Quelques conseils pour ce devoir

Devoir Vacances
Commentaires et corrections
Voici quelques éléments pour vous aider à faire ce devoir et les corrections de quelques
erreurs d’énoncé :
I)
Exercice 1
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1
On pose, pour tout élément de , 1.
a. Montrer que : , .
1
.
Penser au théorème de la moyenne :
Soit une fonction continue sur un intervalle [a,b]. Elle y est donc minorée et majorée (c’est-à-dire
bornée).
Soit et tels que
, , ! " Alors on a
! # "
&
$ ! "%
! # "
'
Ici seul l’un des deux côtés de l’encadrement est utile.
b. En déduire que : , 1 ( ln!".
Penser à ajouter les inégalités obtenues et à utiliser la relation de Chasles généralisée.
+ !0" 0
2. On considère la fonction +₁ définie sur - par : . + ! " !1 ( ln!"" si
Montrer que +₁ est continue sur - .
Question classique
1
00
3. Pour tout réel positif et pour tout entier naturel non nul, on pose :
3
+ ! " $ + !2" %2
4
(On rappelle que +₁ a été définie à la question 2).
a. Montrer que, pour tout élément de , la fonction + est parfaitement définie et continue
sur - . Que vaut + !0" ?
Un rappel important : si est une fonction continue sur - , alors l’écriture
3
est celle d’une fonction 6:
$ !2 "%2
'
3
6!" $ !2"%2
'
Cette fonction est la primitive de 7 qui s’annule en 8 9
On a donc
6 : ! " ! "
6 !" 0
C’est donc une fonction dérivable et donc aussi continue. Elle est donc aussi intégrable.
b. Vérifier qu'il existe deux suites ! " et ! " telles que :
, - , + !" ⁿ! ( "ln !"".
On montrera que :
, #
et
( 1 ! ( 1"<
(1
Penser à une récurrence.
Attention erreur d’énoncé : il faut lire
+ !" ⁿ! ( ln!""
4. Calculer .
On peut écrire :
1
1 ?
1 1
(1 (1
(1 ( 1 ?
Et ainsi de suite jusqu’à aboutir à que l’on connaît.
5. Pour tout élément de , on pose : @ ! a. Montrer que @ 2 # .
Penser à une récurrence.
b. En déduire que, pour tout entier supérieur ou égal à 2 : |@ |
C’est une question difficile.
Penser que l’inégalité à démontrer est équivalente à :
#1 # ln!" @ 1 ( ln !"
Démontrer alors chaque inégalité séparément.
1 ( ln!".
c. Conclure que lim 0.
Rien à signaler
FG
d. Montrer enfin que la série de terme général est absolument convergente.
Un peu délicat mais c’est la dernière question de l’exercice : il faut essayer de majorer | | par le
terme général d’une série convergente et pour cela on peut montrer qu’à partir d’un certain rang
ln!"
1
! # 1"!
!
Partie 2
On considère les fonctions H₁, H₂, H₃ et H₄ définies par :
- ,
H !" , H< !" < , HL !" ln!" et HM !" < ln !"
On note E l'espace vectoriel engendré par H₁, H₂, H₃ et H₄.
1. On suppose dans cette question que , , @ et % sont 4 réels tels que :
- , ( ² ( @ ln !" ( % < ln !" 0.
a. L’égalité précédente devant être vérifiée pour tout réel strictement positif, montrer en
choisissant une « bonne valeur » pour que ( 0.
Rien à signaler
b. Etablir que :
On considère la fonction 91, (∞F Y
@
(
( (%
ln! " ln!" Justifier que 1, (∞, ! " 0.
En déduire par un calcul de limite que % 0.
Si une fonction est nulle, ses limites aux bornes de son intervalle de définition le sont aussI.
c. Etablir ensuite que :
ln!"
((@
0.
En déduire par un raisonnement identique à celui du b) que 0.
Raisonnement identique
- ,
d. Montrer finalement que @ % 0.
Rien à signaler
2. a. Déduire de la question précédente que !H₁, H₂, H₃, H₄" est une famille libre.
C’est du cours
b. Montrer que !H₁, H₂, H₃, H₄) est une base de E. Quelle est la dimension de Z ?
C’est aussi du cours.
3. On note l'application qui à toute fonction de E associe la fonction [ !" définie par :
- , [!" \!".
a. Montrer que est une application linéaire.
Il faut démontrer que si et < sont deux fonctions de Z et si λ est un nombre réel, alors
!] ( < " ] ! " ( !< "
Si l’on pose
[ ! " ; [< !< " ; [ !] ( < "
on doit montrer que :
- , [!" ][ !" ( [< !"
b. Déterminer !H ", !H< ", !HL " et !HM ".
Rien à signaler
c. Soit une fonction de Z s’écrivant pour tout 9
!" H !" ( < H< !" ( L HL !" ( M HM !".
Ecrire [!" en fonction des réels , < , L , M et de H !", H< !", HL !" et HM ! ".
C’est le cours sur les applications linéaires.
d. En déduire que est un endomorphisme de E.
Que faut-il pour qu’une application linéaire soit un endomorphisme ?
4. a. Donner la matrice _ de dans la base !H₁, H₂, H₃, H₄".
Qu’est-ce que la matrice d’un endomorphisme dans une base donnée ? Comment la construit-on ?
b. Montrer que est un automorphisme de Z.
Quelle propriété de la matrice précédente permet-elle de dire qu’un endomorphisme est un
automorphisme ?
II)
Exercice 2
Soient `, a et b trois variables aléatoires mutuellement indépendantes et définies sur le
même espace probabilisé !c, _, d".
On suppose que `, a et b suivent la loi uniforme ef,g ( c'est-à-dire que :
1
h f1, g, d!` h" d!a h" d!b h" 1. Déterminer !` ( a"!Ω".
Rien à signaler
m
2. a. Justifier que h f2, ( 1g, !` ( a h " j!` k l a h # k"
Ici tout d’abord signalons une erreur d’énoncé. Il faut lire
n<
m?
!` ( a h " j!` k l a h # k"
n
Ecrire tout d’abord
!` ( a h" Ce qui se traduit dans tous les cas par :
!` ( a h" Montrer alors que r 1
2
1
j !` k l a h # k"
no!Ω"
m?np!Ω"
j !` k l a h # k"
qnq
qm?nq
k h # k 1 conduit à 1
h (1
k
h#1
b. En déduire que : h f2, ( 1g, d!` ( a h" Il suffit d’utiliser le résultat précédent
h#1
<
2 # h ( 1
.
<
Reprendre la même démarche que dans les question a) et b).
c. Montrer que : h f ( 2,2g, d!` ( a h" 2. a. On rappelle que si les variables `, a et b sont mutuellement indépendantes, alors les
variables !` ( a" et b sont indépendantes.
h f2,2g, calculer d!` ( a h l b h". (On considèrera deux cas différents).
Attention l’évènement !b h" n’est pas toujours définissable dans f2,2g.
b. Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que :
#1
d!` ( a b" 2<
Rappelons que de façon générale
!` a " j!` h l a h"
3. a. Montrer que la variable aléatoire s ( 1 # b suit la loi ef, g .
Déterminer s!Ω" et calculer d!s h" pour tout h s!Ω".
b. Pourquoi s est-elle indépendante de ` et de a ?
On peut vérifier l’indépendance de s avec ` (c’est la même chose avec a) en utilisant l’indépendance
de ` et de b et en vérifiant que t `!Ω", k s!Ω", d!` t l s k" d!` t "d!s k".
c. En faisant intervenir la variable s et en utilisant la deuxième question, déterminer la
probabilité d!` ( a ( b ( 1".
s a la même loi que b et l’évènement ` ( a ( b ( 1 est identique à l’évènement ` ( a s.
III)
Exercice 3
1. On considère la fonction [ définie pour tout élément de - par
[!" ln!" ( 2 ( 1
a. Etudier les variations de [ et donner les limites de [ en 0 et en +∞.
Sans commentaire
b. En déduire qu'il existe un unique réel α élément de 0,1/H tel que [!v" 0.
Même chose
2. On considère la fonction de deux variables réelles définie par:
!, w" - x -, !, w" !ln!" ( ( w < "
a. Déterminer le seul point critique de , c'est à dire le seul couple de - x - en lequel est
susceptible de présenter un extremum.
Rappel : un point critique est un point pour lequel les deux dérivées partielles premières s’annulent.
b. Vérifier que présente un minimum relatif en ce point.
Pour qu’un point critique soit un minimum ou un maximum relatif, il faut certaines conditions sur les
dérivées partielles secondes.
c. Montrer que #v!v ( 1".
est égal à l’image du point critique par la fonction. Il faudra utiliser le fait que [!v" 0, ce qui
permet d’obtenir ln!v" en fonction de α.
IV)
Exercice 4
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l'intermédiaire de deux serveurs :
le serveur A ou le serveur B.
On constate que le serveur A est choisi dans 70% des cas et donc que le serveur B est choisi
dans 30% des cas. (Ce qui revient à dire que la probabilité pour que le serveur A soit choisi est
de 0,7). Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres.
1. Dans cette question, on suppose que la probabilité d'une erreur de transmission avec le
serveur A est de 0,1, alors que la probabilité d'erreur de transmission avec le serveur B est de
0,05.
a. Calculer la probabilité pour qu'il y ait une erreur de transmission lors de l'envoi d'un courrier.
b. Si le courrier a subi une erreur de transmission, quelle est la probabilité pour que le serveur
utilisé soit le serveur A ?
Ces deux questions font appel à des probabilités conditionnelles de base.
2. Un jour donné, appelé le jour 1, on note les différents serveurs utilisé par l'ordinateur par
une suite de lettres. Par exemple, la suite AABBBA… signifie que les deux premiers jours
l'ordinateur a choisi le serveur A, les jours 3. 4 et 5 il a choisi le le serveur B, et le jour 6 le
serveur A. Dans cet exemple, on dit que l'on a une première série de longueur 2 et une deuxième
série de longueur 3 (Ce qui est également le cas de la série BBAAAB…)
On note y ₁ la variable aléatoire représentant la longueur de la première série et y< la variable
aléatoire représentant la longueur de la deuxième série.
Ainsi, pour h 1, dire que y h signifie que pendant les h premiers jours, c'est le même
serveur qui a été choisi et le jour suivant l'autre serveur.
a. Justifier soigneusement la formule :
h 1 d!y h" 0,3m x 0,7 ( 0,7m x 0,3
Ecrire proprement l’évènement y h comme une réunion d’intersections d’évènements
indépendants, la formule est alors évidente.
b. Vérifier par le calcul que
G
!y h" 1
Il s’agit d’une somme de séries connues
m
c. Déterminer l'espérance mathématique de y .
Là aussi !
d. Déterminer la loi du couple aléatoire !y , y< ".
Rappel : la loi du couple consiste à trouver les probabilités d!y t l y< k".
e. En déduire la loi de y< .
La loi de y< est une loi marginale.
On écrit
!y< t " j !y k l y< t"
n|} !Ω"