Séance 1 - Exercice 2 Principe. L`idée est de considérer une

Séance 1 - Exercice 2 Principe. L’idée est de considérer une propriété topologique (invariante par homéomorphisme) et de voir qu’elle est vérifiée par
les ouverts de R2 mais pas ceux du cône. La solution présentée ici peut sembler
longue, mais n’est composée que de quelques résultats simples et intuitifs.
Lemme. Si V est un voisinage de 0 sur le cône C, alors V \ {0} n’est pas
connexe, donc n’est pas connexe par arc.
Démonstration. Le voisinage
épointé V \ {0} s’écrit comme l’union disjointe des
ouverts V ∩ R2 × R+
et V ∩ R2 × R−
0
0 , puisque le seul point du cône à cote
nulle est le sommet 0. Ces ensembles sont non-vides parce qu’on considère la
topologie induite : il doit donc exister une boule centrée en 0 dont l’intersection
avec C est dans V , et cette boule contient forcément des points dans C + et dans
C − . Donc V n’est pas connexe.
Lemme. Soient deux espaces topologiques E et F , et f : E → F une surjection
continue. Si E est connexe par arcs, alors F l’est aussi.
Démonstration. Soient p et q des points de F . Il existe un chemin reliant un
antécédant de p et un antécédant de q (dans E). L’image de ce chemin est un
chemin reliant p et q (dans F ) puisque composé d’applications continues.
Corolaire. Soient deux espaces topologiques E et F , et f : E → F un homéomorphisme. E est connexe par arcs si et seulement si F l’est.
Lemme. Une sphère de Rn est connexe par arcs si n > 1
Démonstration. On voit qu’un cercle est connexe par arcs car l’application
R → S1 : t 7→ (cos(t), sin(t))
est continue et surjective, et que R est connexe par arcs.
Pour une sphère S de centre a en dimension n > 2, on se donne p et q sur
la sphère, et on distingue deux cas :
1. Si a et p et q ne sont pas colinéaires, on définit P le plan affin passant
par a, p et q et alors P ∩ S est un cercle, donc on peut relier p à q par un
chemin dans cette intersection.
2. Si a, p et q sont colinéaires, on peut rajouter n’importe quel autre point
de la sphère pour avoir un plan et faire la même construction.
Lemme. Un ouvert connexe par arcs dans Rn (n ≥ 2) reste connexe par arcs
même si on lui enlève un point.
Démonstration. En effet, soit U un tel ouvert connexe par arcs, et p un point
de U . Soient x et y sur U \ {p}. Il existe un chemin γ de x à y, dans U . Si le
chemin ne passe pas par p, c’est gagné. Si il passe par p, on choisit une boule B
fermée (de rayon non-nul) centrée en p qui ne contient ni x ni y. On note
E = γ −1 (B) ⊂ [0; 1]
c’est un ensemble compact (fermé, par continuité de γ, et borné) dont on regarde
le maximum t̄ et le minimum t.
Il reste enfin à définir un chemin entre p et q par morceaux
1
1. Les points p et γ(t) sont reliés par γ,
2. Par connexité par arc, il existe un chemin sur la sphère qui relie γ(t) à
γ(t̄),
3. et enfin γ(t̄) et q sont reliés via γ ;
ce qui achève la construction d’un chemin continu entre p et q.
Remarque 1. Soient deux espaces topologiques E et F , et f : E → F un homéomorphisme. Pour toute partie A de E, l’espace E \ A est homéomorphe à
l’espace F \ f (A) via la restriction f|E\A , les espaces étant munis de la topologie
induite.
Pour conclure l’exercice, par l’absurde, on prend un voisinage V de 0 dans
le cône. On peut supposer sans restriction qu’il est connexe, ouvert et homéomorphe à un ouvert (connexe) U de R2 . Or V \ {0} n’est pas connexe par arcs,
alors que l’ouvert dont on retire un point reste connexe par arcs. C’est impossible, donc l’homéomorphisme n’existe pas, et le cône n’est pas une variété de
dimension 2.
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