Séance 1 - Exercice 2 Principe. L`idée est de considérer une

Séance 1 - Exercice 2 Principe. L’idée est de considérer une propriété to-
pologique (invariante par homéomorphisme) et de voir qu’elle est vérifiée par
les ouverts de R2mais pas ceux du cône. La solution présentée ici peut sembler
longue, mais n’est composée que de quelques résultats simples et intuitifs.
Lemme. Si Vest un voisinage de 0sur le cône C, alors V\ {0}n’est pas
connexe, donc n’est pas connexe par arc.
Démonstration. Le voisinage épointé V\{0}s’écrit comme l’union disjointe des
ouverts V∩R2×R+
0et V∩R2×R− 0, puisque le seul point du cône à cote
nulle est le sommet 0. Ces ensembles sont non-vides parce qu’on considère la
topologie induite : il doit donc exister une boule centrée en 0dont l’intersection
avec Cest dans V, et cette boule contient forcément des points dans C+et dans
C−. Donc Vn’est pas connexe.
Lemme. Soient deux espaces topologiques Eet F, et f:E→Fune surjection
continue. Si Eest connexe par arcs, alors Fl’est aussi.
Démonstration. Soient pet qdes points de F. Il existe un chemin reliant un
antécédant de pet un antécédant de q(dans E). L’image de ce chemin est un
chemin reliant pet q(dans F) puisque composé d’applications continues.
Corolaire. Soient deux espaces topologiques Eet F, et f:E→Fun homéo-
morphisme. Eest connexe par arcs si et seulement si Fl’est.
Lemme. Une sphère de Rnest connexe par arcs si n > 1
Démonstration. On voit qu’un cercle est connexe par arcs car l’application
R→S1:t7→ (cos(t),sin(t))
est continue et surjective, et que Rest connexe par arcs.
Pour une sphère Sde centre aen dimension n > 2, on se donne pet qsur
la sphère, et on distingue deux cas :
1. Si aet pet qne sont pas colinéaires, on définit Ple plan affin passant
par a,pet qet alors P∩Sest un cercle, donc on peut relier pàqpar un
chemin dans cette intersection.
2. Si a,pet qsont colinéaires, on peut rajouter n’importe quel autre point
de la sphère pour avoir un plan et faire la même construction.
Lemme. Un ouvert connexe par arcs dans Rn(n≥2) reste connexe par arcs
même si on lui enlève un point.
Démonstration. En effet, soit Uun tel ouvert connexe par arcs, et pun point
de U. Soient xet ysur U\ {p}. Il existe un chemin γde xày, dans U. Si le
chemin ne passe pas par p, c’est gagné. Si il passe par p, on choisit une boule B
fermée (de rayon non-nul) centrée en pqui ne contient ni xni y. On note
E=γ−1(B)⊂[0; 1]
c’est un ensemble compact (fermé, par continuité de γ, et borné) dont on regarde
le maximum ¯ tet le minimum t.
Il reste enfin à définir un chemin entre pet qpar morceaux
1

1. Les points pet γ(t)sont reliés par γ,
2. Par connexité par arc, il existe un chemin sur la sphère qui relie γ(t)à
γ(¯ t),
3. et enfin γ(¯ t)et qsont reliés via γ;
ce qui achève la construction d’un chemin continu entre pet q.
Remarque 1.Soient deux espaces topologiques Eet F, et f:E→Fun ho-
méomorphisme. Pour toute partie Ade E, l’espace E\Aest homéomorphe à
l’espace F\f(A)via la restriction f|E\A, les espaces étant munis de la topologie
induite.
Pour conclure l’exercice, par l’absurde, on prend un voisinage Vde 0dans
le cône. On peut supposer sans restriction qu’il est connexe, ouvert et homéo-
morphe à un ouvert (connexe) Ude R2. Or V\ {0}n’est pas connexe par arcs,
alors que l’ouvert dont on retire un point reste connexe par arcs. C’est impos-
sible, donc l’homéomorphisme n’existe pas, et le cône n’est pas une variété de
dimension 2.
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