Quelques conseils pour ce devoir

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Voici quelques éléments pour vous aider à faire ce devoir et les corrections de quelques
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erreurs d’énoncé
erreurs d’énoncéerreurs d’énoncé
erreurs d’énoncé :
::
:
I)
I)I)
I) Exercice 1
Exercice 1Exercice 1
Exercice 1
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1
Partie 1Partie 1
Partie 1
On pose, pour toutélément de
1. a. Montrer que 
Penser au théorème de la moyenne :
Soit  une fonction continue sur un intervalle [a,b]. Elle y est donc minorée et majorée (c’est-à-dire
bornée).
Soit  et  tels que 
Alors on a
Ici seul l’un des deux côtés de l’encadrement est utile.
b. En déduire que : 
Penser à ajouter les inégalités obtenues et à utiliser la relation de Chasles généralisée.
2. On considère la fonction  définie sur par : 
 si 
Montrer que  est continue sur 
Question classique
3. Pour tout réel  positif et pour tout entier naturel  non nul, on pose :
(On rappelle que  a été définie à la question 2).
a. Montrer que, pour tout  élément de la fonction  est parfaitement définie et continue
sur  Que vaut 
Un rappel important : si  est une fonction continue sur  alors l’écriture
est celle d’une fonction 

Cette fonction est la
lala
la primitive
primitiveprimitive
primitive de
dede
de qui
quiqui
qui s’annule
s’annules’annule
s’annule en
enen
en
On a donc 
C’est donc une fonction dérivable et donc aussi continue. Elle est donc aussi intégrable.
b. Vérifier qu'il existe deux suites  et  telles que :
On montrera que :
Penser à une récurrence.
Attention erreur d’énoncé : il faut lire
4. Calculer 
On peut écrire :
Et ainsi de suite jusqu’à aboutir à  que l’on connaît.
5. Pour tout  élément de  on pose : 
a. Montrer que 
Penser à une récurrence.
b. En déduire que, pour tout entier  supérieur ou égal à 2 : 
C’est une question difficile.
Penser que l’inégalité à démontrer est équivalente à :
Démontrer alors chaque inégalité séparément.
c. Conclure que 
Rien à signaler
d. Montrer enfin que la série de terme général  est absolument convergente.
Un peu délicat mais c’est la dernière question de l’exercice : il faut essayer de majorer  par le
terme général d’une série convergente et pour cela on peut montrer qu’à partir d’un certain rang
Partie 2
Partie 2Partie 2
Partie 2
On considère les fonctions  définies par :

On note E l'espace vectoriel engendré par 
1. On suppose dans cette question que  et  sont 4 réels tels que :
a. L’égalité précédente devant être vérifiée pour tout réel  strictement positif, montrer en
choisissant une « bonne valeur » pour que 
Rien à signaler
b. Etablir que :
Justifier que 
En déduire par un calcul de limite que 
Si une fonction est nulle, ses limites aux bornes de son intervalle de définition le sont aussI.
c. Etablir ensuite que :
En déduire par un raisonnement identique à celui du b) que 
Raisonnement identique
d. Montrer finalement que 
Rien à signaler
2. a. Déduire de la question précédente que  est une famille libre.
C’est du cours
b. Montrer que ) est une base de E. Quelle est la dimension de 
C’est aussi du cours.
3. On note  l'application qui à toute fonction  de E associe la fonction  définie par :
a. Montrer que  est une application linéaire.
Il faut démontrer que si  et  sont deux fonctions de  et si λ est un nombre réel, alors
Si l’on pose 
on doit montrer que : 
b. Déterminer et.
Rien à signaler
c. Soit  une fonction de  s’écrivant pour tout 

Ecrire  en fonction des réels  et de  et 
C’est le cours sur les applications linéaires.
d. En déduire que  est un endomorphisme de E.
Que faut-il pour qu’une application linéaire soit un endomorphisme ?
4. a. Donner la matrice  de  dans la base 
Qu’est-ce que la matrice d’un endomorphisme dans une base donnée ? Comment la construit-on ?
b. Montrer que  est un automorphisme de 
Quelle propriété de la matrice précédente permet-elle de dire qu’un endomorphisme est un
automorphisme ?
II)
II)II)
II) Exercice 2
Exercice 2Exercice 2
Exercice 2
Soient  et  trois variables aléatoires mutuellement indépendantes et définies sur le
même espace probabilisé 
On suppose que  et  suivent la loi uniforme ( c'est-à-dire que :
1. Déterminer 
Rien à signaler
2. a. Justifier que
Ici tout d’abord signalons une erreur d’énoncé. Il faut lire
Ecrire tout d’abord  
Ce qui se traduit dans tous les cas par :
Montrer alors que 
 conduit à 
b. En déduire que 
Il suffit d’utiliser le résultat précédent

c. Montrer que 
Reprendre la même démarche que dans les question a) et b).
2. a. On rappelle que si les variables  et  sont mutuellement indépendantes, alors les
variables  et  sont indépendantes.
 calculer  (On considèrera deux cas différents).
Attention l’évènement  n’est pas toujours définissable dans 
b. Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que :
Rappelons que de façon générale 
3. a. Montrer que la variable aléatoire  suit la loi 
Déterminer  et calculer  pour tout 
b. Pourquoi  est-elle indépendante de et de  ?
On peut vérifier l’indépendance de  avec  (c’est la même chose avec ) en utilisant l’indépendance
de  et de  et en vérifiant que 
c. En faisant intervenir la variable  et en utilisant la deuxième question, déterminer la
probabilité 
 a la même loi que  et l’évènement  est identique à l’évènement 
III)
III)III)
III) Exercice 3
Exercice 3Exercice 3
Exercice 3
1. On considère la fonction  définie pour tout  élément de 
par
a. Etudier les variations de  et donner les limites de  en 0 et en +∞.
Sans commentaire
b. En déduire qu'il existe un unique réel α élément de  tel que 
Même chose
2. On considère la fonction de deux variables réelles  définie par:
a. Déterminer le seul point critique de  c'est à dire le seul couple de 
 en lequel est
susceptible de présenter un extremum.
Rappel : un point critique est un point pour lequel les deux dérivées partielles premières s’annulent.
b. Vérifier que  présente un minimum relatif  en ce point.
Pour qu’un point critique soit un minimum ou un maximum relatif, il faut certaines conditions sur les
dérivées partielles secondes.