Ainsi, le lieu d´ecrit par les points M(z) est la r´eunion des deux demi-droites
y=√3x
x≥0et y=−√3x
x≥0.N
Exercice 8 .—
1. Il est clair que si zest 1 ou i, les points I, M et M′sont align´es vu que deux
d’entre eux sont confondus. Supposons d´esormais que zest un nombre complexe
diff´erent de 1 et de i. En ce cas, les points I, M et M′sont align´es si et seulement
si les vecteurs −−→
IM et −−→
IM′sont colin´eaires, ce qui se traduit en affixes par
I, M et M′sont align´es ⇐⇒ les vecteurs −−→
IM et −−→
IM′sont colin´eaires
⇐⇒ iz −i
z−i∈R
⇐⇒ i(z−1)(¯z+i)∈R
⇐⇒ Re (z−1)(¯z+i) = 0
Ecrivons z=x+iy en notation alg´ebrique. Il vient
(z−1)(¯z+i) = (x−1)+iyx−i(y−1)=x(x−1)+y(y−1)+iy(x−1)+x(y−1)
Par cons´equent, les points Il,Met M′sont align´es si et seulement si les parties
r´eelles et imaginaires xet yde zv´erifient
x2+y2−x−y= 0
On reconnait ici l’´equation du cercle de centre Ω(1
2,1
2) et de rayon √2
2.
Conclusion : le lieu des points Md’affixes zqui sont align´es avec Id’affixe iet
M′d’affixe iz est le cercle de centre Ω(1
2,1
2) et de rayon √2
2.
2. Comme la multiplication par i=eiπ/2s’interpr`ete g´eom´etriquement comme la
rotation de centre Oet d’angle π/2, le lieu des points M′est le cercle de centre
Ω′(−1
2,1
2) et de rayon √2
2.N
Exercice 9 .— Il s’agit d’un simple calcul. Soit (u, v)∈C2. Alors
|u+v|2+|u−v|2= (u+v)(u+v) + (u−v) (u−v)
= (u+v) (¯u+ ¯v) + (u−v) (¯u−¯v)
=u¯u+u¯v+v¯u+v¯v+u¯u−u¯v−v¯u+v¯v
= 2(|u|2+|v|2) + u¯v+ ¯uv −u¯v−v¯u
= 2|u|2+|v|2N
Exercice 10 .— Soit a=ρeiα un nombre complexe non nul en notation trigo-
nom´etrique (ρ > 0) et z=x+iy un nombre complexe pr´esent´e sous forme alg´ebrique
(x, y r´eels) fix´es. Alors
ez=a⇐⇒ e(x+iy)=ρeiα ⇐⇒ |e(x+iy)|=ex=ρ
y≡α[2π]⇐⇒ x= ln ρ
il existe k∈Z;y=α+ 2
⇐⇒ il existe k∈Z;z= ln ρ+i(α+ 2kπ).
Ainsi, S={ln |a|+i(arg a+ 2kπ) ; k∈Z}.N
Exercice 11 .—
1. Les racines 5i`emes de 1 sont U5={1, e2iπ/5, e4iπ/5, e6iπ/5, e8iπ/5}.
2. il s’agit de d´eterminer les racines 7i`emes de a= 1 + i√3.
•a= 2eiπ/3
•Une racine 7i`eme particuli`ere est ζ0=7
√2eiπ/21
•Les racines septi`emes de 1 sont
U7={1, e6iπ/21, e12iπ/21, e18iπ/21, e24iπ/21, e30iπ/21, e36iπ/21}
•les racines septi`emes de asont
S={{ 7
√2eiπ
21 , e 7
√2
7iπ
21 ,7
√2e13iπ
21 ,7
√2e19iπ
21 ,7
√2e25iπ
21 ,7
√2e31iπ
21 ,7
√2e37iπ
21 }
•Raisonnons par ´equivalences
z6¯z= 1 ⇐⇒ |z|7= 1
z6¯z= 1 ⇐⇒ |z|= 1
z6¯z= 1
⇐⇒ |z|= 1
z5= 1 ⇐⇒ z5= 1
Ainsi, les solutions de l’´equation propos´ee sont simplement les racines cin-
qui`emes de 1. N
Exercice 12 .— Nous allons chercher ces racines en notation alg´ebrique.
1.
(x+iy)2= 9 + 40i⇐⇒
x2−y2= 9
x2+y2= 41
xy > 0⇐⇒
x2= 25
y2= 16
xy > 0
⇐⇒
x=±5
y=±4
xy > 0
Les racines carr´ees de 9 + 40isont ±(5 + 4i).
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