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X Maths 2 MP 2007 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2007
DEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
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Relationsdecommutation
Dansce problème,onseproposededécrirelestriplets(K,E,F)oùK,E,Fsont troisendo-
morphismesd’un espace vectorielsatisfaisantcertainesrelationsde commutation.On désignera
toujoursparqun nombre complexenon nulet telquepour toutentiern>0,qn6=1.
Premièrepartie
Danscettepartie,on désigneparXun espace vectorielcomplexededimensionfinien>2,
etpar(x1,... ,xn)unebasedeX.
1.SoitAun endomorphismedeXreprésentédanslabase(x1,... ,xn)parunematrice diago-
nalede coefficientsdiagonauxa1,... ,andeuxàdeuxdistincts.Montrerquetoutendomorphisme
BdeX,commutantàA,estaussireprésentéparunematrice diagonale.
2.SoitA1,... ,ApdesendomorphismesdeX.
2.a)Montrerque,si les seuls sous-espacesvectorielsdeXstablesparA1, . . . , Apsont{0}
etX,alorstoutendomorphismeBdeX,commutantàA1,... ,Ap,estun multiplescalairede
l’identité.
2.b)Laréciproque est-ellevraie?
Deuxièmepartie
On définitXet(x1,... ,xn)commeàlapremièrepartie.On noteK0etF0lesendomor-
phismesdeXdéfiniscommesuit:
∀p=1,... ,n,K0xp=qn+1−2pxp,F0xp=
xp+1sip<n
0sip=n
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X Maths 2 MP 2007 — Énoncé 2/4
3.CalculerK0F0−q−2F0K0.
4.Déterminerles sous-espacesvectorielsdeXstablesparF0,puisceuxstablesparF0etK0.
On définitun troisième endomorphismeE0deXpar
E0xp=((q−q−1)−2(qp−1−q1−p)(qn+1−p−qp−n−1)xp−1sip>1
0sip=1.
5.CalculerK0E0−q2E0K0.
6.Vérifierlarelation
E0F0−F0E0=(q−q−1)−1(K0−K−1
0).
7.Déterminerles sous-espacesvectorielsdeXstablesparK0,E0,F0.
Troisièmepartie
Danscettepartie,on désigneparKetEdeuxendomorphismesd’un espace vectorielcomplexe
Xdedimensionnsatisfaisantlesconditions suivantes:
i)KE=q2EK
ii)Kestinversible
iii)Eestnon nul.
Pour toutnombre complexeλon pose
Xλ=Ker(K−λI),Yλ=Ker(E−λI).
8.Vérifierlesrelations
E(Xλ)⊂Xq2λ,K(Yλ)⊂Yq−2λ.
9.MontrerqueYλest réduità{0}siλestnon nul.
10.Indiquerun nombre entierr>0telqueEr=0.
11.Montrerqu’il existeun élémentxnon nuldeKerE,vecteurproprepourK.
12.OnsupposeXdedimension2,etonseproposededémontrerl’existence d’unebase
(x1,x2)deXpossédantlespropriétés suivantes:
(P1)Kx1=λx1oùλestun scalaire convenable
(P2)Kx2=q−2λx2
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X Maths 2 MP 2007 — Énoncé 3/4
(P3)Ex1=0
(P4)Ex2=x1.
12.a)Montrerqu’il existeun vecteurx0
1etun scalaireλtelsquel’onait
Kx0
1=λx0
1etEx0
1=0.
On notex0
2un vecteurnon nuletnon proportionnelàx0 1.
12.b)MontrerquelevecteurEx0
2,qu’on notex1,estun multiplenon nuldex0 1.
12.c)Montrerqu’il existeun scalaireβtelque
Kx0
2=βx1+q−2λx0
2.
12.d)Trouverun scalaireαtelquelesvecteursx1etx2=x0
2+αx1répondentàlaquestion.
Quatrièmepartie
Danscettequatrièmepartieon désigneparXun espace vectorielcomplexededimension
n>2etonconsidèreun triplet(K,E,F)d’endomorphismesdeXsatisfaisantlesconditions
suivantes:
i)Kestinversible,K26=I
ii)KE=q2EK
iii)KF=q−2FK
iv)EF−FE=(q−q−1)−1(K−K−1)
v)les seuls sous-espacesvectorielsdeX,stablesparK,E,F,sont{0}etX.
13.Vérifierque,pour toutentierm>0,ona
EFm−FmE=(q−q−1)−2(qm−q−m)Fm−1(q1−mK−qm−1K−1).
Dansce quisuit,on noteν1un vecteurnon nuldeX,annuléparEetvecteurpropredeKpour
une certainevaleurproprequel’on noteraλ.Pour toutentierm>0,on poseνm=Fm−1ν1.
14.CalculerKνm.
15.Démontrerlarelation
∀m>2,Eνm=(q−q−1)−2(qm−1−q1−m)(q2−mλ−qm−2λ−1)νm−1.
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X Maths 2 MP 2007 — Énoncé 4/4
16.Démontrerlesassertions suivantes:
16.a)Ceuxdesvecteursνmquisontnon nuls,sontlinéairementindépendants.
16.b)Ilexistem0>1telqueνm=0pour toutm>m0etqueν1, . . . , νm0soientlinéaire-
mentindépendants.
16.c)Onam0=n.
16.d)Onaλ=±qn−1.
17.Comparerletriplet(K,E,F)avec letriplet(K0,E0,F0)considéréàladeuxièmepartie.
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