NOMBRES COMPLEXES Notations algébrique - MPSI Saint

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 15 septembre 2015
NOMBRES COMPLEXES
Notations alg´ebrique et exponentielle
Exercice 1 : Parmi les assertions suivantes, dites lesquelles sont vraies.
1. Re n
X
i=1
ai!=
n
X
i=1
Re (ai)
2. Re (i z) = −Im (z)
3. si λ∈R,Im (λz) = λIm z
4. Im n
Y
i=1
ai!=
n
Y
i=1
Im (ai)
5. si z6= 0, alors 1
z=¯z |z|2
6. Im z
w=Im z Im w
Exercice 2 : Mettez sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants :
z1=3 + 6i
3−4i, z2=1 + i 2−i2
+1−7i
4 + 3i, z3=2 + 5i 1−i+2−5i 1 + i.
Exercice 3 : Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes :
z1=3
1−i, z2=(1 + i)3 1−i+(1 −i)4 (1 −i)2, z3=(√6−i√2)(1 + i) 1−i.
Exercice 4 : Soit θ, θ′deux nombres r´eels.
1. Transformez eiθ +eiθ′en factorisant par eiθ+θ′
2sous la forme ρeiθ o`u ρet θsont
des r´eels.
2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes
z1= 1 + eiπ/3, z2=e4iπ/3−1
Exercice 5 : Soit n∈N⋆. Simplifiez
1. z1= 1 + i√3
1−i!n
2. z2=√3−1+i1 + √3n+√3−1−i1 + √3n.
Exercice 6 : D´eterminez l’ensemble des entiers naturels n∈Npour lesquels
(1 + i)n∈R.
Exercice 7 : D´eterminez l’ensemble des points M(z) tels que z+ ¯z=|z|
Exercice 8 :
1. D´eterminez le lieu des points Md’affixes zqui sont align´es avec Id’affixe iet
M′d’affixe iz.
2. Quel lieu d´ecrivent les points M′correspondants ?
Exercice 9 : D´emontrez que pour tous uet vdans C,
|u+v|2+|u−v|2= 2 (|u|2+|v|2).
Exercice 10 : Soit a∈C⋆. R´esolvez dans Cl’´equation ez=a
Racines n`emes
Exercice 11 : R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
1. z5= 1. 2. z7= 1 + i√3. 3. z6¯z= 1.
Exercice 12 : D´eterminez les racines carr´ees de 9 + 40iet les racines quatri`emes
de −7−24i.
Exercice 13 :
1. Pr´esentez sous forme exponentielle u=1 + i√3
1−i√3,et v=1−i 1 + i√3.
2. R´esoudre dans Cles ´equations z6=uet z4=v.
Exercice 14 : Soit n≥2. On note ω=e2iπ/n. Montrez que
n−1
Y
k=0
ωk= (−1)n−1.
´
Equations polynomiales
Exercice 15 : R´esoudre dans Cles ´equations suivantes
1. z2−(2 + 3i)z+ 3i−1 = 0.
2. z6−(1 + 2i)z3+ 3(1 + i) = 0.
1

Exercice 16 : R´esoudre dans Cl’´equation z3−(3 + 4i)z2−3(1 −4i)z+ 9 = 0.
Indication : vous v´erifierez que cette ´equation poss`ede une solution r´eelle.
Exercice 17 : R´esolvez dans Cles ´equations suivantes
1. z
z−1n
= 1.
2. (z+i)n= (z−i)n. Observez qu’elle admet n−1 solutions, toutes r´eelles.
Applications `a la trigonom´etrie
Exercice 18 : Soit ω=e2iπ/5. On pose S=ω+ω4et T=ω2+ω3. Calculez Set
T. D´eduisez-en cos( π
5).
Exercice 19 :
1. Pr´esentez sous forme trigonom´etrique les nombres complexes
u=1
2(√6−i√2) et v= 1 −i.
2. En d´eduire une pr´esentation trigonom´etrique de u/v, puis les valeurs exactes de
cos π/12 et sin π/12.
Exercice 20 :
1. Lin´earisez cos2(x) sin2(x), et cos5(x) sin(x).
2. Exprimez cos(5x) en fonction de cos(x).
Exercice 21 : Soit x∈Rtel que x6≡ 0[2π] et n∈N⋆.
On note C(x) =
n
X
k=0
cos(kx) et S(x) =
n
X
k=0
sin(kx). Montrez que
C(x) = sin n+1
2xcos nx 2
sin x
2et S(x) = sin n+1
2xsin n 2x
sin x
2
Exercice 22 : Soit (a, x)∈R2et n∈N⋆.
1. Calculez S1=
n−1
X
k=0
cos(a+kx).
2. En d´eduire S2=
n−1
X
k=0
cos3kx.
2

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CORRECTION DES EXERCICES
Exercice 1 .—
1. VRAI
2. VRAI
3. VRAI
1. TROPA
2. VRAI
3. TROPA N
Exercice 2 .—
z1=−3
5+i6 5
z2=−1−i
z3=−3
N
Exercice 3 .—
z1= 3√2
2eiπ/4
z2= 2√2e5iπ/4
z3= 2√2e−iπ/6
Exercice 4 .—
eiθ +eiθ′= 2 cos θ−θ′
2ei1
2(θ+θ′)
1 + eiπ/3=√3eiπ/6
e4iπ/3−1 = √3ei7π/6
N
Exercice 5 .—
1. 1 + i√3 = 2epi/3, 1 −i=√2e−iπ/4. D’o`u 1 + i√3
1−i=√2e7iπ/12. Par la formule
de Moivre, il s’ensuit que
z1= (√2)ne7inπ/12
2. On remarque que √3−1+i1 + √3et √3−1−i1 + √3sont conjugu´es.
Par les propri´et´es de la conjugaison, il en r´esulte que leurs puissances ni`eme sont
aussi conjugu´ees. Ainsi,
z2=√3−1+i1 + √3n+√3−1−i1 + √3n
= 2Re √3−1+i1 + √3n
Or
√3−1+i1 + √3=√3 + i−1 + i√3 = 2(eiπ/6+eiπ/3
= 4 cos(−π/4) ei5π/12 = 2√2ei5π/12
D’apr`es les formules de Moivre, il s’ensuit que
z2= 2Re 2√2nei5nπ/12= 22√2ncos 5nπ
12
N
Exercice 6 .— Pour caract´eriser les nombres r´eels parmi les nombres complexes,
nous diposons de plusieurs strat´egies.
•Montrer que la partie imaginaire de zest nulle ;
•Montrer que zest ”autoconjugu´e” z= ¯z;
•Montrer qu’un argument de zest congru `a 0 modulo π(pour z6= 0).
Ici, (1 + i)n=√2eiπ/4n
= (√n)neinπ/4. En particulier, comme son module est
strictement positif, nous pouvons utiliser la troisi`eme caract´erisation, il vient :
(1 + i)n∈R⇐⇒ arg (1 + i)n≡0 [π]⇐⇒ nπ
4≡0 [π]
⇐⇒ n≡0 [4]
Ainsi, (1 + i)nest r´eel si et seulement si il existe un entier k∈Ztel que n= 4k.
En conclusion, (1 + i)nest r´eel si et seulement si nest multiple de 4. N
Exercice 7 .— Soit z∈C.
z+ ¯z=|z| ⇐⇒ z=x+iy, (x, y)∈R2
2x=px2+y2
⇐⇒ 
z=x+iy, (x, y)∈R2
x≥0
4x2=x2+y2
⇐⇒ 
z=x+iy, (x, y)∈R2
x≥0
y2= 3x2
⇐⇒ 
z=x+iy, (x, y)∈R2
x≥0
y=√3xou y=−√3x
3

Ainsi, le lieu d´ecrit par les points M(z) est la r´eunion des deux demi-droites
y=√3x
x≥0et y=−√3x x≥0.N
Exercice 8 .—
1. Il est clair que si zest 1 ou i, les points I, M et M′sont align´es vu que deux
d’entre eux sont confondus. Supposons d´esormais que zest un nombre complexe
diff´erent de 1 et de i. En ce cas, les points I, M et M′sont align´es si et seulement
si les vecteurs −−→ IM et −−→ IM′sont colin´eaires, ce qui se traduit en affixes par
I, M et M′sont align´es ⇐⇒ les vecteurs −−→ IM et −−→ IM′sont colin´eaires
⇐⇒ iz −i
z−i∈R
⇐⇒ i(z−1)(¯z+i)∈R
⇐⇒ Re (z−1)(¯z+i) = 0
Ecrivons z=x+iy en notation alg´ebrique. Il vient
(z−1)(¯z+i) = (x−1)+iyx−i(y−1)=x(x−1)+y(y−1)+iy(x−1)+x(y−1)
Par cons´equent, les points Il,Met M′sont align´es si et seulement si les parties
r´eelles et imaginaires xet yde zv´erifient
x2+y2−x−y= 0
On reconnait ici l’´equation du cercle de centre Ω(1
2,1 2) et de rayon √2 2.
Conclusion : le lieu des points Md’affixes zqui sont align´es avec Id’affixe iet
M′d’affixe iz est le cercle de centre Ω(1
2,1 2) et de rayon √2 2.
2. Comme la multiplication par i=eiπ/2s’interpr`ete g´eom´etriquement comme la
rotation de centre Oet d’angle π/2, le lieu des points M′est le cercle de centre
Ω′(−1
2,1 2) et de rayon √2 2.N
Exercice 9 .— Il s’agit d’un simple calcul. Soit (u, v)∈C2. Alors
|u+v|2+|u−v|2= (u+v)(u+v) + (u−v) (u−v)
= (u+v) (¯u+ ¯v) + (u−v) (¯u−¯v)
=u¯u+u¯v+v¯u+v¯v+u¯u−u¯v−v¯u+v¯v
= 2(|u|2+|v|2) + u¯v+ ¯uv −u¯v−v¯u
= 2|u|2+|v|2N
Exercice 10 .— Soit a=ρeiα un nombre complexe non nul en notation trigo-
nom´etrique (ρ > 0) et z=x+iy un nombre complexe pr´esent´e sous forme alg´ebrique
(x, y r´eels) fix´es. Alors
ez=a⇐⇒ e(x+iy)=ρeiα ⇐⇒ |e(x+iy)|=ex=ρ
y≡α[2π]⇐⇒ x= ln ρ
il existe k∈Z;y=α+ 2
⇐⇒ il existe k∈Z;z= ln ρ+i(α+ 2kπ).
Ainsi, S={ln |a|+i(arg a+ 2kπ) ; k∈Z}.N
Exercice 11 .—
1. Les racines 5i`emes de 1 sont U5={1, e2iπ/5, e4iπ/5, e6iπ/5, e8iπ/5}.
2. il s’agit de d´eterminer les racines 7i`emes de a= 1 + i√3.
•a= 2eiπ/3
•Une racine 7i`eme particuli`ere est ζ0=7
√2eiπ/21
•Les racines septi`emes de 1 sont
U7={1, e6iπ/21, e12iπ/21, e18iπ/21, e24iπ/21, e30iπ/21, e36iπ/21}
•les racines septi`emes de asont
S={{ 7
√2eiπ
21 , e 7
√2
7iπ
21 ,7
√2e13iπ
21 ,7
√2e19iπ
21 ,7
√2e25iπ
21 ,7
√2e31iπ
21 ,7
√2e37iπ
21 }
•Raisonnons par ´equivalences
z6¯z= 1 ⇐⇒ |z|7= 1
z6¯z= 1 ⇐⇒ |z|= 1
z6¯z= 1
⇐⇒ |z|= 1
z5= 1 ⇐⇒ z5= 1
Ainsi, les solutions de l’´equation propos´ee sont simplement les racines cin-
qui`emes de 1. N
Exercice 12 .— Nous allons chercher ces racines en notation alg´ebrique.
1.
(x+iy)2= 9 + 40i⇐⇒ 
x2−y2= 9
x2+y2= 41
xy > 0⇐⇒ 
x2= 25
y2= 16
xy > 0
⇐⇒ 
x=±5
y=±4
xy > 0
Les racines carr´ees de 9 + 40isont ±(5 + 4i).
4

2. Nous allons chercher une racine quatri`eme particuli`ere ζ0. On obtiendra toutes
les racines quatri`emes de −7−24ien multipliant ζ0par U4.
•une racine carr´ee de −7−24iest 3 −4i.
•une racine car´ee de 3 −4iest ζ0= 2 −i.
•les racines quatri`emes de −7−24isont donc
S={2−i, 1 + 2i, −2 + i, −1−2i}
N
Exercice 13 .—
1.
u=e2iπ/3v=√2
2e−7iπ/12
2. D´eterminons les racines sixi`emes de u:
•u=e2iπ/3
•une racine sixi`eme particuli`ere de uest u0=eiπ/9.
•les racines sixi`emes de 1 sont U6={1, e3iπ/9, e6iπ/9, e9iπ/9, e12iπ/9, e15iπ/9}.
•Les racines sixi`emes de usont
S={eiπ/9, e4iπ/9, e5iπ/9, e10iπ/9, e13iπ/9, e16iπ/9}
3. D´eterminons les racines quatri`emes de v:
•v=1
√2e−7iπ/12.
•une racine quatri`eme particuli`ere de vest donc v0=1
8
√2e−7iπ/48.
•Les racines quatri`emes de l’unit´e sont U4={1, e24iπ/48, e48iπ/48, e72iπ/48}.
•les racines quatri`emes de vsont donc
S={1
8
√2e−7iπ/48,1
8
√2e17iπ/48,1
8
√2e41iπ/48,1
8
√2e65iπ/48}
N
Exercice 14 .—
n−1
Y
k=0
ωk=
n−1
Y
k=0
e2ikπ/n = exp 2π
n
n−1
X
k=0
k= exp 2π
n
n(n−1)
2= (−1)n
N
Exercice 15 .—
1. (E1)z2−(2 + 3i)z+ 3i−1 = 0
•Le discriminant est ∆ = −1.
•les solutions de (E1) sont z1= 1 + 2iet z2= 1 + i.
2. (E2)z6−(1 + 2i)z3+ 3(1 + i) = 0.
•Soit z∈C.
(E2)⇐⇒ z3=w
w2−(1 + 2i)w+ 3(1 + i) = 0 ⇐⇒ z3=w
w= 1 −iou w= 3i
⇐⇒ z3= 1 −iou z3= 3i
•Les solutions de (E2) sont donc les racines cubiques de 1 −iet celles de
3i.
•Par cons´equent,
S2={6
√2e−iπ/12,6
√2e7π/12,6 √2e15iπ/12,3 √3eiπ/6,3 √3e5iπ/6,3 √3e9iπ/6}
N
Exercice 16 .— on note (E) l’´equation z3−(3 + 4i)z2−3(1 −4i)z+ 9 = 0
•soit x∈R. En identifiant parties r´eelles et imaginaires dans (E), il vient :
x3−(3 + 4i)x2−3(1 −4i)x+ 9 = 0 ⇐⇒ x3−3x2−3x+ 9 = 0
−4x2+ 12x= 0
⇐⇒ x3−3x2−3x+ 9 = 0
x= 0 ou x= 3
⇐⇒ x= 3
Ainsi, 3 est racine de (E).
•Factorisons le polynˆome z3−(3+4i)z2−3(1−4i)z+9 par z−3. En proc´edant
par identification des coefficients, il vient :
z3−(3 + 4i)z2−3(1 −4i)z+ 9 = (z−3) (z2−4iz −3)
•R´esolvons (z2−4iz −3) = 0. Le discriminant est ∆ = −4 = (2i)2. Par
cons´equent, il y a deux solutions distinctes iet 3i.
•Finalement
S={i, 3i, 3}
Exercice 17 .— Ces ´equations se ram`enent `a des calculs de racines ni`emes au moyen
d’un changement d’inconnue.
5