Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ⋆ Math. - ES1

? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ?
Math. - ES1 - Algèbre
lundi 4 janvier 2016 - Durée 3 h
Toutes les réponses seront justifiées . La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
Exercice 1
On considère un réel a strictement positif, l’intervalle réel I = [0, a] et l’ensemble E des fonctions f de classe
C 2 sur I telles que f (0) = f (a) = 0.
1. Montrer que E est un R−espace vectoriel.
2. On définit sur E l’application D qui à toute application f ∈ E associe l’application D(f ) = f 00 .
a. Montrer que l’application D est linéaire sur E.
b. Déterminer ker(D) et F = Im (D).
c. Justifier que l’application D : E → F n’est pas un endomorphisme. Est-elle injective ? Est-elle surjective ?
Bien que D ne soit pas un endomorphisme, nous conserverons les notions de valeurs propres, vecteurs propres
et sous-espaces propres définies pour les endomorphismes.
d. Déterminer le spectre de D.
e. Déterminer la dimension de chaque sous-espace propre de D et en donner une base simple.
3. On définit l’application ϕ sur E × E par :
Z
∀(f, g) ∈ E × E, ϕ(f, g) =
a
f (t)g(t) dt.
0
a. Montrer que ϕ est un produit scalaire.
b. On définit, pour tout k ∈ Z∗ , les fonctions fk par :
I →
fk : x 7→
R kπ
x
sin
a
Déterminer une base orthonormée, pour le produit scalaire ϕ, de Vect(fk )k∈Z∗ .
c. Justifier de deux manières différentes que la famille (fk )k∈Z∗ est libre.
Exercice 2
Soient n un entier naturel non nul et A = ai,j
On munit Mn,1 (R) du produit scalaire usuel.
 
1
 .. 
1. On considère le vecteur X =  .  ∈ Mn,1 (R).
i,j
∈ Mn (R) une matrice orthogonale.
1
Calculer AX | X en fonctions des ai,j .
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X
n
n X
2. En déduire que ai,j 6 n
i=1 j=1
3. Montrer que :
n n
X X
a
i,j = n ⇔ ∀i ∈ [[1, n]],
i=1 j=1
n
X
a
i,j = 1.
j=1
Fin de l’énoncé d’algèbre
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