Polynôme de Radii et preuves numériques de solutions de
Polynôme de Radii et preuves numériques de solutions de
systèmes d’EDOs
Séminaire des étudiants gradués
Julien Courtois
Département de mathématiques et de statistique
19 Février 2016
Mise en contexte
Soit ¯x∈Xet F:X→Ytel que
IF(¯x)≈0
IFest une fonction non-linéaire
I¯xobtenu par une méthode numérique
Comment démontrer qu’il existe une solution unique ˜xdans le voisinage de ¯xtel que F(˜x) = 0 ?
Comment pourrait-on appliquer un tel principe pour Xun espace de dimension infinie ?
Et si nous avons trouvé ˜xtel que F(˜x, λ) = 0, comment trouver ˜x2tel que F( ˜x2, λ2) = 0 pour λ2une
perturbation de paramètre ?
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Plan de l’exposé
Retour sur les systèmes dynamiques
Méthodes numériques
Polynôme de Radii en dimension fini
Continuation numérique
Polynôme de Radii sur les espaces de Banach
Application à des systèmes non-linéaires de plusieurs dimensions
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Solution analytique I
Soit U⊂Rnun ouvert avec X∈Rnet F:U→Rn.
Nous avons le système d’équations différentielles suivant (EDO) en fonction de t
˙
X=F(X).
Un système dynamique est un système d’EDO qui évolue dans le temps t.
Ce système est autonome s’il ne dépend pas directement de t(sinon on rajoute ˙
t=1 au système
pour avoir un système dans Rn+1en fonction de s).
Si nous avons un système d’ordre supérieur X(m)=F(X,˙
X, ..., X(m−1)), nous faisons un changement
de variable pour obtenir un système dans Rmn.
X=Y1
˙
X=Y2
.
.
.
X(m−1)=Ym
⇒
˙
Y1=Y2
˙
Y2=Y3
.
.
.
˙
Ym=F(Y1,Y2,...,Ym)
1. Retour sur les systèmes dynamiques Polynôme de Radii et preuves numériques de solutions de systèmes d’EDOs 19 Février 2016 DMS 5
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