NOMBRES COMPLEXES Notations algébrique - MPSI Saint

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
semaine du 15 septembre 2015
NOMBRES COMPLEXES
Notations algébrique et exponentielle
Exercice 7 : Déterminez l’ensemble des points M (z) tels que z + z̄ = |z|
Exercice 8 :
Exercice 1 : Parmi les assertions suivantes, dites lesquelles sont vraies.
!
!
n
n
n
n
X
Y
X
Y
1. Re
4. Im
ai =
ai =
Re (ai )
Im (ai )
i=1
i=1
i=1
1. Déterminez le lieu des points M d’affixes z qui sont alignés avec I d’affixe i et
M ′ d’affixe iz.
2. Quel lieu décrivent les points M ′ correspondants ?
i=1
z̄
1
5. si z =
6 0, alors = 2
z
|z|
z
Im z
6. Im
=
w
Im w
2. Re (i z) = −Im (z)
3. si λ ∈ R, Im (λz) = λIm z
Exercice 9 : Démontrez que pour tous u et v dans C,
|u + v|2 + |u − v|2 = 2 (|u|2 + |v|2 ).
Exercice 10 : Soit a ∈ C⋆ . Résolvez dans C l’équation ez = a
Exercice 2 : Mettez sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
3 + 6i
z1 =
, z2 =
3 − 4i
1+i
2−i
2
+
Racines nèmes
1 − 7i
2 + 5i 2 − 5i
, z3 =
+
.
4 + 3i
1−i
1+i
Exercice 11 : Résoudre dans C les équations suivantes :
Exercice 3 : Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes :
√
√
(1 + i)3
(1 − i)4
( 6 − i 2)(1 + i)
3
, z2 =
+
,
z
=
.
z1 =
3
1−i
1−i
(1 − i)2
1−i
1. z 5 = 1.
′
θ+θ ′
2
3. z 6 z̄ = 1.
Exercice 12 : Déterminez les racines carrées de 9 + 40i et les racines quatrièmes
de −7 − 24i.
Exercice 4 : Soit θ, θ′ deux nombres réels.
1. Transformez eiθ + eiθ en factorisant par ei
des réels.
√
2. z 7 = 1 + i 3.
Exercice 13 :
sous la forme ρeiθ où ρ et θ sont
√
1−i
1+i 3
√ , et v =
√ .
1−i 3
1+i 3
2. Résoudre dans C les équations z 6 = u et z 4 = v.
1. Présentez sous forme exponentielle u =
2. En déduire la forme exponentielle des nombres complexes
z1 = 1 + eiπ/3 , z2 = e4iπ/3 − 1
Exercice 5 : Soit n ∈ N⋆ . Simplifiez
√ !n
1+i 3
1. z1 =
1−i
√
√ n √
√ n
3−1 +i 1+ 3
3−1 −i 1+ 3
+
.
2. z2 =
Exercice 14 : Soit n ≥ 2. On note ω = e2iπ/n . Montrez que
Équations polynomiales
Exercice 15 : Résoudre dans C les équations suivantes
Exercice 6 : Déterminez l’ensemble des entiers naturels n ∈ N pour lesquels
(1 + i)n ∈ R.
1. z 2 − (2 + 3i)z + 3i − 1 = 0.
2. z 6 − (1 + 2i)z 3 + 3(1 + i) = 0.
1
n−1
Y
k=0
ω k = (−1)n−1 .
Exercice 16 : Résoudre dans C l’équation z 3 − (3 + 4i)z 2 − 3(1 − 4i)z + 9 = 0.
Indication : vous vérifierez que cette équation possède une solution réelle.
Exercice 17 : Résolvez dans C les équations suivantes
n
z
= 1.
1.
z−1
2. (z + i)n = (z − i)n . Observez qu’elle admet n − 1 solutions, toutes réelles.
Applications à la trigonométrie
Exercice 18 : Soit ω = e2iπ/5 . On pose S = ω + ω 4 et T = ω 2 + ω 3 . Calculez S et
T . Déduisez-en cos( π5 ).
Exercice 19 :
1. Présentez sous forme trigonométrique les nombres complexes
u=
√
1 √
( 6 − i 2) et v = 1 − i.
2
2. En déduire une présentation trigonométrique de u/v, puis les valeurs exactes de
cos π/12 et sin π/12.
Exercice 20 :
1. Linéarisez cos2 (x) sin2 (x), et cos5 (x) sin(x).
2. Exprimez cos(5x) en fonction de cos(x).
Exercice 21 : Soit x ∈ R tel que x 6≡ 0[2π] et n ∈ N⋆ .
n
n
X
X
sin(kx). Montrez que
cos(kx) et S(x) =
On note C(x) =
k=0
k=0
C(x) =
sin
n+1
2 x
sin
cos
x
2
nx
2
et S(x) =
Exercice 22 : Soit (a, x) ∈ R2 et n ∈ N⋆ .
1. Calculez S1 =
n−1
X
sin
n+1
2 x
sin
sin
x
2
n
2x
cos(a + kx).
k=0
2. En déduire S2 =
n−1
X
cos3 kx.
k=0
2
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semaine du 15 septembre 2015
CORRECTION DES EXERCICES
1. VRAI
Exercice 1 .— 2. VRAI
1. TROPA
3. VRAI
3. TROPA
Or
2. VRAI
N
Exercice 2 .—
z1
=
z2
=
z3
=
√
√ 3−1 +i 1+ 3
√
√
3 + i − 1 + i 3 = 2(eiπ/6 + eiπ/3
√
4 cos(−π/4) ei5π/12 = 2 2 ei5π/12
=
=
D’après les formules de Moivre, il s’ensuit que
√ n
√ n
5nπ
z2 = 2Re 2 2 ei5nπ/12 = 2 2 2 cos
12
6
3
− +i
5
5
−1 − i
−3
N
N
Exercice 6 .— Pour caractériser les nombres réels parmi les nombres complexes,
nous diposons de plusieurs stratégies.
Exercice 3 .—
z1
=
z2
z3
=
=
√
2 iπ/4
3
e
2
√ 5iπ/4
2 2e
√
2 2e−iπ/6
• Montrer que la partie imaginaire de z est nulle ;
• Montrer que z est ”autoconjugué” z = z̄ ;
• Montrer qu’un argument de z est congru à 0 modulo π (pour z 6= 0).
√ iπ/4 n
√
n
= ( n)n einπ/4 . En particulier, comme son module est
Ici, (1 + i) =
2e
Exercice 4 .—
iθ
e +e
iθ ′
iπ/3
=
1+e
=
4iπ/3
e
−1 =
strictement positif, nous pouvons utiliser la troisième caractérisation, il vient :
θ − θ′ i 1 (θ+θ′ )
2 cos
e 2
√ iπ/62
3e
√ i7π/6
3e
(1 + i)n ∈ R
N
Exercice 5 .—
√
√
√
1 + i 3 √ 7iπ/12
1. 1 + i 3 = 2epi/3 , 1 − i = 2 e−iπ/4 . D’où
. Par la formule
= 2e
1−i
de Moivre, il s’ensuit que
√
z1 = ( 2)n e7inπ/12
√
√ √ √
2. On remarque que
3 − 1 + i 1 + 3 et
3 − 1 − i 1 + 3 sont conjugués.
Par les propriétés de la conjugaison, il en résulte que leurs puissances nième sont
aussi conjuguées. Ainsi,
√
√ n √
√ n
3−1 +i 1+ 3
3−1 −i 1+ 3
+
z2 =
3
√
√ n
= 2Re
3−1 +i 1+ 3
⇐⇒
arg (1 + i)n ≡ 0 [π] ⇐⇒ n
⇐⇒
n ≡ 0 [4]
π
≡ 0 [π]
4
Ainsi, (1 + i)n est réel si et seulement si il existe un entier k ∈ Z tel que n = 4k.
En conclusion, (1 + i)n est réel si et seulement si n est multiple de 4.
N
Exercice 7 .— Soit z ∈ C.
z + z̄ = |z|
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
z = xp
+ iy, (x, y) ∈ R2
2x = x2 + y 2

 z = x + iy, (x, y) ∈ R2
x≥0

4x2 = x2 + y 2

 z = x + iy, (x, y) ∈ R2
x≥0
 2
y = 3x2

2
 z = x + iy, (x, y) ∈ R
x≥√
0
√

y = 3x ou y = − 3x
Exercice 10 .— Soit a = ρeiα un nombre complexe non nul en notation trigonométrique (ρ > 0) et z = x+iy un nombre complexe présenté sous forme algébrique
(x, y réels) fixés. Alors
(x+iy)
x = ln ρ
|e
| = ex = ρ
ez = a ⇐⇒ e(x+iy) = ρeiα ⇐⇒
⇐⇒
il existe k ∈ Z; y = α + 2
y ≡ α [2π]
Ainsi, le
par √les points M (z) est la réunion des deux demi-droites
√ lieu décrit
y = 3x
y = − 3x
et
.
N
x≥0
x≥0
Exercice 8 .—
1. Il est clair que si z est 1 ou i, les points I, M et M ′ sont alignés vu que deux
d’entre eux sont confondus. Supposons désormais que z est un nombre complexe
différent de 1 et de i. En ce cas, les points I, M et M ′ sont alignés si et seulement
−−→ −−→
si les vecteurs IM et IM ′ sont colinéaires, ce qui se traduit en affixes par
−−→ −−→
I, M et M ′ sont alignés ⇐⇒ les vecteurs IM et IM ′ sont colinéaires
iz − i
∈R
⇐⇒
z−i
⇐⇒ i(z − 1)(z̄ + i) ∈ R
⇐⇒
⇐⇒
Ainsi, S = {ln |a| + i(arg a + 2kπ) ; k ∈ Z}.
Re (z − 1)(z̄ + i) = 0
U7 = {1, e6iπ/21 , e12iπ/21 , e18iπ/21 , e24iπ/21 , e30iπ/21 , e36iπ/21 }
• les racines septièmes de a sont
Par conséquent, les points Il, M et M ′ sont alignés si et seulement si les parties
réelles et imaginaires x et y de z vérifient
7iπ √
√
√
iπ
13iπ √
19iπ √
25iπ √
31iπ √
37iπ
7
7
7
7
7
7
7
S = {{ 2e 21 , e 2 21 , 2e 21 , 2e 21 , 2e 21 , 2e 21 , 2e 21 }
x2 + y 2 − x − y = 0
• Raisonnons par équivalences
|z|7 = 1
|z|
z 6 z̄ = 1 ⇐⇒
⇐⇒
z 6 z̄ = 1
z 6 z̄
|z| = 1
⇐⇒
⇐⇒ z 5 = 1
z5 = 1
√
1 1
2
.
On reconnait ici l’équation du cercle de centre Ω( , ) et de rayon
2 2
2
Conclusion : le lieu des points M d’affixes z qui sont alignés
√ avec I d’affixe i et
1
1
2
M ′ d’affixe iz est le cercle de centre Ω( , ) et de rayon
.
2 2
2
2. Comme la multiplication par i = eiπ/2 s’interprète géométriquement comme la
rotation de centre O et √
d’angle π/2, le lieu des points M ′ est le cercle de centre
1 1
2
Ω′ (− , ) et de rayon
.
N
2 2
2
=
=
=
(u + v) (u + v) + (u − v) (u − v)
(u + v) (ū + v̄) + (u − v) (ū − v̄)
uū + uv̄ + v ū + vv̄ + uū − uv̄ − v ū + vv̄
2(|u|2 + |v|2 ) + uv̄ + ūv − uv̄ − v ū
2 |u|2 + |v|2
1
1
Exercice 12 .— Nous allons chercher ces racines en notation algébrique.
1.
 2
 2
 x − y2 = 9
 x = 25
x2 + y 2 = 41 ⇐⇒
y 2 = 16
(x + iy)2 = 9 + 40i ⇐⇒


xy > 0
xy > 0

x
=
±5

y = ±4
⇐⇒

xy > 0
Exercice 9 .— Il s’agit d’un simple calcul. Soit (u, v) ∈ C . Alors
=
=
=
Ainsi, les solutions de l’équation proposée sont simplement les racines cinquièmes de 1.
N
2
=
N
Exercice 11 .—
1. Les racines 5ièmes de 1 sont U5 = {1, e2iπ/5 , e4iπ/5 , e6iπ/5 , e8iπ/5 }.
√
2. il s’agit de déterminer les racines 7ièmes de a = 1 + i 3.
• a = 2eiπ/3
√
• Une racine 7ième particulière est ζ0 = 7 2eiπ/21
• Les racines septièmes de 1 sont
Ecrivons z = x + iy en notation algébrique. Il vient
(z−1)(z̄+i) = (x−1)+iy x−i(y−1) = x(x−1)+y(y−1) +i y(x−1)+x(y−1)
|u + v|2 + |u − v|2
il existe k ∈ Z; z = ln ρ + i(α + 2kπ).
Les racines carrées de 9 + 40i sont ±(5 + 4i).
N
4
2. Nous allons chercher une racine quatrième particulière ζ0 . On obtiendra toutes
les racines quatrièmes de −7 − 24i en multipliant ζ0 par U4 .
Exercice 15 .—
1. (E1 ) z 2 − (2 + 3i)z + 3i − 1 = 0
• une racine carrée de −7 − 24i est 3 − 4i.
• Le discriminant est ∆ = −1.
• une racine carée de 3 − 4i est ζ0 = 2 − i.
• les solutions de (E1 ) sont z1 = 1 + 2i et z2 = 1 + i.
• les racines quatrièmes de −7 − 24i sont donc
2. (E2 ) z 6 − (1 + 2i)z 3 + 3(1 + i) = 0.
• Soit z ∈ C.
S = {2 − i, 1 + 2i, −2 + i, −1 − 2i}
(E2 )
N
Exercice 13 .—
1.
u = e2iπ/3
v=
⇐⇒
√
• une racine sixième particulière de u est u0 = eiπ/9 .
• Les racines sixièmes de u sont
1 −7iπ/48
e
.
• une racine quatrième particulière de v est donc v0 = √
8
2
• Les racines quatrièmes de l’unité sont U4 = {1, e24iπ/48 , e48iπ/48 , e72iπ/48 }.
Ainsi, 3 est racine de (E).
• Factorisons le polynôme z 3 −(3+4i)z 2 −3(1−4i)z +9 par z −3. En procédant
par identification des coefficients, il vient :
• les racines quatrièmes de v sont donc
1 −7iπ/48 1 17iπ/48 1 41iπ/48 1 65iπ/48
S = {√
e
,√
e
,√
e
,√
e
}
8
8
8
8
2
2
2
2
z 3 − (3 + 4i)z 2 − 3(1 − 4i)z + 9 = (z − 3) (z 2 − 4iz − 3)
N
• Résolvons (z 2 − 4iz − 3) = 0. Le discriminant est ∆ = −4 = (2i)2 . Par
conséquent, il y a deux solutions distinctes i et 3i.
Exercice 14 .—
k=0
ω =
k=0
e
= exp
z3 = w
w = 1 − i ou w = 3i
• soit x ∈ R. En identifiant parties réelles et imaginaires dans (E), il vient :
3
x − 3x2 − 3x + 9 = 0
3
2
x − (3 + 4i)x − 3(1 − 4i)x + 9 = 0 ⇐⇒
−4x2 + 12x = 0
3
x − 3x2 − 3x + 9 = 0
⇐⇒
x = 0 ou x = 3
⇐⇒ x = 3
3. Déterminons les racines quatrièmes de v :
1
• v = √ e−7iπ/12 .
2
Exercice 16 .— on note (E) l’équation z 3 − (3 + 4i)z 2 − 3(1 − 4i)z + 9 = 0
S = {eiπ/9 , e4iπ/9 , e5iπ/9 , e10iπ/9 , e13iπ/9 , e16iπ/9 }
2ikπ/n
z 3 = 1 − i ou z 3 = 3i
⇐⇒
N
• les racines sixièmes de 1 sont U6 = {1, e3iπ/9 , e6iπ/9 , e9iπ/9 , e12iπ/9 , e15iπ/9 }.
n−1
Y
z3 = w
w2 − (1 + 2i)w + 3(1 + i) = 0
• Par conséquent,
√
√
√
√
√
√
6
6
6
3
3
3
S2 = { 2e−iπ/12 , 2e7π/12 , 2e15iπ/12 , 3eiπ/6 , 3e5iπ/6 , 3e9iπ/6 }
• u = e2iπ/3
k
• Les solutions de (E2 ) sont donc les racines cubiques de 1 − i et celles de
3i.
2 −7iπ/12
e
2
2. Déterminons les racines sixièmes de u :
n−1
Y
⇐⇒
• Finalement
n−1 2π X
2π n(n − 1)
k = exp
= (−1)n
n
n
2
k=0
S = {i, 3i, 3}
Exercice 17 .— Ces équations se ramènent à des calculs de racines nièmes au moyen
d’un changement d’inconnue.
N
5
1. Notons (E1 ) l’équation
Soit z ∈ C.
z
z−1
n
Ainsi, z est solution de (E2 ) si et seulement si z 6= i et il existe k ∈ [[1, n − 1]]
tel que
1 + e2ikπ/n
cos(kπ/n)
z = −i
=
= cotan (kπ/n)
sin(kπ/n)
1 − e2ikπ/n
= 1.


1

 z 6= 1  z 6=
z
n
=w
z
(E1 ) ⇐⇒
⇐⇒
Visiblement, ces n − 1 nombres réels sont tous différents de i, et par conséquent,
=1


 z n− 1
z−1
w =1
cos(kπ/n)


;
k
∈
[[1,
n
−
1]]
S
=
1

 z 6= 1
 z 6=
sin(kπ/n)
z
=w
⇐⇒
⇐⇒
∃k ∈ [[0, n − 1]]; w = e2ikπ/n


N
 z−1
z(w − 1) = w
∃k ∈ [[0, n − 1]]; w = e2ikπ/n

Exercice 19 .—

 z 6= 1 w
√
√
z
=
⇐⇒
1. u = 2eiπ/6 et v = 2e−iπ/4 .
w
−
1


u
∃k ∈ [[1, n − 1]]; w = e2ikπ/n
2. Nous avons d’une part
= eiπ/12 = cos π/12 + i sin π/12 et d’autre part
v
√ √ √
u
1 √
Ainsi, z est solution de (E1 ) si et seulement si z 6= 1 et il existe k ∈ [[1, n − 1]]
6 + 2 + i 6 − 2 . En identifiant parties réelle et imaginaire
=
tel que
v
4
2ikπ/n
one gets :
e
−i
√
√
√
√
z = 2ikπ/n
eikπ/n
=
π
π
6+ 2
6− 2
2 sin(kπ/n)
e
−1
=
sin
=
cos
12
4
12
4
−i θ
e 6= 1. En effet,
On vérifie alors que pour tout θ ∈ R,
N
2 sin θ
−i θ
cos θ = 0
Exercice 20 .—
e = 1 ⇐⇒ sin θ − i cos θ = 2 sin θ ⇐⇒
sin θ = 0
2 sin θ
1. Linéarisons cos2 x sin2 x à l’aide de formules de trigo circulaire :
Ainsi, l’ensemble des solutions de (E1 ) est
sin( 2x)
1 1 − cos(4x)
2
2
−i
cos
x
sin
x
=
=
ikπ/n
S=
e
; k ∈ [[1, n − 1]]
4
4
2
2 sin(kπ/n)
1 1
− cos(4x)
=
2. Notons (E2 ) l’équation (z + i)n = (z − i)n .
8 8
Soit z ∈ C

2. Linéarisons cos5 x sin x, à l’aide des formules d’Euler, Moivre et Newton :

z 6= i

z 6= i 
 z+i
ix
5 ix
n
z+i
⇐⇒
(E2 ) ⇐⇒
=w
e − e−ix
e + e−ix
5
=1


z
−
i
cos
x
sin
x
=
×
 n
z−i
2
2i
w =1

1

4
z 6= i

eix + e−ix × e2ix − e−2ix
=
 z+i
 z 6= i
64i
z(1 − w) = −i(1 + w)
⇐⇒
⇐⇒
=w
1 4ix


z
−
i
2ikπ/n

=
e + 4ei2x + 6 + 4e−2ix + e−4ix × e2ix − e−2ix
∃k
∈
[[0,
n
−
1]];
w
=
e
2ikπ/n
64i
∃k ∈ [[0, n − 1]]; w = e

1 6ix
z 6= i
e + 4e4ix + 5ei2x + 0 − 5e−2ix − 4e−4ix − e−6ix
=


64i
∃k ∈ [[1, n − 1]]; w = e2ikπ/n
⇐⇒
1
1
+
w

=
sin(6x) + 4 sin(4x) + 5 sin(2x)
 z = −i
32
1−w
6
5
3. cos 5x = Re ei5x = Re cos x + i sin x . Or
cos x + i sin x
5
=
→ Si x est congru à 0 modulo 2π, cette somme se réduit à neia , et dans ce cas,
S1 vaut n cos a.
cos5 x + 5i cos4 x sin x − 10 cos3 x sin2 x
→ si x 6≡ 0[2π]. En ce cas, l’identité géométrique donne
−10i cos2 sin3 x + 5 cos x sin4 x + i sin5 x
En ne gardant que la partie réelle, il vient :
cos(5x)
=
=
=
S = eia
cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x
cos5 x − 10 cos3 x(1 − cos2 x) + 5 cos x(1 − cos2 x)2
5
En ce cas, S1 =
cos(a +
cos3 θ
Exercice 21 .— Plutôt que de calculer directement C(x) et S(x), nous avons
intérêt à ”passer en complexes” : calculons donc
n
X
=
=
=
eikx .
k=0
=
D’après les formules de Moivre, l’identité géométrique et les formules d’Euler, nous
pouvons écrire :
E(x)
=
n
X
k=0
=
eikx =
sin(n + 1)x/2 inx/2)
e
sin(x/2)
n
2x
N
Exercice 22 .— Soit (a, x) ∈ R2 et n ∈ N⋆ .
1. Remarquons que S1 est la partie réelle de la somme de complexes S =
n−1
X
ei(a+kx) . Or d’après la formule de Moivre
k=0
S=e
ia
n−1
X
k=0
eix
1 + cos(2θ)
cos θ
2
1
cos θ + cos(2θ) cos θ
2
1
1
cos θ +
cos(3θ) + cos θ
2
2
1
3
cos(θ) + cos(3θ)
4
4
cos2 θ cos θ =
On obtient la valeur de S2 en appliquant le résultat de la première question à x
et à 3x.
N
ei(n+1)x/2 ei(n+1)x/2 − e−i(n+1)x/2
ei(n+1)x − 1
=
ix
e −1
eix/2
eix/2 − e−ix/2
Finalement, comme C(x) = Re E(x) et S(x) = Im E(x) j’obtiens
nx
sin n+1
sin n+1
2 x cos
2
2 x sin
C(x) =
et S(x) =
sin x2
sin x2
.
2. Linéarisons cos3 θ.
N
E(x) =
n−1
2 x) sin(nx/2)
sin(x/2)
3
16 cos x − 20 cos x + 5 cos x
n−1 sin(nx/2)
einx − 1
= eia ei 2 x
ix
e −1
sin(x/2)
k
7