 Définition, premières propriétés
1.1 Définition
Définition : La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur ]0 ; +∞[, dont la dérivée est la fonction
x−→ 1
xet qui prend la valeur 0 lorsque x= 1.
Elle est notée ln.
Remarques :
1. On admet provisoirement l’existence et l’unicité d’une telle fonction.
2. La touche correspondante de la calculatrice est la touche ln, pas la touche log.
3. On notera ln (X)(ou ln X) l’image de Xpar cette fonction.
Ceci n’est possible que si X > 0(car la fonction logarithme est définie sur ]0 ; +∞[.
Exemples : (à l’aide de la calculatrice)
ln 2 '0,693 ln 5 '1,609 ln (1 −3) est impossible car 1−3 = −2<0
ln √2'0,347 ln 2
3' −0,405
Exercices : 9, 10 page 158 1[Roche-Barny]
1.2 Premières propriétés
Propriété :
– La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[.
– On a ln (1) = 0.
– La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[et sa dérivée est :
ln0(x) = 1
x
Exercices : 41, 43 page 162 2– 45 page 162 3[Roche-Barny]
1.3 Propriétés algébriques du logarithme népérien
Théorème 1 : Propriété fondamentale
Pour tous réels a > 0et b > 0, on a :
ln ab = ln a+ ln b
Théorème 2 : Soient a,bdeux réels strictement positifs et nun entier relatif.
1. ln 1
a=−ln a
2. ln a
b= ln a−ln b
3. ln (an) = nln a
4. ln √a=1
2ln a
Remarques :
1. Attention ! Il n’existe aucun résultat sur ln (a+b)ou ln (a−b).
2. Ce théorème est souvent utilisé pour simplifier des expressions contenant des logarithmes.
Exemples :
1. Utilisation de la calculatrice.
2. Calcul de dérivées.
3. Notion de primitive.
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2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN – APPLICATIONS
1. ln 3
13 = ln 3 −ln 13
2. ln (16) = ln 24= 4 ln 2
3. ln 2√3= ln 2 + ln √3 = ln 2 + 1
2ln 3
Exercices : 3, 5, 6 page 158 4[Roche-Barny]
2 Étude de la fonction ln – Applications
2.1 Étude de la fonction ln
– La fonction x−→ ln xest définie sur ]0 ; +∞[et sa dérivée est ln0(x) = 1
x.
Par suite, pour tout x > 0,ln0(x)>0.
La fonction ln est donc strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Remarques :
1. Comme ln 1 = 0 et ln0(1) = 1
1= 1 :
La courbe représentative de la fonction ln coupe l’axe des abscisses en x= 1 et la tangente en x= 1
a comme coefficient directeur 1.
2. On trouvera le tableau de variations de la fonction ln sur le tableau 1 et sa courbe représentative sur
la figure 1.
x0 1 +∞
ln0(x)k+ 1 +
k %
ln xk0
k %
Table 1 – Tableau de variations de la fonction ln
Figure 1 – Courbe représentative de la fonction ln
4. Transformations d’écritures.
3

2.2 Signe de la fonction ln 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN – APPLICATIONS
Exercices : 49 page 163 et 54 page 1645– 47 page 163 6– 58 page 165 ; 61 page 166 et 72, 73 page
168 7[Roche-Barny]
2.2 Signe de la fonction ln
Propriété : De la figure 1, on peut déduire que, pour tout x > 0:
–ln x > 0équivaut à x > 1.
–ln x < 0équivaut à 0<x < 1.
–ln x= 0 équivaut à x= 1.
Remarque : Le tableau de signes de la fonction ln est donné sur le tableau 2.
x01+∞
ln x−0 +
Table 2 – Signe de la fonction ln
Exercices : 50 page 163 ; 53 page 164 8[Roche-Barny]
2.3 Le nombre e
La fonction ln est continue, strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
De plus ln 2 '0,69 <1et ln 3 '1,1>1.
Donc, il existe un unique nombre strictement positif, noté e, tel que ln e= 1 (on a de plus 2<e<3)
Définition : Le nombre eest le seul nombre réel dont le logarithme népérien est égal à 1. on a donc :
ln e= 1
Remarque : À la calculatrice, ce nombre s’obtient par la combinaison de touche : exsuivie de 1.
On obtient : e '2,718.
Exemples :
ln e= 1 ln e2= 2 ln e= 2 ln e3= 3 ln e= 3
ln 1
e=−ln e=−1 ln 1 e2=−ln e2=−2 ln 1 e3=−ln e3=−3
Propriété : Plus généralement, si nest un entier strictement positif :
ln (en) = net ln 1
en=−n
Exercices : 1, 2 page 1589– 7, 8, 11 page 158 et 12 page 159 10 – 48 page 163 et 60 page 165 11 [Roche-Barny]
2.4 Application de la croissance stricte
Propriété : La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; +∞[:
Pour tout a > 0et tout b > 0:
–ln a= ln béquivaut à a=b.
–ln a < ln béquivaut à a<b.
5. Premières études de fonctions.
6. Recherche de fonctions.
7. Type BAC.
8. Étude de fonctions.
9. Vrai-Faux.
10. Calculs avec le nombre e.
11. Recherche de fonctions.
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3 LOGARITHME D’UNE FONCTION : LN U
Remarque : Cette propriété, combinée à l’utilisation du nombre e, permet de résoudre des équations et in-
équations contenant des logarithmes.
Exemples : Résolution d’équations et d’inéquations
1. Résoudre l’équation ln x= 2 :
Il faut que x > 0.
Cette équation équivaut à ln x= ln e2. On en déduit que x=e2.
Cette valeur est bien strictement positive donc S=e2.
2. Résoudre l’équation ln (5 −2x)=1:
Il faut que 5−2x > 0, c’est-à-dire x < 5
2.
Cette équation équivaut à ln (5 −2x) = ln e. On en déduit que 5−2x=e, c’est-à-dire x=5−e
2.
Cette valeur est bien dans l’intervalle −∞;5
2donc S=5−e 2.
3. Résoudre l’inéquation ln (x)<2:
Il faut que x > 0.
Cette inéquation équivaut à ln x < ln e2. On en déduit que x < e2.Comme de plus on doit avoir
x > 0, on a S=0 ; e2.
4. Résoudre l’inéquation ln (5 −2x)<1:
Il faut que 5−2x > 0, c’est-à-dire x < 5
2.
Cette équation équivaut à ln (5 −2x)<ln e. On en déduit que 5−2x < e, c’est-à-dire x > 5−e
2.
Comme de plus on doit avoir x∈−∞;5
2, on a S=5−e 2;5 2.
5. Déterminer le plus petit entier ntel que 1,05n≥4:
Cette équation équivaut à ln (1,05n)≥ln 4 puis nln (1,05) ≥ln 4.
Comme ln (1,05) >0, on obtient n≥ln 4
ln(1,05) .
Comme, de plus, ln 4
ln(1,05) '28,5, le plus petit entier nvérifiant l’inéquation est n= 29.
Exercice : Résoudre de même l’inéquation 0,8n≤0,01 (attention aux nombres négatifs)
Remarque : Les deux dernières inéquations peuvent être utiles dans le cadre de l’utilisation de suites géomé-
triques.
Exercices : 19 page 159 et 21, 26 page 16012 – 18 page 159 et 22, 24, 25 page 160 13 – 28, 29, 32, 35, 37 page
161 14 – 64, 65, 66, 68 page 167 15 – 51 page 163 et 62 page 166 16 [Roche-Barny]
3 Logarithme d’une fonction : ln u
Définition : Soit uune fonction définie sur un intervalle Itelle que, pour tout x∈I,u(x)>0.
On appelle ln ula fonction définie sur Ipar x−→ ln (u(x)).
Remarque : Il s’agit de la composée de usuivie de la fonction ln.
En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées, on obtient le résultat suivant :
Propriété : Soit uune fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Alors, la fonction ln uest dérivable sur Iet :
(ln u)0=u0
u
Exemple : Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = ln x2+ 1.
On pose u(x) = x2+ 1.
12. Résolution graphique.
13. Équations comportant un ln.
14. Inéquations, tableaux de signes.
15. Applications aux suites.
16. Étude de fonctions.
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