Probabilités conditionnelles et lois discrètes

1
A. Vocabulaire des événements
Exemple 1 : Une urne contient cinq boules identiques au toucher, numérotées de 1 à 5.
Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard deux boules de l’urne.
On s'intéresse aux deux numéros obtenus.
On va envisager ici deux expériences aléatoires différentes :
 On tire une boule, on la remet dans l’urne puis on tire une deuxième boule ; on peut s’intéresser à
l’ordre d’apparition des résultats. Dans ce cas on dira qu’une éventualité est un couple (i ; j) d’entiers.
 On tire simultanément les deux boules. On peut donc ne pas s’intéresser à l’ordre d’apparition des
résultats. Dans ce cas on dira qu’une éventualité est une paire {i ;j} d’entiers.
Définition.
L’ensemble des éventualités d’une expérience aléatoire est appelé univers ou univers des possibles
et est noté
Ω
.
• Représenter les éléments de
Ω
à l’aide du tableau à double entrée ci-dessous :
Cas avec ordre et remise Cas sans ordre ni remise
B
1
B
2
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
Card
Ω =
… Card
Ω =
….
Définition. Tout élément de Ω est appelé éventualité ou événement élémentaire.
Définition. Tout sous ensemble de Ω est appelé événement.
Retour à l'exemple 1 dans le cas où l’on a tiré simultanément les deux boules : On considère les événements :
A : « Les deux chiffres sont impairs »
B : « La somme des deux chiffres est inférieure ou égale à 5 »
• Ex : Définir A et B en extension.
A =
B =
Définition.
On note
A
l’événement contraire de A.
A
est constitué de tous les événements élémentaires réalisés lorsque A ne se produit pas.
• Ex : Définir
A
et
B
en extension. (Cas de tirages simultanés)
A ....
B ....
= =
• Définir
A
en compréhension sans utiliser de négation.
Définition. On note
A
B
∩
l’événement « A et B sont réalisés »
On note
A
B
∪
l’événement « A ou B sont réalisés » (ou les deux à la fois)
• Ex : Définir
A
B
∩
et
A
B
∪
en extension. (Cas de tirages simultanés)
A
B
∩
=......
A
B
∪
=.....
Définition. Soit A et B deux événements. Si A B
∩
=
∅
A et B sont dits incompatibles.
Vocabulaire des probabilités. Variables aléatoires discrètes.
Probabilités conditionnelles.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5

2
B. Vocabulaire des probabilités
Définition. Soit
Ω
univers des possibles associé à une expérience aléatoire.
On appelle probabilité sur
Ω
, une application P de l'ensemble des parties de
Ω
noté
(
)
P
Ω
dans [0 ; 1] qui
vérifie les propriétés :
 Si A et B sont incompatibles
P
A
B
P
A
P
B
(
)
(
)
(
)
∪
=
+
P A P A( ) ( )= −1
P( )
Ω
=
1 et P( )
∅
=
0
Propriété : Dans le cas général
P
A
B
P
A
P
B
P
A
B
(
)
(
)
(
)
(
)
∪
=
+
−
∩
Définition : On dit qu’il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Définition : Lorsqu’il y a équiprobabilité et si
Ω
est un ensemble fini on a :
Nb.d'élémentsdeA Card(A)
P(A)
Nb.d'élémentsde Card( )
= =
Ω Ω
Exercice 1 :
Dans l’exemple 1 calculer P(A) dans le cas d’un tirage simultané de deux boules puis dans le cas de deux tirages
successifs d’une boule avec remise. (A : « Les deux chiffres sont impairs »).
C. Variables aléatoires discrètes et continues
Définition :
Soit Ω univers des possibles associé à une expérience aléatoire. On appelle variable aléatoire X toute application
de P(Ω ) dans IR.
Exemple 2 :
Un sac contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire simultanément deux boules de l’urne et on note X la
somme des deux nombres obtenus.
X est une variable aléatoire. X peut prendre les valeurs 3, 4 ....7.
Dans un tel cas on dit que la variable aléatoire est discrète car elle ne peut prendre que des valeurs "isolées".
(Ici en plus il n'y a qu'un nombre fini de valeurs).
Exemple 3 :
Une usine fabrique des tiges métalliques. Dans l'ensemble de la production on prélève au hasard une tige
métallique et on note Y sa longueur. Comme les longueur des tiges produites peuvent prendre une infinité de
valeurs, Y prendra des valeurs dans ]m ; M[ où m et M sont deux valeurs extrémales.
Dans un tel cas on dit que la variable aléatoire est continue.
Ce type de variable aléatoire sera étudié en fin d’année.

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D. Etude des variables aléatoires discrètes.
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs a
1
......a
n
....
Définir la loi de probabilité de X c’est déterminer P[X = a
i
] pour toutes les valeurs a
i
que peut prendre X
Définitions. Soit X une variable aléatoire qui peut prendre les valeurs a
1
......a
n
On pose p
i
= P[X=a
i
]
On appelle espérance mathématique le réel noté E(X) défini par
E(X) = p a p a
n n1 1
+
.....
E(X) représente la valeur moyenne de la variable aléatoire X.
On appelle variance le réel noté V(X) défini par
V X p x E X
i i
i
n
( ) ( ( ))= −
=
∑2
1
On appelle écart type le réel noté
σ
X
défini par
σ
X
= V X( )
Propriété. On a V X p x E X
i i
i
n
( ) ² ( ( ))²= −
=
∑
1
Exercice 2 :
Définir la loi de probabilités de la loi X de l'exemple 2.
Calculer l’espérance mathématique la variance et l’écart type de X définie dans l’exemple 2.
E. Probabilités conditionnelles
Exercice 3 : Dans un lycée 60% des élèves sont des filles
35% des filles étudient l’espagnol
45% des garçons étudient l’espagnol
1° A l’aide d’un tableau à double entrée représenter cette situation.
2° On interroge un élève au hasard. On pose :
F : « Cet élève est une fille »
E : « Cet élève étudie l’espagnol »
On note A l’événement : Cet élève est un garçon qui fait de l’espagnol.
a. Exprimer A en fonction de E et F ou de leur contraire.
b. Déterminer p
1
la probabilité de A.
3° On interroge un garçon. Déterminer alors la probabilité p
2
que ce garçon fasse de l’espagnol.

4
Définition :
Soit Ω l’univers des possibles associés à une expérience aléatoire.
A et B sont deux événements de Ω. On suppose que p(B) est non nul.
On appelle probabilité de A sachant B noté p
B
(A) la probabilité de A en restreignant l’univers des possibles au cas
où B s’est produit.
Sur l'exemple p p E F
1
= ∩( ) alors que
2F
p p (E)
=
Propriété :
B
p(A B)
p (A)
p(B)
∩
= (Vérification sur l'exemple)
Remarque :
B
A
p(A B) p (A) p(B)
p(B A)
p (B) p(A)
∩ = ×
= ∩
= ×
Question : On interroge au hasard un élève qui fait de l'espagnol. Déterminer p
3
la probabilité que ce soit un garçon.
F. Formule des probabilités totales.
Définition : B
1
;B
2
;.... B
n
forment une partition de Ω si : B B B
n1 2
∪
∪
=
........
Ω
et si les B
i
sont
deux à deux disjoints
Théorème :
Si B
1
;B
2
;.... B
n
forment une partition de Ω.
A est un événement
alors :
1 n
1 2 n
B 1 B n
p(A) p(A B ) p(A B ) ............... p(A B )
p (A) p(B ) ............. p (A) p(B )
= ∩ + ∩ + + ∩
= × + + ×
Exercice 4 :
L’effectif d’une entreprise est constitué de 60% de femmes et de 40% d’hommes.
30% des femmes de cette entreprise sont affiliées à un club sportif
50% des hommes de cette entreprise sont affiliées à un club sportif
On choisit une personne de cette entreprise au hasard.
On souhaite déterminer la probabilité que cette personne soit affiliée à un club sportif
On note S « La personne est affiliée à un club sportif »
H « La personne choisie est un homme »
F « La personne choisie est une femme »
Déterminer : H F
p(H);p(F);p (S);p (S)
En déduire p S H p S F( ); ( )
∩
∩
et enfin p(S)
(On proposera trois méthodes : utilisation des formules; utilisation d'un arbre de probabilité ; utilisation d'un
tableau;)

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G. Evénements indépendants
A et B deux événements de Ω sont indépendants si p
B
(A) = p(A) (Le fait que B se produise ne modifie pas la
probabilité de A).
Théorème de Caractérisation : A et B sont indépendants si et seulement si :
p
A
B
p
A
p
B
(
)
(
)
(
)
∩
=
×
Théorème : Si A et B sont indépendants alors
A et B
sont indépendants,
A et B
sont indépendants ainsi que
A et B
Démonstration au programme.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
( )
1
A A A
p A B p B p A p B p A p A p B p A
p A p A B p A p A p B CarA et B indépendants
p A p B p A p B
∩ = × = − × = − ×
= − ∩ = − ×
= − = ×
H. Loi binomiale
Voir TD 8