PSI* 2016/17 - DL 4 - algèbre symplectique Première partie

PSI* 2016/17 - DL 4 - algèbre symplectique
Sujet optionnel - sans date de remise imposée
Pour tout entier p ≥ 1, on désigne par Mp l'espace vectoriel des matrices réelles à p lignes et p colonnes, et l'on désigne
par Ip la matrice unité de Mp . Si M ∈ Mp , on note M l'endomorphisme de Rp ayant pour matrice M dans la base
canonique. La transposée d'une matrice est notée t M .
On note (|) le produit scalaire canonique de Rp et kk la norme associée.
Rappels :
- le produit scalaire de deux vecteurs u et v de matrices représentatives U et V , est (u|v) = t U V = t V U .
- l'endomorphisme M conserve la norme si et seulement si t M M = I (matrice orthogonale)
Pour tout entier pair n = 2m on considère la matrice J ∈ M2m dénie par blocs par
J=
−Im
0
0
Im
Les questions ne sont pas indépendantes les unes des autres, mais admettre une question sut pour démontrer ce qui
suit. Le marquage "**" indique des questions plus diciles car elles font appel à plus d'initiative (mais pas à des notions
compliquées).
Première partie - Déterminant des matrices symplectiques
1.
On xe l'entier pair n = 2m. On appelle matrice symplectique toute matrice M ∈ M2m telle que
t
M JM = J
a. Que peut on dire du déterminant d'une matrice symplectique ?
b. L'ensemble des matrices symplectiques est-il un groupe pour la multiplication ?
c. La matrice J est-elle symplectique ?
d. La transposée d'une matrice symplectique est-elle symplectique ?
2.
On écrit toute matrice M ∈ M2m par blocs, M =
B
, où A, B, C, D ∈ Mm .
D
A
C
a. Montrer que la matrice M est symplectique
si et seulement si les matrices A, B, C, D vérient les conditions
(
t
AC et t BD sont symétriques
t
AD − t CB = Im
b. Montrer que si D est inversible, il existe Q ∈ Mm telle que M =
Im
0
Q
Im
A − QC
C
0
.
D
** En déduire que si M est symplectique et D inversible, alors det M = 1.
c. Soient B, D ∈ Mm telles que t BD est symétrique. On suppose qu'il existe s1 , s2 ∈ R, s1 6= s2 et v1 , v2 ∈ Rm tels que
(D − s1 B)v1 = 0 et (D − s2 B)v2 = 0. Montrer que le produit scalaire (Dv1 |Dv2 ) est nul.
d. On suppose que M est symplectique. Montrer que tout v ∈ Rm tel que Dv = 0 et Bv = 0 est nul.
Montrer qu'il existe s ∈ R tel que D − sB est inversible. En déduire que det M = 1. On pourra introduire la matrice
Im
−sIm
0
Im
et vérier qu'elle est symplectique.
Deuxième partie - Valeurs propres complexes et stabilité
3.
Soit M une matrice symplectique ; soit P son polynôme caractéristique.
a. Pour une matrice N inversible quel lien y a-t-il entre les polynômes caractéristiques de N et de N −1 ?
En déduire que ∀λ ∈ C, λ 6= 0, P (λ) = λ2m P (1/λ).
b. Montrer que si λ0 ∈ C est valeur propre de M , de multiplicité d, alors
de multiplicité d.
c. Que peut-on dire de l'ordre de multiplicité de 1 et de −1 ?
1
1
λ0
, λ0 ,
1
λ0
sont valeurs propres de M , chacune
d. On suppose dans cette question que m = 2. Donner des exemples de matrices symplectiques ∈ M4 , ayant une base
de vecteurs propres sur C et ayant respectivement
(1) une seule valeur propre
(2) deux valeurs propres doubles distinctes
(3) une valeur propre double et deux valeurs propres simples
** (4) quatre valeurs propres distinctes non réelles et de module 6= 1.
Dans chaque cas dessiner les valeurs propres dans le plan complexe, sur lequel on tracera d'abord le cercle de centre 0
et de rayon 1.
** e. Toute matrice symplectique admet-elle une base de vecteurs propres quand on travaille sur C ?
Un endomorphisme φ de Rn est dit stable si, pour tout x ∈ Rn , la suite kφp (x)k
composée de l'application φ avec elle-même p fois.
4.
n∈N
est bornée, où φp désigne la
a. Montrer que si une matrice M ∈ Mn a toutes ses valeurs propres distinctes et de module 1 dans C, alors l'endomorphisme M est stable.
b. Donner une condition nécessaire et susante sur Ω ∈ Mm pour que la matrice
l'endomorphisme M soit stable.
0
Ω
−Ω
0
soit symplectique et que
c. Montrer que si une matrice symplectique M ∈ Mn possède une valeur propre dans R de module diérent de 1, alors
l'endomorphisme M n'est pas stable.
** Montrer que la même propriété est vraie si M possède une valeur propre dans C de module diérent de 1.
On pourra se placer sur un plan réel stable par M .
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