Chapitre I Espaces vectoriels symplectiques

C OURS DE L’ INSTITUT F OURIER
Y VES C OLIN DE V ERDIÈRE
Chapitre I Espaces vectoriels symplectiques
Cours de l’institut Fourier, tome 18 (1982-1983), p. 1-9
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D . E . A . - Géométrie
1982-1983
symplectique
CHAPITRE
I
ESPACES VECTORIELS SYMPLECTIQUES
Bibliographie pour le chapitre I :
[A-Ml.
I D ] . [ W l , (G-S).
I.3
1.
ESPACES
Soit
uu
E
SYMPLECTIQUES.
un espace vectoriel de dimension finie
une forme bilinéaire sur
l'application
x-^u)(x,.)
E . On dit que
de
f
qu il en est de même de
E
dans
E
sur
IR et
eu est non dégénérée si
est un isomorphisme (vérifier
x-~u)(.,x) ) .
DEFINITION. - Un espace vectoriel symplectique est un couple
(E,uu)
u>
où
E
est un espace vectoriel réel de dimension finie et
une forme bilinéaire antisymétrique et non dégénérée.
THEOREME. - Si
E
est paire :
de
E
(E,ID)
d = 2n
est symplectique la dimension
e
' i
et il existe une base
, , , , , e
n
d
^i
de
, M . ,
y
telle que
uu = e*Af* +... + e*Af*
1 1
n n
[si
L L €E* ,
r
Une
L AL (x y) = (L^xJL^y) - L ^ L ^ x ) )
2
1
2
>
1.
telle base est appelée base canonique.
Démonstration. -
(Il peut être utile de comparer cette démonsf
tration à celle de l'existence d une base orthonormée pour un e . v . euclidien). Preuve par récurrence sur
linéairement indépendants
I «Xe^)
= 6
k . Supposons construits
e . . . , e ^ , f ,,.. f^
f
f
2k
vecteurs
tels que :
y
! ^(e^e^) = 0
( u)(f ,fj)
= 0
t
pour tous les
E
engendré par ces vecteurs. Si
F n F
1
= [0]
E = F©F
ï
1 £ i , j £ k . Soit
k n
1
tel que
F
le sous-espace de dimension
1
F"
^
k
+
n'est pas réduit à
1
,f
k + 1
)
de
2k = dim(E) , c'est fini. Sinon on a
(le vérifier) et donc comme
et
2k
= 1 , si
f
uu est non dégénérée
{ 0 ] . Soit
fc+1
e
f c + i
Ç F\{0}
est la projection de
et
f
R + 1
I.4
sur
F
1
, on a encore
w^+i'^+i)
cela achève le passage de
Remarque 1. sous-espace
k
à
La relation
e
et comme
^-».1*^+1 ^
F
±
»
k+1 . •
F n F
G engendré par
= 1
1
f
= {0} n est pas générale : le
j»*'-»
e
vérifie
n
G
1
= G
(un tel sous-
espace est dit lagrangien : cf. § 3 ) . Comparer le cas euclidien.
Remarque 2. -
Soit
Q = — j - O J A O J A ... Au)
:
Ci est une forme de degré
n fois
2n = d
et non nulle (forme volume) : tout espace symplectique est caf
f
noniquement muni d une forme volume et d une orientation.
Exemples fondamentaux.
(T)
F
e . v . de
f
dim
n
sur
f
IR ,
f
E = F e F*
avec
f
w(x©L , x © L ) = L ( x ) - L ( x ) .
On peut alors prendre pour
e
1
»---»
base duale de
F* .
(T)
un e . v . de dim
Si
F
néaire antisymétrique
alors
E = F/F
1
a
e
E
n
e
finie sur
dégénérée, soit
^
a
s
e
de
F
e
*
m99
*y *
n
*
a
IR munie d'une forme b i l i F
1
= Ker a = {xÇ F | a(x, •)=0}
est symplectique avec la forme quotient
U ) ( x , y ) = a ( x , y ) . En particulier,
(3^
u
n
e . v . de dim n
sur
dim F - d i m F
1
est paire.
f
(T munie d une forme hermitienne
( I ) non dégénérée (pas nécessairement
définie
^ 0 ) . On peut considé1R
rer
E
comme un e . v . de
dim 2n
espace symplectique avec la forme
Exercice 1.
sur
IR , noté
E
: c'est un
UD = Im( | > .
Réfléchir à la notion de structure symplectique dans un
espace de Hilbert. Donner un exemple simple de structure symplectique
sur
2
L (IR,dx) .
I.5
2.
TRANSFORMATIONS CANONIQUES LINEAIRES.
DEFINITION.
tiques et
-
Soit
T : E
(E^oij) ,
—E
JL
T
2
d
»w )
e
u
X
e
s
P
2
a
c
e
s
symplec-
une transformation linéaire, on dit que
T*(CD ) = u u
9
?
d endomorphisme canonique de
THEOREME 1. - Si
(E,-uu)
E
ùà
est canonique si
particulier,
(
T
1
; on définit de même la notion
(E,UD) .
est canonique,
T
est iniective. En
l'ensemble des endomorphismes canoniques de
forme un groupe (pour la composition, i . e . ss groupe de
GL(E)
) appelé groupe symplectique Sp(E,uu) ; si
n
n
^
E = IR © (HT
et 0) - Tj dx^ A dy , ce groupe est noté
Sp(n) .
i
THEOREME 2. - (structure d'un endomorphisme canonique) :
après extension des scalaires à
désignant par
(T
(E
(T
=E®
irC
(E ) , on a, en
f
E
l espace propre généralisé de valeur propre
A.
X
de Tendomorphisme
E = E
où
E
l
©E
E
X
T
:
1
© (©E, © E /
\i \
lAj/
-l
sont des sous-espaces symplectiques de
§£
E
lA-
si
;
de raême dimension et correspondent à des
blocs de Jordan avec le même nombre de
De plus,
E
F
= E ©E
A.
, les. E
A
A.1/A-
w-orthogonaux, alors que
1
et de
et les
F
il
0 .
sont
A.
ID induit une dualité entre
E
et
A.
E-/
et o )
(X^±1) = 0 .
1/X
I E^
dim E = dim E
etc.
N l 7
A.
Preuve, -
Si
\ i IR , on a évidemment
A.
Le preuve dans le cas général est laissée en e x e r -
cice (ex. 2 ) , nous ne la faisons que dans le cas où
ble sur
soit
est diagonalisa-
(T :
e € E
et
A
Donc si
T
Xu ï 1 ,
f ÇE
, on a
u>(Xe,uf) = Xwu(e,f) = u)(e,f) •
Muu(e,f) = 0
1
: en particulier
(E
3 : 1
)
3
© E
Xf±1
,
k
I.6
d'où
E
symplectique et de même
F
symplectique.
Cas particuliers.
©
n =1 :
(i)
si les valeurs propres sont
on dit que
T
( ^ ± 1 ) avec
8
T =
si les valeurs propres sont
\
n
on dit que
a € IR ,
est elliptique : on peut trouver une base
r x
i
* H
(e-.fj
canonique telle que
1 Y
y
(ii)
e
T
a
f°°
.
\sm a
-sina \
cosay
.
et
|
avec X 6 K - { ± 1 } ,
x
est hyperbolique. Dans une base canonique
X
(iii)
si
X = +1 (resp. X = - l ) est la seule valeur propre, on
dit que
T
T . ic ,
(2^
n = 4
est parabolique. On a les formes normales
T - - H .
(J J) ,
T -
T -
: laissé en exercice (ex. 3 ) .
THEOREME 3. - Le groupe
n
n
E = 1R 9 (IR ) * , et
(
J = I
est formée des matrices
A
Sp(E,uu)
0
I d
H
Q
est un groupe de L i e . Si
n\
J
l'algèbre de Lie
telles que
: dim(Sp(n)) = n(2n + l )
Preuve. - On a
luKx^y^;^, y » = ( x ^ ) *
4
(3,10,30,...) .
e
t
d
o
n
c
2
TJT = J .
Remarque. - Topologie :
connexe ; son
sp(n)
' A + JAJ = 0 .
[JA symétrique]
T € Sp(n) «
("J . y .
n
est
le groupe
Sp(E,uu)
n'est pas
simplement
E . Le revêtement à deux feuillets est un
groupe (non algébrique), le groupe métaplectique
grand rôle dans la quantification
Mp(n)
qui joue un
(cf. Guillemin-Sternberg).
I.7
3.
SOUS-ESPACES
DEFINITIONS. -
LAGRANGIENS.
Un sous-espace
• symplectique si
ID.
F c (E^JD)
est dit :
L
est symplectique
(FriF" = { 0 } )
;
I *
• isotrope si
1
a)|\p = 0
(FcF )
;
• lagrangien s'il est isotrope maximal ;
• coisotrope si
F
1
c F .
PROPOSITION 1. - Les espaces lagrangiens
ces isotropes de dimension
PROPOSITION 2. -
Si
mentaire lagrangien
E
E
n = dim(E)/2
F
sont les espa­
i . e . tels que
1
F = F .
est lagrangien, il admet un supplé­
1
uu induit une dualité entre
et
E^
et
2 •
PROPOSITION 3. lagrangiens de
dimn(n+l)/2
E
A(E) , ensemble de tous les
sous-espaces
est une variété différentiable compacte de
dont un atlas explicite est décrit plus bas.
Les propositions 1 et 2 sont faciles, la 2 redonne une
démonstra­
tion de l'existence de bases canoniques.
Etude de
A(E) .
Soit
F c E
va définir une carte de domaine
verse à
F , tout lagrangien de
néaire de
F
q
U = {E € A(E) I E n F = [ 0 ) ) . On
r
i
1
U_, : si F
est un lagrangien trans­
ir
o
lagrangien et
dans
F , comme
F
F
U
est le graphe d'une application l i -
F
( o^* '
est canoniquement isomorphe à
o
n
a
u
n
e
a
PP^
c a t i o n
de
F
0
dans
F* , c'est-à-dire une forme bilinéaire ; plus
^
Ax
I
X
1
°
précisément
F
o
E, = { x + A x | x € F }
1
o
1
J
;
B ( x , y ) = U)(Ax,y) .
I.8
PROPOSITION. -
E^^ lagrangien
«
B symétrique
:
CD(X+AX, y+Ay) = o)(x,y) + ^ ( A x ^ y )
+ U)(x, Ay) + uu(Ax,y)
= B(x,y) - B ( y , x ) .
Donc on a une bijection entre
vectoriel des formes quadratiques sur
de
Up
et
Q(F )
est l'espace
F^
: on a ainsi défini une carte
)
A ( E ) . Il est clair d'après la proposition 2 que ces cartes recouvrent
A(E) .
Exercice 4.
Sur
(E,uu)
symplectique :
E = F © F* .
£ = E @ E , on introduit
1)
Vérifier que
2)
T f Sp(E,uu) « graphe (T) f A ( £ ) .
3)
Si on pose
F = (0©y e0ey ) ,
les
U^
T
de
(C,fî)
(î(x
, y^Yg)
= tt^x^y ) -
tt)(x ,y )
2
est symplectique.
i
2
F ° = ( x ^ O e x ^ O ) , quels sont
?
F
4)
Décrire la paramétrisation ainsi obtenue de
la dimension de
Exercice 5.
Up
et retrouver
Sp(E,uu) .
Reprendre ce chapitre dans le cas parallèle d'une forme
bilinéaire symétrique non dégénérée. (Consulter à ce sujet le livre de
E. A R T I N : Algèbre géométrique).
Exercice 6.
On a une action naturelle de
est l'image par
g
du sous-espace
Sp(n;IR)
sur
A(n) : g ( A )
A . Prouver que cette action est
transitive et décrire le groupe d'isotropie du sous-espace engendré par
( e . , . . . , e ) . Retrouver ainsi la dimension de
1
n
Exercice 7.
simple
Sp(n;IR) .
Décrire explicitement les cartes de
A ( l ) . A quelle variété
A ( l ) est-elle difféomorphe ? Essayer de décrire
A(2) .
2
.
D . E . A . - Géométrie symplectique.
1982-1983
BIBLIOGRAPHIE provisoire.
[ A - A ] ARNOLD-AVEZ,
[A]
ARNOLD,
Problèmes ergodiques de la mécanique classique.
Problèmes mathématiques de la mécanique classique.
[ A - M ] ABRAHAM-MARSDEN,
Foundations of mechanics.
[G-S]
GUILLEMIN-STERNBERG,
[S-M]
SIEGEL-MOSER,
[D]
DUISTE R M A A T ,
Lectures on Fourier integral operators.
[W]
WEINSTEIN A . ,
Lectures on symplectic momifolds.
...
Geometric asymptotics.
Lectures on celestial mechanics.
Et pour des compléments de géométrie différentielle :
[S]
STERNBERG,
Differential geometry.
[M]
MILNOR,
[B-G]
BERGER-GOSTIAUX,
Morse theory.
Géométrie différentielle.