Probabilités conditionnelles et lois discrètes

Vocabulaire des probabilités. Variables aléatoires discrètes.
Probabilités conditionnelles.
A. Vocabulaire des événements
Exemple 1 : Une urne contient cinq boules identiques au toucher, numérotées de 1 à 5.
Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard deux boules de l’urne.
On s'intéresse aux deux numéros obtenus.
On va envisager ici deux expériences aléatoires différentes :
On tire une boule, on la remet dans l’urne puis on tire une deuxième boule ; on peut s’intéresser à
l’ordre d’apparition des résultats. Dans ce cas on dira qu’une éventualité est un couple (i ; j) d’entiers.
On tire simultanément les deux boules. On peut donc ne pas s’intéresser à l’ordre d’apparition des
résultats. Dans ce cas on dira qu’une éventualité est une paire {i ;j} d’entiers.
Définition.
L’ensemble des éventualités d’une expérience aléatoire est appelé univers ou univers des possibles
et est noté Ω .
• Représenter les éléments de Ω à l’aide du tableau à double entrée ci-dessous :
Cas avec ordre et remise
Cas sans ordre ni remise
B1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
B2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Card Ω = …
Card Ω = ….
Définition. Tout élément de Ω est appelé éventualité ou événement élémentaire.
Définition. Tout sous ensemble de Ω est appelé événement.
Retour à l'exemple 1 dans le cas où l’on a tiré simultanément les deux boules : On considère les événements :
A : « Les deux chiffres sont impairs »
B : « La somme des deux chiffres est inférieure ou égale à 5 »
• Ex : Définir A et B en extension.
A=
B=
Définition.
On note A l’événement contraire de A.
A est constitué de tous les événements élémentaires réalisés lorsque A ne se produit pas.
•
Ex : Définir A et B en extension. (Cas de tirages simultanés)
A = ....
•
B = ....
Définir A en compréhension sans utiliser de négation.
On note A ∩ B l’événement « A et B sont réalisés »
On note A ∪ B l’événement « A ou B sont réalisés » (ou les deux à la fois)
• Ex : Définir A ∩ B et A ∪ B en extension. (Cas de tirages simultanés)
A ∩ B =......
Définition.
A ∪ B =.....
Définition. Soit A et B deux événements. Si A ∩ B = ∅ A et B sont dits incompatibles.
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B. Vocabulaire des probabilités
Définition. Soit Ω univers des possibles associé à une expérience aléatoire.
On appelle probabilité sur Ω , une application P de l'ensemble des parties de Ω noté P ( Ω ) dans [0 ; 1] qui
vérifie les propriétés :
Si A et B sont incompatibles P(A ∪ B) = P(A ) + P( B)
P ( A ) = 1 − P (A )
P(Ω) = 1 et P(∅) = 0
Propriété : Dans le cas général
P( A ∪ B) = P(A ) + P( B) − P( A ∩ B)
Définition : On dit qu’il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Définition : Lorsqu’il y a équiprobabilité et si Ω est un ensemble fini on a :
P(A) =
Nb.d 'éléments de A Card(A)
=
Nb.d 'éléments de Ω Card(Ω)
Exercice 1 :
Dans l’exemple 1 calculer P(A) dans le cas d’un tirage simultané de deux boules puis dans le cas de deux tirages
successifs d’une boule avec remise. (A : « Les deux chiffres sont impairs »).
C. Variables aléatoires discrètes et continues
Définition :
Soit Ω univers des possibles associé à une expérience aléatoire. On appelle variable aléatoire X toute application
de P(Ω ) dans IR.
Exemple 2 :
Un sac contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire simultanément deux boules de l’urne et on note X la
somme des deux nombres obtenus.
X est une variable aléatoire. X peut prendre les valeurs 3, 4 ....7.
Dans un tel cas on dit que la variable aléatoire est discrète car elle ne peut prendre que des valeurs "isolées".
(Ici en plus il n'y a qu'un nombre fini de valeurs).
Exemple 3 :
Une usine fabrique des tiges métalliques. Dans l'ensemble de la production on prélève au hasard une tige
métallique et on note Y sa longueur. Comme les longueur des tiges produites peuvent prendre une infinité de
valeurs, Y prendra des valeurs dans ]m ; M[ où m et M sont deux valeurs extrémales.
Dans un tel cas on dit que la variable aléatoire est continue.
Ce type de variable aléatoire sera étudié en fin d’année.
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D. Etude des variables aléatoires discrètes.
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs a1......an ....
Définir la loi de probabilité de X c’est déterminer P[X = ai] pour toutes les valeurs ai que peut prendre X
Définitions. Soit X une variable aléatoire qui peut prendre les valeurs a1......an
On pose pi = P[X=ai]
On appelle espérance mathématique le réel noté E(X) défini par
E(X) = p 1a 1 +..... p n a n
E(X) représente la valeur moyenne de la variable aléatoire X.
On appelle variance le réel noté V(X) défini par V( X) =
n
∑ p (x
i =1
i
i
− E ( X)) 2
On appelle écart type le réel noté σ X défini par σ X = V( X)
Propriété. On a V( X) =
n
∑ p x ² − ( E( X))²
i =1
i
i
Exercice 2 :
Définir la loi de probabilités de la loi X de l'exemple 2.
Calculer l’espérance mathématique la variance et l’écart type de X définie dans l’exemple 2.
E. Probabilités conditionnelles
Exercice 3 :
Dans un lycée 60% des élèves sont des filles
35% des filles étudient l’espagnol
45% des garçons étudient l’espagnol
1° A l’aide d’un tableau à double entrée représenter cette situation.
2° On interroge un élève au hasard. On pose :
F : « Cet élève est une fille »
E : « Cet élève étudie l’espagnol »
On note A l’événement : Cet élève est un garçon qui fait de l’espagnol.
a. Exprimer A en fonction de E et F ou de leur contraire.
b. Déterminer p1 la probabilité de A.
3° On interroge un garçon. Déterminer alors la probabilité p2 que ce garçon fasse de l’espagnol.
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Définition :
Soit Ω l’univers des possibles associés à une expérience aléatoire.
A et B sont deux événements de Ω. On suppose que p(B) est non nul.
On appelle probabilité de A sachant B noté pB(A) la probabilité de A en restreignant l’univers des possibles au cas
où B s’est produit.
Sur l'exemple p 1 = p( E ∩ F ) alors que
p 2 = p F (E)
Propriété :
p B (A) =
p(A ∩ B)
(Vérification sur l'exemple)
p(B)
Remarque :
p(A ∩ B) = pB (A) × p(B)
= p(B ∩ A)
= p A (B) × p(A)
Question : On interroge au hasard un élève qui fait de l'espagnol. Déterminer p3 la probabilité que ce soit un garçon.
F. Formule des probabilités totales.
Définition : B1 ;B2 ;.... Bn forment une partition de Ω si : B1 ∪ B 2 ∪........ B n = Ω et si les Bi sont
deux à deux disjoints
Théorème :
Si B1 ;B2 ;.... Bn forment une partition de Ω.
A est un événement
alors :
p(A) = p(A ∩ B1 ) + p(A ∩ B2 ) + ............... + p(A ∩ Bn )
= p B1 (A) × p(B1 ) + ............. + p Bn (A) × p(Bn )
Exercice 4 :
L’effectif d’une entreprise est constitué de 60% de femmes et de 40% d’hommes.
30% des femmes de cette entreprise sont affiliées à un club sportif
50% des hommes de cette entreprise sont affiliées à un club sportif
On choisit une personne de cette entreprise au hasard.
On souhaite déterminer la probabilité que cette personne soit affiliée à un club sportif
On note S « La personne est affiliée à un club sportif »
H « La personne choisie est un homme »
F « La personne choisie est une femme »
Déterminer : p(H); p(F); p H (S); p F (S)
En déduire p(S ∩ H ); p(S ∩ F) et enfin p(S)
(On proposera trois méthodes : utilisation des formules; utilisation d'un arbre de probabilité ; utilisation d'un
tableau;)
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G. Evénements indépendants
A et B deux événements de Ω sont indépendants si pB(A) = p(A) (Le fait que B se produise ne modifie pas la
probabilité de A).
Théorème de Caractérisation : A et B sont indépendants si et seulement si : p(A ∩ B) = p(A ) × p( B)
Théorème : Si A et B sont indépendants alors A et B sont indépendants, A et B sont indépendants ainsi que
A et B
Démonstration au programme.
p ( A ∩ B ) = p A ( B ) × p ( A ) = (1 − p A ( B ) ) × p ( A ) = p ( A ) − p A ( B ) × p ( A)
= p ( A ) − p ( A ∩ B ) = p ( A) − p ( A ) × p ( B ) (CarA et B indépendants )
= p ( A) (1 − p ( B ) ) = p ( A) × p ( B )
H. Loi binomiale
Voir TD 8
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